Норма линейного функционала

Ф(/)1<Л 11/11 i.. называется нормой линейного функционала. [c.216]

При таком определении нормы линейного функционала класс линейных непрерывных функционалов превращается в линейное нормированное пространство, называемое сопряженным (см. п. П. 2.4). [c.217]

Норма линейного функционала 82 [c.418]

Аналогично предыдущему способу вычисления нормы матрицы норма линейного функционала, задаваемого вектором С, на пространстве определяется следующим образом [c.298]

Поясним физический смысл сопряженных граничных условий в случае канала с твэлом, омываемым теплоносителем. Физический смысл второго уравнения (2.43) аналогичен смыслу граничного условия (2.41). Физический смысл первого уравнения (2.43) следующий во входном сечении канала с твэлом и теплоносителем влияние пространственной скорости перемещения единичного теплового источника по направлению внешней нормали к этому сечению на значение температуры в произвольной точке го равно нулю. Для граничного условия (2.34) физический смысл аналогичен, с той лишь разницей, что теперь речь идет о влиянии перемещения теплового источника во входном сечении на некоторый линейный функционал температуры во всей системе. [c.43]

Пространство, двойственное к конечномерному пространству, изоморфно ему, В случае гильбертова пространства имеется естественный изоморфизм каждый непрерывный линейный функционал представляется в виде (у, ) для некоторого вектора . Иногда такое явление наблюдается н для других линейных пространств, но вообще оно не очень распространено. Рассмотрим, например, пространства измеримых функций, р-норма которых [c.700]

Рассмотрим линейный функционал F 7 )->R. Предположим, что этот функционал непрерывен по отношению к норме I Ilm. Тогда существует такое с, что [c.57]

Лемма. Если положительный линейный функционал х а 91 удовлетворяет неравенству (х /) < < , то он непрерывен, а его норма совпадает с значением, которое он принимает на элементе 1 %. [c.82]

Замечание 5.2. Вектор-функция P L Q ) определяет линейный непрерывный функционал l(v) на пространстве Ге) по формуле /(u) = (/ , Обозначим норму этого функционала в (Я (Й, Ге)) через Ц/ОЦ. Тогда [c.47]

Среди операторов особый интерес представляют функционалы. Оператор Ф называется функционалом, если пространство его значений является множеством действительных чисел. Таким образом, линейный функционал — это оператор Ф (а) = X, где а и Я — действительное (или комплексное) число, такой, что Ф (Яа) = ЯФ (а) и Ф (а + Ь) = Ф (а) + Ф (Ь). Совокупность всех ограниченных линейных функционалов на банаховом пространстве сама является банаховым пространством при соответствующем определении нормы функционала, которое обозначается через и называется сопряженным к пространству J8. [c.40]

Заданный на плотном множестве линейный оператор (функционал) можно расширить на все пространство с сохранением нормы (теорема о расширении). [c.326]

Мгл ищем функцию с наименьшей нормой S l т. е. в каком-то смысле наиболее гладкую функцию семейства S , совпадающую с / (х) в точках Хп- Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид S" (х) = 0. Таким образом, (х) линейна на каждом из отрезков [хп-х, х ] и, следовательно, [c.141]

Предположим теперь, что А — собственно регулярная область, и рассмотрим пространство т-1 дА), образованное векторами ту, где V пробегает Нт А). Норма в т-1 (дА) была введена в п. 2. Пусть О (10, г) — билинейный непрерывный функционал на Тт-1 дА) X т-1 (дА). Пусть у — линейное ограниченное отображение из Нт А) в т-ЛдА). Положим Ф(ы, с) = 0 уи, тг ) + В(ы, V). Пусть К — подпространство в Нт А), удовлетворяющее предположениям (I) и (П). Допустим, что О и В таковы, что [c.54]

Между прочим, теорема 7 показывает, что множество Е всех линейных функционалов, определенных в Е, кроме функционала 0 всюду равного нулю, содержит и иные функционалы. Не трудно догадаться, как естественно определить операцию сложения и умножения функционала на скаляр. Норму функционала мы уже определили ранее. Ввиду всего этого, множество Е также можно рассматривать, как некоторое линейное нормированное пространство. Это пространство называется сопряженным пространством к пространству Е. [c.166]

Общие предложения 1 легко переносятся на линейные пространства с несимметрической нормой, при этом нужно иметь в виду, что норма функционала / х) в таком пространстве уже определяется равенством [c.198]

Согласно граничному условию (2.41) тепловой источник единичной мощности, размещенный на внешней поверхности твэла, вли-яет на значение температуры в точке Го внутри твэла. Из (2.41) следует, что эта температура прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности материала твэла вблизи его границы и градиенту ценности источника по направлению внешней нормали к боковой поверхности твэла — [ у п0 ]збок- Понятно также, что эта температура обратно пропорциональна коэффициенту теплоотдачи от твэла к наружному теплоносителю — процесса, конкурирующего с переносом тепла внутрь твэла от теплового источника. Аналогичный смысл имеет и граничное условие (2.32). Разница лишь в том, что при этом речь идет о влиянии не на температуру в точке Го, а на линейный функционал распределения температур по всему объему твэла. [c.42]

С[ ( W ) = / 6 (W ") I supp(/) с и и снабдим получившееся пространство нормой существенной верхней грани . По третьему утверждению леммы 20.5.7 m представляет собой непрерывный линейный функционал на По теореме Хана — Банаха П 2.4 фун1 онал m продолжается на пространство (U) непрерывных функций на Uj следовательно, по теореме Рисса П 2.7 существует такая мера на 7, что для / (W° ) выполнено равенство [c.648]

Покажем теперь, что состояния на % образуют широкий класс в множестве всех линейных функционалов, которые можно определить на 91. Мы скажем, что функционал х на 21 положителен, если (х Л ) — положительное число для всех Л е 21. По предьщущей лемме это требование эквивалентно требованию (х Л) 0 для всех положительных Ле21. Норма х11 функционала х на 21 определяется как зир (х Л) . [c.82]

Пусть V будет аффинное ге -непрерывное биективное отображение множества на себя. Имея в виду будущие приложения, а также желая подчеркнуть ту роль, которую играет ш -не-прерывность отображения V, мы воспользуемся этим свойством лишь в самом конце проводимых ниже рассуждений. Прежде всего расширим отображение V по линейности до биективного линейного отображения множества 91 на себя. Расширенное отображение мы также будем обозначать символом V. Для каждого элемента 5 множества 01 , дважды двойственного множеству Ш, определим ограниченный линейный функционал у [5], действующий из Эг в С,с оотношением (ф V [5]) = (V [ф] 5). Тогда у [5] можно будет отождествить с элементом множества 8 . В качестве такового этот функционал ( 1, теорема 11) имеет норму зир I (ф v [S]). Поскольку отображение V биективно, мы [c.201]

ПустьG некоторое линейное подпространство. Всякий линейный функционал /(х), определенный в О, может быть расширен до функционала F(x), определенного во всем Е, и притом ссохра-иеннем нормы, т. е. так, чтобы [c.164]

Доктательство. Билинейная форма а -, ) —скалярное произведение на пространстве V, и связанная с ней норма эквивалентна заданной норме - . Таким образом, пространство V становится гильбертовым, как только оно наделяется этим скалярным произведением. По теореме Рисса о представлении линейного функционала существует такой элемент из V, что [c.15]

Б гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидкостей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е. к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если последняя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстие предположения о дифференцируемости по Фреше функционала в предыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории, достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от G (s). [c.227]

Известен метод мноиагтелей Лагранжа в задачах о вычислении нормы функционала на линейном подпространстве, выделяемом конечным числом условий ортогональности (теорема Никольского [123]). Задачи теории пластичности приводят к необходимости перенесения этого метода на случай подпространств, выделяемых бесконечным числом условий ортогональности. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...