Функционал J в виде функции Лагранжа

ФУНКЦИОНАЛ / В ВИДЕ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА [c.239]

Функция Лагранжа L = L q, , t) представляет собою функцию времени и функционал от возможных траекторий д (1) частиц системы. По аналогии можно предположить, что функция Лагранжа для поля является функционалом от амплитуды у(г, ). Обычно ее представляют в виде интеграла от плотности лагранжиана, взятого по всему пространству [c.856]

Воспользуемся тем, что операции дифференцирования (8) в силу Преобразований группы и интегрирования по времени перестановочны, и учтем, что функция Лагранжа I содержит, в отличие от функционала 5, дополнительные зависимые племенные 7 = . Тогда условия (10) приобретут вид [c.73]

При энергетическом подходе для описания движения составляется функционал, например действие по Гамильтону с функцией Лагранжа Ь — Т — И, где кинетическая и потенциальная энергия имеют вид [c.86]

Пока не накладываем никаких ограничений на перемещения точек тела, находящихся на поверхности трещины, и предполагаем, что все рассматриваемые функции достаточно гладкие. Чтобы исключить из множества К (е,/, ,) ограничение, связанное с граничными усло-. ВИЯМИ на дУи, воспользуемся методом множителей Лагранжа. В результате получим вариационный функционал вида [c.99]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа экстремального действия. В математике интеграл (24.1) принадлежит к так называемым функционалам, если рассматривается зависимость его величины от вида подынтегральной функции. Задача об экстремуме функционала — отыскание функции, при которой наступает экстремум,— решается методами вариационного исчисления. В результате решения находятся дифференциальные уравнения, выполняющиеся для подынтегральной функции а поскольку в нашей постановке вопроса лагранжиан есть известная функция переменных д, д и I, то получаются дифференциальные уравнения для обобщенных координат, т. е. уравнения движения. [c.208]

Читатель легко обнаружит идентичность уравнений Эйлера (47) и уравнений Лагранжа достаточно в качестве функции (Ц —ядра рассматриваемого функционала (41) —взять лагранжиан L. Отсюда сразу следует естественность введения в рассмотрение функционала следующего вида [c.275]

Методы решения двух последних групп являются приближенны ми лишь условно, так как с их помош,ью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера—Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.9]

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф имеют непрерывные производные не только по и но и по j, что функции Ui x) и ai x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде [c.267]

Система уравнений (9.14.1) - (9.14.3) яв- ляется полной (она содержит 21 уравнение и включает столько же неизвестных функций Т, М, Q, , аг, , у, и, v, tv) и имеет десятый порядок по переменным а и ji. Соответствующий вариационный функционал Лагранжа, лежащий в основе многих прикладных методов расчета, имеет следующий вид [c.226]

Приведем пример построения функционала (21). Функционал Лагранжа и дополнительные условия для задачи изгиба плиты (см. гл. 4) в пространстве Е функций, определенных в плоской области S и принимающих любые значения на границе, имеют вид [c.24]

Функционал Кастильяно при рассматриваемых граничных условиях имеет дополнительные условия вида (28). Этот факт можно обнаружить непосредственно либо при преобразовании Фридрихса функционала Лагранжа Элз. С помощью формул (7) эти условия можно записать в функциях напряжений. [c.166]

Отметим также, что локальные параметры 7 (r a) в выражении (9.1.68) играют роль множителей Лагранжа и находятся из условий самосогласования (9.1.67). С помощью функции распределения (9.1.68) функционал энтропии гидродинамических флуктуаций теперь записывается в виде [c.230]

Функционал (17.5) обладает теми л е свойствами, что и аналогичные функционалы в предыдущих параграфах. Легко убедиться простой подстановкой, что в каждой своей стационарной точке, т. е. на каждой собственной функции, этот функционал обращается в нуль. Для построения функционала в виде отношения квадратичных функционалов (уже для конкретного параметра как собственного значения) нужно, как это мы делали ранее, приравнять Ь и) нулю, разрешить полученное равенство относительно интересующего нас параметра и считать это выражение функционалом. Такая процедура, как и прежде, оправдана, поскольку, применяя к полученному функционалу метод множителей Лагранжа, мы приходим опять к (17.5). Таким способом можно поступать с любым из входящих в задачу параметров, так как ни один из них не ограничивает класс допустимых функций. Исключение составляет лишь частота к во внешних задачах — она содержится в накладываемом на допустимые функции условии излучения, которое не является естественным. Как отмечено в п. 1, в этом случае однородная задача на собственные значения к не ставится. [c.181]

Вектор обобщенных деформаций (включает нормальные и сдвиговые деформации) е , 8 , 8 Нормальные деформации I, т), С Безразмерные пространственные переменные 0 Угловое смещение (угол измерения в гл. 12) и,к ,ку,к у Вектор кривизн при изгибе пластин и его компоненты [х] Матрица Гессе Я Вектор множителей Лагранжа Коэффициент Пуассона [ Х,-J Вектор функции формы поля напряжений П Обобщенный функционал П 7. Пр ,Щ Функционал энергии (нижние и верхние индексы обозначают специальный вид функционала) л 3.1416... [c.14]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

В работе [1] можно найти обзор алгоритмов нелинейного программирования для задач восстановления изображений. Задача сводится к минимизации целевых функционалов с учетом ограничений, накладываемых на функции, входящие в задачу. Если результирующий функционал с учетом ограничений можно нредставить в виде суммы линейного и квадратичных функционалов, то решение задачи находится аналитически. В противном случае требуется создавать вычислительные алгоритмы. Среди них можно выделить следующие метод прямой оптимизации, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов. Последний из перечисленных методов имеет наилучшую сходимость. Еще более быструю сходимость демонстрирует метод модифицированных функций Лагранжа, [c.67]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния.контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния. [c.180]

Построение такой системы функционалов связано с размораживанием дифференциальных связей . Под этим имеется в виду следующая процедура. Компоненты сц девиатора тензора скоростей деформаций не являются независимыми функциями, а связаны условиями совместности. Эти условия могут быть переписаны в виде условий ортогональности тензора ец (ас) к некоторому классу гладких тензорных полей. Выбирая в этом классе счетное плотное множество, приходим к задаче об экстремуме функционала при наличии счетной системы условий ортогональности. Отбрасывая все условия ортогональности, оставляя одно, два или большее конечное число этих условий, получаем искомую последовательность вариационных задач. Конечное число условий ортогональности можно учесть в функционале с помощью игпожителей Лагранжа. [c.88]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...