Функционал и статических уравнений

При наложении физических уравнений Эп2 переходит в функционал Эгс(и,е,а) для геометрических и статических уравнений (табл. 3.5). Исключив из него в соответствии с гл. 2, 2.2в деформации, получим полный функционал Рейсснера Э з(о, и), а исключив напряжения, получим другую разновидность функционала Рейсснера — Эр1 (и, е) (см. 3.1в). [c.75]

Равенство (4) или (5) (см. замечание 1 в конце данного пункта) показывает, что функционал (1) можно считать не имеющим дополнительных условий в этом случае его условия стационарности — физические зависимости, задача о его минимуме имеет бесконечное множество решений (о, е), а для полного решения краевой задачи теории упругости нужно привлекать еще геометрические и статические уравнения в объеме и на поверхности. [c.79]

Различные варианты функционала Кастильяно с разрывными полями. Часть условий стационарности— физические и статические уравнения, в том числе и условия отсутствия статических разрывов на D, — можно наложить в качестве дополнительных условий и, исключив кинематические переменные, перейти к различным вариантам. функционала Кастильяно (табл. 3.8). Их условия стационарности — все геометрические уравнения, в том числе и условия отсутствия кинематических разрывов на D. [c.93]

Условия стационарности Зфс — физические и статические уравнения. Этот функционал является промежуточным звеном преобразования Э 2 в функционал Лагранжа 5лз (е> ц) (табл. 4.1). [c.127]

Заметим, что удовлетворять заранее статическим граничным уело-виям, вообще говоря, нет надобности, так как функции Uj, реализующие минимум функционала П, будут удовлетворять, как уже известно, уравнениям равновесия Ламе (5.47) и статическим граничным условиям (5.48), т. е. будут решением граничной задачи, эквивалентной принципу минимума потенциальной энергии. [c.108]

Фактическое отыскание минимума функционала (18.119) будет обсуждаться в следующем разделе. Здесь же, не останавливаясь на доказательстве, заметим только, что для упругого стержня под действием сил постоянного направления задачи о критической нагрузке на основе энергетического и статического критериев эквивалентны. А именно, согласно статическому критерию (см. 18.2, разделы 3, 6), критическое значение нагрузки получается как первое собственное число р уравнения [c.390]

Уравнениями Эйлера вариационной задачи о стационарности функционала / оказываются исходные соотношения линейной теории упругости, перечисленные в п. 1.1, а натуральными краевыми условиями — кинематические и статические краевые условия. [c.161]

При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений. [c.59]

Действительно, если о удовлетворяет статическим уравнениям в объеме и на поверхности, то коэффициенты при и в объемном и поверхностном интегралах равны нулю, и 5п2 не зависит от и. Продолжая преобразование, наложим в качестве дополнительных условий еще и физические уравнения (1.2), выразим е через о и подставим е=а-Ь в функционал (1) получим функционал Кастильяно 5кз(о). [c.71]

При наложении в качестве дополнительных условий статических уравнений 5п2(и,е, о) переходит в функционал для физических и геометрических соот- [c.74]

При наложении в качестве дополнительных условий геометрических уравнений 5 2 (сг, о, е) переходит в функционал для физических и статических соотношений Эфс(а,е) (табл. 3.5). Этот функционал является промежуточным звеном преобразования 5 2 в 5лз(е) (см. 4.1в). Функционал Зфс преобразуется в 5 3 (а, а) (табл. 3.4), если для удовлетворения дополнительных условий к нему использовать общее решение (1.1) уравнений неразрывности. [c.77]

Смешанный функционал в функциях w, ф для пологих оболочек 3 (w,(f). Этот функционал можно вывести из Эпб( , е, ф, Q, Му) (табл. 4.3) или из 5п5 (ф, Af, W, и, е ) (табл. 4.4), исключая переменную е или М в соответствии с гл. 2, 2.3.2в. Дополнительными условиями к Эс служат некоторые из геометрических и статических граничных условий. Условия стационарности — уравнения теории пологих оболочек в функциях 14), <р и остальные статические и геометрические граничные условия. [c.130]

Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.9) при выполнении кинематических связей и определяющих соотношений (четвертая и пятая формулы (3.9)) соответствуют вариационному уравнению (3.22). Стационарное значение функционала дается формулой (3.21). Это значение минимально при выполнении достаточного критерия единственности решения задачи (3.9). Отметим, что функционалы (3.19) и (3.23) эквивалентны вследствие связи потенциальных функций (2.38). [c.118]

Проварьируем функционал по напряжениям, относящимся к моменту времени t, принимая в качестве вариаций напряжений статически возможные поля напряжений. Под Этими полями понимаются такие распределения напряжений, которые удовлетворяют однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на части поверхности тела Sp (вариации массовых сил и поверхностных нагрузок считаются равными нулю). Тогда [c.357]

В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функционал, зависящий от компонент тензора напряжений, которые должны быть статически возможными, т. е. должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме V и граничным условиям на части Se поверхности тела о заданными поверхностными силами. [c.105]

Условия стационарности полного функционала можно разделить на группы в соответствии с двумя раз личными схемами классификации а) по физическому смыслу уравнений — геометрические, статические, физические б) по геометрическому расположению — уравнения в области и граничные условия. Эти группы могут быть разбиты на еще более мелкие подгруппы, если рассмотреть компоненты векторных уравнений. В качестве дополнительных условий могут быть приняты различные комбинации из этих групп и подгрупп (здесь должна быть использована теоретико-множественная операция объединения множеств уравнений). Число таких комбинаций для большинства полных функционалов в теории упругости и оболочек велико. В гл. 3, 4 будут рассмотрены только некоторые, наиболее интересные из них. [c.39]

Другой пример дают задачи расчета многосвязных оболочек, разобранные в гл. 5. Функционал Кастильяно для многосвязной оболочки при статических граничных условиях имеет в качестве одного из условий стационарности уравнения неразрывности контура отверстия-, его аналог — функционал Лагранжа — имеет в качестве условий стационарности уравнения равновесия контура отверстия, но для задачи с деформационными граничными условиями. Этот пример показывает, что вариационная форма статико-геометрической аналогии позволяет глубже увидеть связь уравнений и найти ее между соотношениями, которые раньше казались несвязанными. [c.135]

В приведенном примере энергетический критерий был применен к задаче, для которой и статический критерий позволял без осложнений получить точное решение. Обычно же к процедуре минимизации функционала (18.119) обращаются в тех случаях, когда интегрирование уравнения (18.120) связано с трудностями (например, если /=,4 onst или Л = onst). Увеличивая число членов в выражении (18.121), можно с любой степенью точности определить критическую нагрузку. При этом существенно, [c.393]

В методе Ритца (1909) дифференциальное уравнение (2.2.11) и статическое краевое условие (2.2.12) не рассматриваются, так как наперед известно, что они автоматически удовлетворяются, если найдется вектор и, точно минимизирующий функционал Ф. Прием, позволяющий определить приближенно этот вектор, состоит в задании его проекций аппроксимирующими представлениями вида [c.153]

Условия стационарности функционала Ху — Ва-шицу имеют классическую, наиболее употребительную в теории упругости форму геометрические соотношения (1.1), статические уравнения (1.6) и физические уравнения (1.2) в объеме V геометрические (1.5) и статические (1.4) граничные условия на повер.х-ности S. [c.65]

Условия стационарности функционала Эпз — геометрические уравнения в деформациях в объеме и на поверхности и зависимости между деформациями и функциями напряжений, которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Отсюда следует, что множители Лагранжа совпадают с компонентами тензора функций напряжений в форме Финци — Блоха — Круткова (см. 1). [c.65]

Из отсутствия в данной задаче каких-либо специфических условий стационарности функционала Ка-стнльяно можно сделать вывод, что выбор упомянутых выше произвольных функций не влияет на напряженное состояние тела другими словами, отсюда следует, что для данного поля напряжений а, удовлетворяющего уравнениям равновесия в объеме тела и статическим граничным условиям на поверхности, можно найти поле функций напряжений, которое на каждом связном участке с заданными напряжениями имеет любые наперед заданные значения tp и ij , лишь бы эти значения удовлетворяли условию [c.167]

Для уяснения основ теории пластичности, а также при решении практических задач большую роль играют вариационные принципы теории пластичности. С их помощью можно описать напряженное и деформированное состояние тела в форме требования минимума некоторого функционала при некоторых дополнительных условиях. В качестве последних используются не все уравнения и неравенства задачи, а лишь часть их. Напомним, что вариационные принципы для рассеивающих сред, в которых варьируются кинематически допустимые поля деформаций и статически допустимые поля напряжений, выраженные через упругий потенциал и потенциал рассеивания, были введены еш е Г. Гельмгольцем и Ф. Энгессе-ром. Для идеально пластического тела из принципа Гельмгольца следует, 265 что действительное поле напряжений обращает в максимум мощность поверхностных сил Но поскольку, согласно закону сохранения энергии, эта мощность равна мощности внутренних сил и сил инерции, то и эта последняя должна стремиться к максимуму. Обобщение принципов Гельмгольца и Энгессера на вязко-пластическую среду получили А. А. Ильюшин , а позднее Дж. Г. Олдройд и В. Прагер. [c.265]

Все сказанное относилось пока к статическим задачам, но МКЭ допускает естественное обобщение и на динамические задачи. Получим для них уравнение МКЭ. Если воспользоваться принципом Даламбера, то нужно рассматривать равновесие тела под действием всех внещних сил, включая силы инерции. Это означает, что в функционал (2.2) войдет дополнительное [c.638]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Смотреть страницы где упоминается термин Функционал и статических уравнений : [c.76] [c.88] [c.127] [c.158] [c.73] [c.74] [c.76] [c.82] [c.121] [c.126] [c.127] [c.127] [c.129] [c.129] [c.129] [c.89] [c.279] [c.305] [c.137] [c.74] [c.77] [c.82] [c.83] [c.130] [c.147] [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...