Стационарные значения и экстремумы функций и функционалов

Из курса математики известно, что равенство нулю первой вариации функционала (3.17) является необходимым условием локального экстремума этого функционала. Оно выражает тот факт, что в локальной зоне изменения функций-аргументов функционал с точностью до бесконечно малых первого порядка сохраняет неизменное (стационарное) значение. [c.55]

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирована так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = у (л), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности [c.305]

Вариационное исчисление является разделом математики, в котором изучается свойство стационарности функции от функций, т. е. функционала. Таким образом, цель вариационного исчисления состоит не в отыскании экстремума функции конечного числа переменных, а в нахождении среди множества допустимых функций такой, которая придает заданному функционалу стационарное значение ). Широко известным примером является нахождение среди допустимых кривых, соединяющих две точки в заданном пространстве, такой кривой, на которой расстояние между этими точками будет минимальным. Другой типичный пример — задача отыскания кривой минимальной длины, охватывающей заданную площадь. [c.15]

Подлежащая исследованию область изменения искомых функций разделяется на ряд подобластей простой формы. Искомые функции аппроксимируются в пределах каждой подобласти полиномами так, что коэффициенты аппроксимирующих полиномов выражаются через значения искомых функций в конечном числе так называемых узловых точек подобласти. Подобласть с выбранными узловыми точками называется конечным элементом. Силовое взаимодействие между конечными элементами осуществляется только в узловых точках. Определение искомых функций в узлах сетки конечных элементов является, по существу, решением задачи Задача об определении узловых значений решается обычно с использованием подходящего вариационного принципа. Принятые для искомых функций аппроксимации сводят задачу о нахождении условий стационарности соответствующего функционала к задаче об экстремуме функции многих переменных. Условие экстремума такой функции представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах, которая, по сути, является системой разрешающих уравнений МКЭ. [c.5]

ЛЯТЬ К интегралам в (14.35) еще слагаемые, либо, что проще, полагать k слегка комплексным это обеспечивает их сходимость. В отличие от функционалов для в рассмотренных выше внутренних задачах дифракции без потерь, функции и в (14.35) теперь обязательно комплексны. Функционал w принимает комплексные значения и на Wo достигает не экстремума, а именно стационарного значения. Для формального применения, например, метода Ритца, этого достаточно, и весь формализм (14.12) — (14.20) применйм к (14.35) и для внешних задач, однако вопросы, связанные со сходимостью решений уравнения (14.20), в этом случае значительно сложнее. [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...