Вариация функционала

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета ограничений, налагаемых на функции клас-са Во второй случае искомая функция а(у) уже не свободна на участке ск. [c.76]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

При вычислении первой вариации функционала Г необходимо учесть следующее. Сумма первых двух членов в (3.2), как это следует из (3.3), является функцией от координат и уп точки Л. Величина уь задана, и вариация от нее равна нулю. Вычисления дают [c.90]

При вычислении первой вариации функционала [c.139]

Остальная часть подынтегрального выражения в (6.21) совпадает с подынтегральным выражением вариации функционала (3.34) при 2 -Л2, 3 = Лз, 4 = Л4, 5 = Л5. Эти равенства выполняются, если в задаче 3 за исходную взята характеристика /с. Исключая величины Л4, Л5 из уравнений (3.37), (3.39), (3.43), получаем [c.152]

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Из равенств (45) и (44) видно, что последний интеграл в правой части представляет собой, с точностью до малых высшего порядка, разность J z x)]—J[z x). Эта разность называется первой вариацией функционала J, т. е. [c.417]

Запишем вариацию функционала [c.38]

С этой целью вводится понятие вариации функционала 8Р(и) = Р(и + 8и) - Р(и). [c.223]

Если и(() является оптимальным управлением, то вариация функционала обращается в нуль, т. е. бF(м) =0. Это условие используется для получения уравнения Эйлера [c.224]

Здесь первое слагаемое, линейно зависящее от би, называется первой вариацией функционала ДЭ1 (би) == бЭ, второе слагаемое есть [c.55]

Из курса математики известно, что равенство нулю первой вариации функционала (3.17) является необходимым условием локального экстремума этого функционала. Оно выражает тот факт, что в локальной зоне изменения функций-аргументов функционал с точностью до бесконечно малых первого порядка сохраняет неизменное (стационарное) значение. [c.55]

Вторая вариация функционала совпадает со второй вариацией полной энергии упругого тела. Так как последняя положительна, то очевидно, что б Э > 0. [c.356]

Вторая вариация функционала положительна. [c.357]

Подставляя суммы (11.15) в выражение (11.13), получим в результате функционал Э, зависящий только от функций времени а,- (f), bj t), ft (г). Считая вариации функций (t), 6bj (t), Ьс (t) независимыми, найдем вариацию функционала Э по каждой из функций и приравняем ату вариацию в соответствии с равенством (11.14) нулю [c.358]

Вариация функционала 55 Вектор обобщенных сил 59, 65, 258 [c.393]

Вычислим вариацию функционала J [c.105]

Найдем вариацию функционала . Варьируя и интегрируя по частям члены выражения (8.84)при условии (8.78), найдем [c.220]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Эта квадратичная форма положительно определенна, третья и следующие вариации функционала /ц тождественно равны нулю таким образом, доказывается неравенство (8.8.1), которое носит не локальный характер. [c.259]

Здесь F — площадь сечения, I — момент инерции площади сечения относительно оси х (см. 3.3), / = J г/ dF. Вариация функционала Лагранжа должна обращаться в нуль при варьировании независимых аргументов w ж v. Варьируя w, получим I [c.388]

Таким образом, вариация функционала при варьировании одного [c.399]

Поскольку вариация функционала есть главная линейная [c.54]

Как в дифференциальном исчислении дифференциал функции представляет собой линейную по отношению к приращению аргумента Да часть приращения функции, так и в вариационном исчислении вариация функционала 62 представляет собой линейную по отношению к вариации функции бу часть функционала. [c.190]

Вариация функционала теперь определяется так [c.321]

Это же условие войдет и в определение вариации / (вариация функционала действия W имеет вид [c.103]

Определяется знак второй вариации функционала если [c.444]

Составим выражение первой вариации функционала (15.7)2 I I [c.445]

Таким образом, вариация функционала имеет вид [c.445]

Доказательство того факта, что функции 1Р, Р, —Ш и О действительно являются потенциалами либо напряжений (1Р, Р), либо деформаций (— и О), строится по единообразной схеме и приводится в блоках /,. .., ///. Упомянутая схема состоит в следующем в разделе 1 каждого блока (см. рис. 15.4, б) указывается от каких параметров-функций зависит функционал в разделе 2 приводится выражение полной вариации функционала в разделе 5 —полная вариация функционала дается на основании формул, помещенных в ячейках а, р, а, Р наконец, в разделе 4 из сопоставления формул для вариаций функционалов, приведенных в разделах 2 и 5, получаются формулы, свидетельствующие о том, что функционал, рассматриваемый в данном блоке, действительно является потенциалом деформаций или напряжений, а также одной из термодинамических переменных Т или 8. [c.466]

Рассмотрим вариацию функционала (15.106) по и и по условию стационарности приравняем ее нулю [c.519]

Вычислим первую вариацию функционала I. При этом необходимо учесть следующее. Первый интеграл в (2.20) есть функция от ус. Вариации Рс7 б11)с, бус связаны, поскольку характеристика ас задана. Вариации буь и б1рь равны нулю, поскольку величины уь и -фь фиксированы. Учитывая все это, получаем [c.71]

Если решение задачи 1 использовать для вычисления, то выясняется следующее. При решении задачи 1 используется связь po ip) = V (V ). и изменение функции а(у), полученной при решении задачи 1, увеличивает х- [c.95]

Для вычисления вариации функционала I варьируем коордн паты точек контура области излома. Величина интеграла зависит [c.37]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Основы теории упругости и пластичности (1990) -- [ c.55 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.15 , c.177 , c.207 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.267 ]

Метрология, специальные общетехнические вопросы Кн 1 (1962) -- [ c.576 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...