Функционал дополнительной энергии

Будем решать задачу минимизацией функционала дополнительной энергии. В таком случае следует выбрать такие выражения для напряжений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия. Ищем решение в виде [c.82]

Для функционалов потенциальной энергии и дополнительной энергии удается доказать, что б П 5 О, поэтому и говорят о минимуме потенциальной и дополнительной энергии. Значение этих свойств позволяет доказать, что, минимизируя функционал потенциальной энергии, всегда получаем завышенные результаты по силе, а минимизация функционала дополнительной энергии lie [c.116]

Гибридный метод напряжений при построении элементов требует знания модифицированных форм функционала дополнительной энергии. Граничные свойства здесь уже неприменимы, однако в то же время можно гарантировать, что решение будет находиться между границами, определяемыми решениями, полученными с помощью обычных энергетических принципов. Более того, используя данный подход, удобно представить сингулярности в напряжениях. Указанные вопросы обсуждаются далее в разд. [c.289]

Существующие формулировки трехмерных элементов почти всецело основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще предстоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса. Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагаемых перемещениях. [c.305]

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

Первое слагаемое в формуле (15.67)1 представляет собой вариацию так называемой дополнительной работы деформации (6 4 ), а второе слагаемое — вариацию дополнительной энергии. Для того чтобы пояснить функционал и, рассмотрим нелинейно деформируемую систему. Легко проверить, что функционал называемый дополнительной энергией, может быть представлен так ) [c.490]

Условия (3.24) и (3.25) можно считать уравнениями Эйлера — Лагранжа, связанными с принципом минимума дополнительной энергии. Хотя (3.26) можно рассматривать в качестве естественных граничных условий модифицированного принципа минимума дополнительной энергии, опыт показывает, что точность определения коэффициента К ухудшится, если условия (3.26) не будут удовлетворены точно априори. [С другой стороны, заметим, что усилия, приложенные к поверхности трещины, можно сохранить в качестве естественных граничных условий модифицированного принципа минимума потенциальной энергии (3.9) при этом точность определения К не ухудшится.] Итак, если (3.26) удовлетворяются априори, функционал, представляющий дополнительную энергию, условия стационарности которого обеспечивают (3.24) и (3.25), может быть записан таким образом [c.201]

Далее рассмотрим принцип минимума дополнительной энергии применительно к двумерной задаче 1.7. Заметим, что напряжения, выраженные соотношениями (1.61), образуют систему допустимых функций. Подставим их в функционал [c.61]

Некоторые другие вариационные принципы можно вывести из обобщенного принципа [22]. Здесь будет выведен функционал для принципа стационарности дополнительной энергии. Показано, что исключение компонент деформаций с помощью (2.67) и использова-3 [c.67]

Преобразованием функционала (2.80) можно получить функционал для принципа стационарности дополнительной энергии ) [c.69]

Докажите, что для плоской задачи, рассмотренной в 1.7, функционал принципа минимума дополнительной энергии имеет вид [c.73]

Докажите, что функционал принципа минимума дополнительной энергии (2.23) при введении множителей Лагранжа ц. И и " Иг преобразуется к виду [c.74]

Сходные приемы применимы для анализа частных случаев обобщенного выражения (7.39). Например, потребовав, чтобы коэффициенты при Йх, 8w и 8w в (7.40) равнялись нулю, и исключив таким образом X и ш, получим функционал принципа минимума дополнительной энергии в виде [c.190]

Функционал (8.91) можно обобщить аналогично тому, как это делалось в 8.3, и получить функционал для принципа стационарности дополнительной энергии [c.238]

Функционал принципа минимума дополнительной энергии можно вывести из (10.24) обычным способом [c.294]

В принципе минимума дополнительной энергии функционал можно записать в виде (ср. с выражением (2.23)) [c.348]

Следовательно, если функции напряжений выбраны так, что выполняются требования (i)—(iii), то в принципе минимума дополнительной энергии функционал дается формулой (ср. с (13.33)) [c.357]

В конце 14.2 было указано, что при помощи тензора напряжений Кирхгофа i j не удается выписать принцип стационарности дополнительной энергии. Однако время от времени возобновляются попытки сформулировать принцип стационарности дополнительной энергии в нелинейной теории упругости, а именно такой принцип, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения [d—161. Из разных подходов, которые предлагались для решения этой интересной задачи, отметим два подхода, берущие начало от принципа стационарности потенциальной энергии с функционалом (14.15). [c.368]

Видно, что (14.52) — это функционал принципа стационарности дополнительной энергии в задаче нелинейной теории упругости, причем варьируемыми функциями являются дц, удовлетворяющие дополнительным условиям (14.45) и (14.47), линейным относительно 5 . К сожалению, в общем случае такое обращение весьма затруднительно ). Следовательно, для практического применения МКЭ скорее всего не стоит пытаться выполнять обращение для получения принципа стационарности дополнительной энергии, а целесообразно ограничиться функционалом выбирая в качестве независимых варьируемых величин dij и ац, на которые наложены дополнительные условия (14.45) и (14.47). [c.370]

Функционал /(о) (1.69) носит название полной дополнительной энергии [10]. Уравнение (1.67) или (1.68) позволяет получить уравнения метода сил, рассматриваемые в курсе сопротивления материалов. [c.19]

Уравнения Эйлера при минимизации функционала потенциальной энергии дали решение в перемещениях. Уравнения Эйлера для функционала (157) совпадают с решением задачи в напряжениях, т. е. с уравнениями (31). Однако условия т, , у = О не являются естественными условиями для функционала (157), и поэтому они должны быть учтены дополнительно. Также должны быть учтены и все граничные условия, ибо и они не являются естественными, т. е. не вытекают из этого функционала. Интересующимся доказательством этого можем рекомендовать работу [54]. [c.75]

В качестве минимизируемых функционалов могут быть выбраны любые функционалы (потенциальной или дополнительной энергии, среднеквадратической ошибки и др.) и любые вариационные методы (Бубнова—Галеркина и др.) (см. гл. IV). Так как применение достаточно однообразное, то дальнейшее изложение будем вести только для функционала потенциальной энергии, имея в виду, что вполне аналогично следует действовать при применении других функционалов и вариационных методов. [c.206]

Гибридный метод напряжений является подходом к построению матриц жесткости элементов, основанный на обобщении принципа минимума дополнительной энергии. Как и при обсуждении гибридных методов перемещений, ограничимся изложением процедуры построения элемента, окруженного полностью другими элементами. Кроме того, предполагается, что на поверхности элемента и вдоль его границ между узлами силы не действуют. Чтобы получить искомый модифицированный функционал Пс для нашего случая, необходимо лишь видоизменить интеграл по границе в выражении (6.68а) для П . [c.191]

В работах [6.4, 6.8, 6.17—6.191 и др. описаны более общие вариационные принципы, из которых вытекают принципы стационарности потенциальной и дополнительной энергии и функционала Рейсснера. Так, к одной из альтернативных формулировок можно прийти, если выразить из (6.80) величину и, подставить ее в (6.68) при одновременном учете граничных условий в виде (6.82). Альтернативные формулировки элементов, вкладываемые в указанные более общие виды функционалов, в той или иной степени использовались в разд. 6.5 и 6.7. [c.198]

Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений. [c.199]

В качестве заключительного замечания, касающегося потенциальной энергии, отметим, что для изотропного материала уравнение (12.6) является уравнением Эйлера для функционала потенциальной энергии. Значение этого обстоятельства заключается в том, что то же уравнение (с функцией напряжений Эри Ф в качестве неизвестной переменной) определяет растяжение пластины при применении формулировок, базирующихся на принципе минимума дополнительной работы. Следовательно, рассуждения, касающиеся выбора полей перемещений, непосредственно справедливы и для формулировок, соответствующих плоской задаче. [c.349]

Функционал Рейсснера для общей трехмерной теории упругости был представлен в разд. 6.8. Как и в случае функционалов потенциальной и дополнительной энергий, можно получить вид функционала Рейсснера для изгиба, опираясь на полученные ранее результаты, если использовать аналогию между напряжениями и изгибающими моментами, а также между деформациями и кривизнами. Функционал для изгиба пластин, аналогичный (6.81), имеет вид [c.352]

ИЛИ в виде смешанных соотношений, получаемых из функционалов, в которые входит дополнительная энергия деформации (например, из функционала Рейсснера (12.24)). [c.379]

Так как наша ближайшая задача состоит в построении аппарата равновесной статистической механики (не содержащей времени t), то система собственных функций оператора Гамильтона (она и полна, и может быть ортонормирована, и как решение стационарной задачи не зависит от t) вполне может быть использована для фиксации всех возможных микроскопических стационарных состояний системы, причем, так как сами функции i>n q) нам в основном и не понадобятся, эту фиксацию можно осуществить, задавая индекс п — совокупность квантовых чисел, определяющих данное стационарное состояние системы и ее энергию . Отметим особо, что уровни энергии Еп, как правило, вырождены, т.е. одному и тому же значению энергии соответствует несколько несовпадающих функций ipn g), причем кратность этого вырождения ш Еп) в системах N тел может быть очень большой и, как правило, сильно возрастающей с ростом N. Исключение составляет, по-видимому, только основное состояние системы фо, соответствующее минимальному значению энергии Eq, -фо Eq. Это утверждение следует из анализа задачи на определение минимума функционала, определяющего энергию системы, с дополнительным условием нормировки для варьируемой -функции [c.24]

Такая форма принципа максимума с использованием производных первого порядка аналогична принципу минимума дополнительной энергии для задачи о малых упругих деформациях из разд. 2.6. В то же время для аппроксимации У и /г на каждом треугольнике используются линейные функции. Неизвестные значения ( /О,- и ( /г) получаются при нахождении максимума функционала (7.23) численным путем. [c.196]

Система (165) позволяет определить все значения а . Непосредственное применение этой последовательности называется методом Ритца. Этот метод можно применить к самым разным функционалам. Очень часто метод Ритца применяется для минимизации функционала потенциальной энергии (140), функционала дополнительной энергии (160), функционала общего типа (161), функционалов типа (162), которые предполагают, что функции [c.77]

Эти ограничения можно учесть с помощью метода множителей Лагранжа (см. разд. 7.3) либо с помощью метода конденсащш (п. 3.5.2). Используя первый метод и обозначая через J вектор множителей Лагранжа, выпишем следующий расширенный функционал дополнительной энергии [c.223]

Как было указано, для функционала дополнительной энергии, выраженного в терминах функции напряжений Саусвелла, требуются те же поля, что и при описании перемещений, если анализировать плоско-напряженное состояние на основе подхода, использующего принцип минимума потенциальной энергии. Поэтому рассуждения, касающиеся последней темы из разд. 9.3, справедливы и в данном случае. Результаты подсчетов с использованием указанного подхода приведены в [12.23]. [c.358]

Теперь применим модифицированный метод Релея—Ритца к принципу стационарности дополнительной энергии (7 56). Выберем W в виде (7.57). Как показывает вывод функционала [c.193]

Скажем несколько слов о принципе стационарности дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости, а именно таком принципе, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения. Вспомним, что в линейной теории упругости принцип минимума дополнительной энергии выводится из принципа Хеллингера — Рейсснера, Аналогично тому, как это делалось в линейной теории упругости, можно показать, что можно использовать условия стационарности по отношению к Ы , а именно (14.1), (14.5) и (14.17) для преобразования (14.18) к виду [c.362]

Для несжимаемых материалов, таких, как резина, с коэффициентом Пуассона х=0.5, характерные трудности связаны с построением выражений для потенциальной энергии, так как члены матрицы преобразований от деформаций к напряжениям делятся на величину (1—2 д.). Однако, чтобы обойти эти трудности, можно легко модифицировать традиционный подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии. В этом случае также выгодно использовать подходы, базирующиеся на рассмотрении дополнительной энергии или функционала рейсснеровского типа. В разд. 11.4 изучаются оба класса операций при исследовании несжимаемых материалов. [c.326]

Мы еще раз вернемся к основному методу Ритца и заново рассмотрим вопрос можно ли изменить вариационный принцип так, чтобы не было необходимости в главных краевых условиях Принцип дополнительной энергии дает один из возможных ответов, но есть и другие. В самом деле, сейчас известен стандартный прием работы с неудовлетворяемыми ограничеаиями ввести в минимизируемое выражение штрафную функцию. (Это было главной темой замечательной лекции Куранта [К15] метод конечных элементов пришел позднее ) Для —Лы = / и ы = на Г функционал / (о) заменяется функционалом [c.159]

Идея использовать в качестве пробных функций приближенные рещения, удовлетворяющие необходимым ограничениям, реализована во многих работах. В первую очередь, это работа [41], Обосновав специальный вариационный принцип, ее авторы во многих случаях получили для эффективных параметров границы более узкие, чем (6.268). Позднее Р. Хиллом [37] было доказано, что вариационный принцип Хашина-Штрикмана для задач теории упругости эквивалентен принципам минимума потенциальной и дополнительной энергии. Эквивалентность следует понимать как взаимную выводимость принципов. Для задач переноса принцип Хащина-Штрикмана [41] эквивалентен принципу минимума диссипации энергии. Точное решение соответствующих задач одновременно минимизирует как функционал Хашина-Штрикмана, 1гак и энергетический функционал. [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...