Предыстория

ПРЕДЫСТОРИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ. [c.98]

При рассмотрении величины, которая представляет собой функцию времени, желательно ограничить внимание теми значениями этой величины, которые принимаются в моменты времени, предшествующие моменту наблюдения t, т. е. рассматривать только прошлое. Например, пусть мы рассматриваем температуру материальной точки, которая в общем случае является функцией времени Т (т). (Более подробно мы будем говорить о температуре в следующей главе.) Если рассматривать материальную точку в некоторый момент наблюдения t, в который температура равна Т (i), то может представить интерес полная предыстория температуры, скажем функция Т (т) при т f. Кроме того, будет показано, что физически важным является то, как давно достигалась та или иная температура, а не то, в какой момент абсолютного времени она была достигнута. Математически это достигается заменой переменной в качестве новой независимой переменной вводится временное запаздывание s = t — т. [c.98]

Уравнение (3-2.1) следует интерпретировать следующим образом значение функции ( ) при любом заданном т совпадает со значением функции ij ( ) при S — t — т. Функция (s) для s О называется предысторией", очевидно, ее функциональная форма зависит от выбора момента наблюдения. Действительно, при изменении момента наблюдения временное запаздывание, соответствующее заданному моменту времени в прошлом, изменяется, т. е. имеет место сдвиг по оси временного запаздывания. Если значения функции (s) представляют собой значения относительного тензора, изменение момента наблюдения означает не только [c.98]

Предыстории. Производные по времени. Скорости деформации 99 [c.99]

Практическая польза от введения тензоров и Bj заключается в возможности разложения описывающих предысторию тензоров Коши и Фингера в степенные ряды вблизи момента наблюдения. При достаточных условиях гладкости имеем [c.103]

Обладающая памятью жидкость, о которой говорилось в разд. 2-6, может быть чувствительной к деформациям, имевшим место в прошлом, т. е. в некотором смысле, который будет строго определен в гл. 4, напряжение в момент времени t может зависеть от всей предыстории, характеризуемой тензором Коши или Фингера. Уравнения (3-2.36) и (3-2.37) позволяют выразить это влияние предыстории в терминах кинематических тензоров и B v), [c.103]

Вращательные верхние конвективные и нижние конвективные производные симметричного тензора симметричны. В противоположность этому левая и правая конвективные производные, а также левая и правая конвективные предыстории симметричного тензора не симметричны. По этой причине последние два тензора чрезвычайно редко используются на практике. [c.110]

ТЕЧЕНИЯ С ПРЕДЫСТОРИЕЙ ПОСТОЯННОЙ ДЕФОРМАЦИИ [c.116]

В этом разделе мы рассмотрим специальный класс течений, имеющих особый физический смысл для жидкостей, обладающих памятью. Это течения с предысторией постоянной деформации . [c.116]

Течения с предысторией постоянной деформации 117 [c.117]

Течения с предысторией постоянной деформации (иногда называемые субстанциально остановленными движениями ) являются, говоря нестрого, течениями, для которых предыстория деформирования не зависит от момента наблюдения t, а зависит лишь от временного сдвига s = t — т. Это означает, что растяжение, переводящее конфигурацию, имевшую место в момент т, в конфигурацию, реализующуюся в момент наблюдения t, не зависит (за исключением не относящихся к делу вращений) от истинного значения t, а однозначно определяется величиной s. [c.117]

Физический смысл течений с предысторией постоянной деформации легко представить на основе понятий, обсуждавшихся в разд. 2-6. Для жидкости с памятью напряжение в момент наблюдения определяется полной предысторией деформирования в области, примыкающей к рассматриваемой материальной точке. В течениях с предысторией постоянной деформации эта история не зависит от момента наблюдения, и, следовательно, можно ожидать, что напряжения, а также и любая другая зависимая переменная, например внутренняя энергия, тоже не будет зависеть от t. Эти концепции будут формализованы в следующей главе, но они могут быть интуитивно осознаны уже на данной стадии. [c.117]

Если течения с предысторией постоянной деформации имеют некоторый особый физический смысл, то их определение должно быть нейтрально относительно системы отсчета в том смысле, что течение с предысторией постоянной деформации в одной системе отсчета должно иметь предысторию постоянной деформации и в любой другой системе отсчета. Однако, для того чтобы сделать это понятие по возможности более доступным, мы будем рассматривать сначала некоторую специальную систему отсчета, в которой уравнения принимают наиболее простой вид, и несколько повременим с общим формализованным рассмотрением. [c.117]

Будем помечать звездочками величины в специальной системе отсчета, о которой говорилось выше. Рассмотрим теперь течение, предыстория градиента деформации которого такова, что выполняется следующее условие для произвольных значений t в t [c.117]

Уравнение (3-5.1) удовлетворяется тогда и только тогда, когда предыстория градиента деформации имеет следующий вид [c.118]

Из уравнения (3-5.17) тензорные предыстории Коши и Фингера получаются в виде [c.119]

Можно доказать, что течение имеет предысторию постоянной деформации тогда и только тогда, когда [c.120]

Таблица 3-1- Уравнения для кинематических тензоров в течениях е предысторией постоянной деформации

Оставшаяся часть раздела посвящена анализу некоторых важных подклассов течений с предысторией постоянной деформации. [c.120]

Говорят, что течение с предысторией постоянной деформации является вискозиметрическим течением, если [c.121]

Проверить, будет ли течение, описанное в задаче 3-1, иметь предысторию постоянной деформации, и установить его тип (вискозиметрическое, течение четвертого порядка, течение растяжения). [c.128]

При рассмотрении теории простых жидкостей часто встречается ситуация, когда некоторая зависимая переменная (как правило, напряжение) зависит от предыстории одной или нескольких величин (обычно от истории деформирования). Эти предыстории являются функциями времени, и, следовательно, реологическое уравнение состояния имеет форму функционала. [c.140]

Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предысторий, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [c.140]

Норма некоторой предыстории (s) в области определения функционала состояния (обозначаемая через л) вводится следующим образом [c.140]

Уравнения (4-3.2) и (4-3.8) показывают, что напряжение т однозначно определяется предысторией U. Это в свою очередь означает, что т также однозначно определяется тензором деформации Коши G. Действительно, при заданном G предыстория С немедленно определяется в виде [c.142]

До сих пор еще не был использован принцип затухающей памяти. Результаты, которые будут обсуждаться в оставшейся части данного раздела, основываются на следующей простой формулировке принципа затухающей памяти [3, 5] Функционал непрерывен и N раз дифференцируем по Фреше при предыстории покоя G = О (s) в смысле нормы, определяемой уравнением (4-2.22) . [c.144]

В применении к термодинамической теории, обсуждаемой в следующем разделе, потребуются другие формулировки принципа затухающей памяти. На основе приведенной выше формулировки, которая в дальнейшем будет называться формулировкой принципа затухающей памяти при предыстории покоя, можно строго получить приближения для общего уравнения состояния. Они могут быть получены в предельных случаях очень медленных течений [5] и очень малых деформаций [31. [c.144]

Рассмотрим некоторый частный вид течения, и пусть G — предыстория деформирования до некоторого момента наблюдения t для вывода, который будет дан в дальнейшем, необходимо предположить, что функция G непрерывна при s = 0. Рассмотрим теперь другую предысторию деформирования определяе- [c.144]

Из предполагаемой непрерывности G при s = О следует, что аО, и любая предыстория G стремится к нулевой предыстории в недавнем прошлом действительно, G (0) = 0. На основании принципа затухающей памяти при предыстории покоя можно получить для случая медленных течений приближения iV-ro порядка к общему уравнению состояния простой жидкости. Приближение iV-ro порядка понимается в том смысле, что норма остатка имеет порядок а + . Алгебраические выкладки при получении этих приближений очень громоздки, и поэтому будут приведены лишь конечные результаты. [c.145]

Весьма полезный результат применения формулировки прин ципа при предыстории покоя состоит в другой форме последовательных приближений к уравнению состояния простых жидкостей. Вместо того чтобы рассматривать медленные течения, рассмотрим малые деформации. Такая ситуация возникает, например, при колебательных движениях малой амплитуды. Чтобы норма тензора G для такого движения была мала, необходимо рассматривать лишь то, что имело место в недавнем прошлом. Тогда можно доказать, что в приближении первого порядка уравнение состояния простой жидкости с затухающей памятью имеет вид [c.146]

Здесь лежит кульминационный пункт метода. Рассмотрим в некоторый момент времени данный материал, подвергаемый некоторому процессу. Без каких бы то ни было изменений в предыстории этого материала контроль радиационной энергии Q [c.152]

Предположим, что функционал а в уравнении (4-4.29) непрерывен всюду в своей области определения в смысле нормы, определяемой соотношением (4-2.22). Рассмотрим далее две предыстории Т и Т, которые отличаются друг от друга только в некий отдельный момент времени в прошлом. Согласно уравнению (4-2.22), две такие предыстории находятся на нулевом расстоянии друг от друга, и, следовательно, значение А одно и то же для обеих предысторий. Сформулированный выше принцип затухающей памяти означает, что отдельные ники нулевой продолжительности, которые могут иметь место в прошлом, несущественны. На рис. 4-1 приведен пример двух предысторий температуры рассматриваемого тина. [c.155]

Норма, определяемая уравнением (4-2.22), предполагает нулевое расстояние между предысториями температуры, которые рез-личаются только при s = О (следует подчеркнуть, что из двух [c.156]

Рис. 4-1. Две температурные предыстории, различающиеся только в конечном числе моментов времени в прошлом.

Ясно, что такое течение представляет собой течение с предысторией постоянной деформации в смысле, обсуждавшемся выше действительно, тензор, преобразующий dX (i) в dX (г), зависит лишь от временного сдвига s, но не зависит от t. [c.117]

Теперь мы в состоянии строго формализовать исследование течений с предысторией постоянной деформации. Следуя Колема-ну [4] и Ноллу [5], примем такое определение Говорят, что течение является течением с предысторией постоянной деформации, если в уравнении (3-5.19) (или, что то же самое, в уравнении (3-5.20)) в качестве Р (() используется любая гладкая ортогональная тензорная функция, для которой Р (0) = 1 . [c.119]

Это определение нейтрально к выбору системы отсчета, как ему и надлежит быть. Нолл [5] определяет течение с предысторией постоянной деформации в терминах уравнения (3-5.19) с таким же успехом для определения можно выбрать уравнение (3-5.20). [c.119]

Гюильголь [3] первым, по-видимому, заметил, что условие L = О является достаточным для того, чтобы течение было течением с предысторией постоянной деформации. [c.119]

Этот принцип можно сформулировать в следующей форме напряжение определяется предысторией деформирования. Это означает, что напряжение в данный момент времени не зависит от будущих деформаций, а зависит от прошлых деформаций. Таким образом, строится теория для материалов, обладающих памятью, но не способных предвидеть будущее. Ясно, что концепция, согласно которой история деформирования определяет напряжение, значительно более общая, чем основное предположение теории Рейнера — Ривлина, утверждающее, что напряжение определяется мгновенной скоростью деформации. [c.131]

В этом уравнении а — функционал аргументной функции Г (s), т. е. предыстории температуры, величина которого зависит явно также от текущего значения температуры, а кроме того, от других переменных, которые еще не определены. Заметим, что для применения полученных до сих пор результатов необходимо, чтобы температура Т явно входила в число независимых переменных, поскольку мы хотим сохранить смысл уравнения (4-4.15). Заметим далее, что значение температуры в данный момент также появляется в предыстории Т -= Г (0), что, однако, не обязательно является переопределением, как это выясняется из последующего обсуждения. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...