Дифференциал функционала

Доказательство. Согласно теореме 8.11.1, дифференциал функционала имеет вид [c.601]

Теорема 8.11.4. Дифференциал функционала 0 дается форму- [c.608]

Дифференциал функционала 0 в пространстве управлений принимает вид [c.610]

Выражение при / в формуле для вариации ЬР называют функциональной или вариационной производной в смысле Фреше и обозначают dF(f)ld[(x) (иногда пишут 8F/6f [60]). Таким образом, сильный дифференциал функционала / (/) может быть определен как результат применения к элементу б/6/ i линейного оператора dP(f)ldf(x), т. е. [c.217]

Можно доказать, что если функционал Ф дифференцируем, то его дифференциал определен однозначно. Дифференциал функционала называют также его вариацией, а к называют вариацией кривой. [c.53]

Следует иметь в виду, что уравнение (5-4.87) основывается на гипотезе о том, что функционал имеет второй дифференциал Фреше в предыстории покоя — предположение, которое может не выполняться для некоторых материалов. [c.208]

Единственным течением рассмотренного выше типа, которое было подробно проанализировано для общего случая простой жидкости, является вискозиметрическое течение с наложением малых периодических деформаций [13]. В этом случае был принят в расчет также второй дифференциал Фреше функционала д. Оказалось, что вклад этого дифференциала проявился в среднем значении напряжения, в то время как вклад линейного члена,, конечно, может быть замечен лишь в мгновенном значении напряжения А. [c.274]

Полный дифференциал любой функции состояния согласно выводам 2 должен содержать хотя бы один частный дифференциал внутренней переменной, например температуры. Выражение (5.7) не удовлетворяет этому требованию, следовательно, оно не является полным. дифференциалом (нарушено условие (4.8)), что означает зависимость работы в термодинамике от способа изменения переменных в процессе ее совершения, т. е. работа — функция процесса, а не состояния. Это же следует и непосредственно из определения (5.2). Действительно, термическое уравнение состояния, например (2.1), указывает на зависимость X,- не только от у/, но и от Т. Поэтому при разных температурах под интегралом в (5.2) стоят по существу разные функции Х(у), т. е. работа W — функционал. (Этим. объясняется знак вариации б, используемый часто для обозначения бесконечно малых и Q.) [c.44]

Как в дифференциальном исчислении дифференциал функции представляет собой линейную по отношению к приращению аргумента Да часть приращения функции, так и в вариационном исчислении вариация функционала 62 представляет собой линейную по отношению к вариации функции бу часть функционала. [c.190]

Если функция у = х) достигает экстремума внутри заданного интервала значений аргумента х, дифференциал йу — 0. Аналогично, если функционал достигает экстремума, то его вариация равна нулю 62 = 0. [c.190]

Аналогично понятию второго дифференциала функции в вариационном исчислении вводят понятие второй вариации функционала. Для простоты записи в дальнейшем ограничимся случаем, когда функционал зависит только от функции у (х) и ее первых двух производных. Тогда вторая вариация функционала определяется выражением [c.305]

Дифференциал 6f, т. е. главную линейную часть приращения функционала F(u), вызванного вариацией би, называют вариацией функционала F u). [c.15]

Функционал (9.11) может иметь дифференциал Фреше, т. е. дл любых заданных 6 (т) и 6 (t) = i(t)—(т) с нормой l 6 A разность [c.132]

На самом деле как понятие дифференциала в дифференциальном исчислении, так и понятие вариации функционала не ограничивается применением к исследованию задач на максимум и минимум определенных интегралов, а много шире, что требует этой оговорки. [c.244]

Вариация функционала Полный дифференциал функции многих переменных [c.576]

В самом деле, для дифференциала т, используя формулу для вариации функционала с подвижным концом ), получим [c.22]

Действительно, из 17 мы знаем, что формулировка вариационного принципа для каждой совокупности переменных— новых или старых — допускает произвол, связанный с добавлением полного дифференциала и позволяющий преобразовывать функционал (55) к виду (55 ). Если воспользоваться этим произволом, скажем, для новых переменных, то к правой части (66) добавится й X и мы придем к другому достаточному условию каноничности преобразования (65) [c.128]

Допустим теперь в соответствии с первой гипотезой, что 1) свободная энергия известна как функционал Ф[7, е ]о и ее дифференциал по параметру t имеет вид [c.132]

Дифференцирование вариационных функционалов. Нормирование пространства состояний позволяет при исследовании вариационных формулировок применять понятия производной и дифференциала. Дифференциал функционала энергии в нормированном пространстве (дифференциал Фреше) в вариационном исчислении называют вариацией. Производная функционала энергии (производное отображение) является дифференциальным оператором соответствующей краевой задачи. Этот оператор получают, преобразуя вариацию функционала методами вариационного исчисления (см гл. I). Производную функционала иногда называют его градиентом. Точкой стаинонарности функционала называется такое значение его аргумента, при котором его градиент равен нулю, т. е. соответствующие дифференциальные операторы обращаются в нуль. [c.207]

Говорят, что функционал ф = t) [гр (а )] имеет первый дифференциал Фреше SI [г13о ( ) 1 I l ( )1 в il o ( )> если справедливо следующее уравнение [c.139]

Возможное перемещение точки, в отличие от действительного dUj, будем обозначать б /, где символ 6 носит название вариации и для него приняты те же правила, что и для оператора-дифференциала d. Следует лишь помнить, что эти правила не распространяются на аргументы Р,- функции и-,. Другими словами, вариация функции (в данном случае щ) есть изменение этой функции вследствие изменения вида самой функции при фиксированных координатах Xh точки Л/. То же самое можно сказать о вариациях деформаций бе у. Важную роль в теории упругости и в целом в МДТТ играют переменные величины, называемые функционалами. Будем говорить, что задан некоторый функционал [c.121]

Пусть задан функционал У V R и пусть второй дифференциал Гато У" (и, ф, 1 з) линеен и непрерывен по ф и ф тогда оператор Н = И (и) У -> У, для которого [c.335]

На практике проверять непосредственно свойство с. п. сн. затруднительно, поэтому обычно используется следующий критерий с. п. сн. если функционал J V -f- R выпуклый и его первый дифференциал Гато J (и, ф) линеен и непрерывен по Ф, то функционал J с. п. сн. [c.336]

Вычисление функционал .ной производной приводит к Эйлера — Лагранжа ураанеииям — системе дифференц. ур-ний [c.245]

Умножение на бесконечно дифференци-)уемые функции. Пусть a(.v)e (R ), /eD. 1роизведение a(x)f определяется как функционал, действующий по правилу [c.118]

Здесь ( ) — соотношение двойственности между В и сопряженным к нему пространством В, VJ (х) — дифференциал Гато функционала J. Заметим, что VJ(x)eB. > [c.90]

Для любого значения imodx второй дифференциал функции Лагранжа по скорости является положительно определенной квадратичной формой и определяет скалярное произведение (,) на касательном пространстве Т- щМ. Пусть — ковариантная производная вектощото поля вдоль 7, согласованная с метрикой ( , + "п)- Вторая вариация функционала S в критической точке т является квадратичной формой на множестве гладких т-периодических векторных полей I вдоль у [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...