Функционал дифференцируемый

Определение 8.11.2. Функционал Ф называется дифференцируемым на некотором множестве вектор-функций, если АФ представляется суммой двух функционалов [c.599]

Определение 8.11.3. Экстремалью дифференцируемого функционала называется вектор-функция 7, для которой Р(6, 7) = О при любом допустимом 6. [c.600]

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Докажем, что функция м = 3 — x минимизирует функционал (12.9) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, 1]. Обратимся к функции м-фт) имеем [c.137]

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф имеют непрерывные производные не только по и но и по j, что функции Ui x) и ai x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде [c.267]

Если для всех достаточно малых возмущений Sf имеет место представление (П.14), то нелинейный функционал F(f) называют дифференцируемым, а вариацию б/ —сильным дифференциалом, или дифференциалом Фреше функционала F(j) в точке / функционального пространства. Термин сильный используется ввиду того, что при оценке сходимости нелинейного остатка Ri(f, б/) к нулю применяется сильная сходимость б/ к нулю по норме L2 [см. П.З]. [c.217]

Замена приращения функционала AF его вариацией 6F означает линеаризацию этого функционала. В конкретных случаях вариация дифференцируемых функционалов вычисляется с помощью формулы Тейлора. Например, пусть рассматривается функционал вида [c.218]

Область определения функционала (1)—множество непрерывных или непрерывно-дифференцируемых функций и(х) (возможно, векторных или тензорных), определенных в области Q п-мерного (чаще всего одно-, двух- или трехмерного) евклидова пространства. Функция может зависеть не только от функции и, но и от ее частных производных. [c.13]

Вариационная задача отличается от обычной экстремальной не только количеством неизвестных, но и характером наложенных на них связей значения и(х) функции и, являющиеся аргументами функционала (1), обычно связаны между собой условиями непрерывности или дифференцируемости. Именно это приводит к различиям в методах решения. [c.14]

Минимизация функционала Ф(0) по (1.92) при Ч (Аг) непрерывной, кусочно-дифференцируемой, симметричной, возрастающей на ф, оо) функцией ( (0) —0) определяет класс так [c.55]

При подстановке этого семейства в функционал, выражающий действие по Гамильтону, мы получаем скалярную функцию скалярного аргумента 3(а). Если семейство является дифференцируемым по а, дифференцируемой по а будет и функция 3 ос). Кривая семейства, для которой 8/ а = О, называется экстремалью действия по Гамильтону. [c.118]

Экстремаль действия по Гамильтону будет экстремалью функционала, в котором вместо функции Лагранжа стоит произвольная дифференцируемая и монотонная функция от функции Лагранжа. В частности, на действительных траекториях минимальным будет интеграл [c.119]

Далее, функционал (9.11) при =S и Z—S может быть непрерывной и даже непрерывно дифференцируемой функцией параметра t. [c.132]

Простейший пример дважды дифференцируемого функционала доставляет функционал [c.194]

Для функциональных пространств с п раз непрерывно дифференцируемыми функциями на отрезке [О, Т] функционал О (х) можно выбрать, например, в виде [c.35]

В качестве области определения функционала (10) можно взять множество всех п-мерных вектор-функций, /-е компоненты которых соответственно до порядков v непрерывно дифференцируемы, удовлетворяющих некоторым фиксированным краевым условиям, таким , что функционал (10) определяет шкалу сложности либо всю совокупность подобных вектор-функций. Эти множества п-мерных вектор-функций соответственно обозначим Хс, X". Множества X,-, X" будем рассматривать лежащими в определяемом далее гильбертовом пространстве 2, т [О, Го]. Сначала определим гильбертово пространство Ь" [О, Гц] следующим образом. Элементами [О, Го] является вся совокупность вещественных вектор-функций вида [c.71]

Для получения условия минимума дифференцируемого функционала вида (12) нужно найти выражение для первой вариации такого функционала. Эта первая вариация равна сумме первых вариаций соответственно дифференцируемых функционалов 0 Л , и J . В качестве функционалов Л ,- будем рассматривать функционалы (8)—(10). [c.75]

Пример. Пусть у = I, Х-. X = X (1), о х) — кривая на плоскости I, х = Ь = Ь (а, Ь, с) — дифференцируемая функция трех переменных. Составим функционал [c.53]

Следовало бы указать, на каком классе кривых определен функционал Ф и какое линейное пространство пробегает к. Можно считать, напри- юр, что в обоих случаях речь идет о бесконечно-дифференцируемых функциях. [c.53]

Определение. Экстремалью дифференцируемого функционала Ф (у) называется такая кривая у, что Е (к, ) = О при любом к. [c.54]

Как было показано в теореме 2.2, принцип виртуальных мощностей эквивалентен вариационному принципу. Если предположить, что действительное поле скоростей имеет девиатор, всюду отличный от нуля, то этот функционал является дифференцируемым, т. е. из него могут быть получены уравнения Эйлера, из которых и определяются напряжения с точностью до шарового тензора. [c.37]

При рассмотрении характеристического функционала (3.21) обычно предполагается, что 0 (ж) — достаточно гладкая функция (например, непрерывная или непрерывная и определенное число раз дифференцируемая). Поэтому, строго говоря, вместо несобственной функции (3.22) надо рассмотреть последовательность гладких функций 0("> (ж), п=1, 2,..., таких, что для любого интервала [а, ], не содержащего ни одной из точек Х , i = 1,2,..., Л/, [c.178]

Общее решение Ж [5(й, t),g(k, 01 неоднородного уравнения (29.61) состоит из суммы частного решения М к, ), (к, )], соответствующего правой части, и общего решения однородного уравнения Jg (Л, )Ж = 0, имеющего вид произвольного (дифференцируемого) функционала Р к, 01 Однако на самом деле этот функционал должен выбираться однозначным образом. Действительно, при 5 = 0 функционал Л, очевидно, должен превращаться в характеристический функционал внешних сил поскольку это же верно и для функционала А , то при любом п 1 должно выполняться соотношение [c.658]

Для любой заданной дифференцируемой (но не обязательно дважды дифференцируемой) функции т] (г) определим функционал энергии [c.205]

Б гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидкостей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е. к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если последняя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстие предположения о дифференцируемости по Фреше функционала в предыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории, достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от G (s). [c.227]

Циолковского, 410 -Эйлера, 121, 407 Формулы Вине, 254 Формы бс1зисные, 325 Функции в инволюции, 692 Функционал, 598 -дифференцируемый, 599 Функция [c.712]

Основные определения. Формально О. ф. / определяют как линейный непрерывный функционал над тем ипп иным векторным пространством достаточно хороших (основных) ф-ции ф(г) / ф — - /, ф). Важным примером основного пространства является пространство D 0) бесконечно дифференцируемых финитных в открытом множестве О с IR" ф-ций ф. Наим, замкнутое множество, вне к-рого ф = 0, наз. носителем ф. Последовательность (pj сходится к ф-ции (р в D (О), если носители ф-цнй 00 равномерно по а к соответствующей производной ф-ции <р(х). [c.375]

Учитывая далее, что функционал Ф (Я,) является непрерывно дифференцируемым, необходимое и достаточное условие его минимума на элементе X замкну1уго множества М = X 0 можно записать в виде вариационного неравенства [c.524]

Здесь x t) — вектор координат состояния УАСП, u t) — вектор управляющей функции. Вектор-функция / (-. ) предполагается непрерывной и непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных x t) и u t). Задача отыскания оптимальных управлений формируется следующим образом. В начальный момент положение УАСП на траектории определяется вектором x to) = xq. Требуется найти такое управление u t), которое переводит УАСП в точку x tk) = Xk, при этом на траектории движения должно реализоваться наименьшее возможное значение функционала [c.141]

Шварц определил О. ф. как непрерывный линсшшй фцнк-vuo-цал (F, ф), заданный в пространстве К всех бесконечно дифференцируемых финитных ф-ций [ф-ция ф(х) паз. фи н и т н о й, если есть такое а, что ф(х) = О прп 1ж >а]. т. обр., О. ф. F считается заданной, если лк.бой ф-ции ф(х) из пространства К сопоставлено число (F, ф), причем (F, аф + = а (F, ф) -1- e(F,i )) и ( ,ф ) —> О, если Ф (ж) — 0 в К. Напр., в-функции соответствует функционал (б, ф) = ф (0), каждой непрерывной ф-ции /(ж) — функ- [c.462]

В теории упругости она берет свое начало от Р. К.уранта и Д. Гильберта [140]. Ими была рассмотрена краевая задача теории упругости при заданных перемещениях. Используя эквивалентность этой задачи проблеме минимизации некоторого функционала, Р. Курант и Д. Гильберт установили при некоторых условиях существование так называемого обобщенного решения, т. е. поля перемещений, придающего минимум интегралу полной энергии системы упругое тело — внешние силы. После этого оказалось возможным установить и условия существования классического решения, т. е. поля перемещений, дважды непрерывно дифференцируемого в й, непрерывного вплоть до 5, где заданы перемещения. Краевые задачи теории упругости послужили основой для отработки столь важных понятий, как положительно определенный оператор. [c.88]

Если Ух В вьшолняется (4.15), то функционал J называется дифференцируемым в смысле Гато в , а оператор V В - В, ставящий в соответствие каждому х В элемент УУ (х) 5, называется дифференциалом Гато. Заметим, что если выпуклый дифференцируемый по Гато функционал минимизируется на всем пространстве, "т. е. когда К — В, то вариационное неравенство (4.14) превращается в вариационное равенство [c.90]

После работы [150] появилась работа [151], в которой тот н- е процесс перестройки криволинейных координат рассматривался для произвольных уравнений эллиптического типа второго порядка от двух независимых переменных. Именно, последуюш,ие приближения определяются путем перехода в уравнении к криволинейным координатам, связанным с линиями уровня предыдуш его приближения и ортогональными к ним кривыми с последую-ш,им отбрасыванием дифференцирований вдоль линий уровня. Подчеркнем, что процедура построения приближений, рассмотренная в [150], применима как к дифференцируемым, так и недифференцируемым функционалам. Случай недифференцируемого функционала, вообш е говоря, не охватывается схемой работы [151]. Наконец, отметим, что вариационная постановка задачи дает возмож- [c.140]

Когда X — гильбертово пространство, производную вещественнозначной функции f Q zX- R в каждой точке можно отождествить с некоторым элементом пространства X. Действительно, если отображение f дифференцируемо в точке а е Q, то его производная fia) является, по определению, элементом двойственного пространства Х = 2 Х R) и, значит, в силу теоремы Рисса о представлении линейного функционала, в гильбертовом пространстве X существует единственный элемент grad/(а), который удовлетворяет условию [c.52]

Начнем опять с рассмотрения случайной функции и х), а<х<Ь от одного переменного. Так как моменты и семиинварианты случайного вектора Я = 1, .., Чм выражаются, как мы знаем, через частные производные соответствующей характернстичесной функции ф(0ь. .., 0 ), то прежде всего нам надо обобщить понятие производной на случай функции от бесконечного числа переменных — функционала Ф[0(д )] относительно функции 0(д ). Напомним,, что в конечномерном случае функция f (0J,. .., в ) = <р (в) иазывается дифференцируемой н точке если ее приращение 1)) = I)) (6 + 6) — I)) (6 ) при небольшом изменении в = вJ,. .., 6 зиачений аргумента предстанимо в виде [c.195]

Аналогично этому функционал Ф[0(д )] мы будем называть дифференцируемым при зиаченин 0о(- ) его аргумента, если при добавлении к 0о(- ) небольшой добаики б0(д ) главная часть изменения бФ[0о(- г)] рассматриваемого функционала линейно зависит от 60 (д ) [c.195]

Совершенно аналогячио определяются вариационные производные от функционалов Ф[в (. ] и Ф[0 (л )] = Ф[0, (л ),. .., 0,у (д )], зависящих от (скалярной или векторной) функции точки х многомерного пространства. Так, например, функционал ф[в(л )] называется дифференцируемым по (х) при заданном значении функции Ь(х) = 0 (д ). 0д (л ) , если имеет место равенство [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...