Функционал дискретный

Другой подход к определению оптимального управления дает метод динамического программирования. При этом используется дискретная форма вариационной задачи и функционал (6.22) заменяется суммой [c.224]

В общем случае распределение температуры неизвестно и необходимо определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели точно такая же, как описано выше, но добавляется один дополнительный шаг. Снова определяют множество узлов и значения темпера туры в узлах 7], Гз,..., которые теперь являются переменными, так как заранее не известны. Область разбивают на элементы, на каждом из которых определяют соответствующую функцию элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это регулирование осуществляют, минимизируя некоторую величину, связанную с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения теплоты, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т (j ). [c.199]

Записать подобный функционал можно потому, что случайное время до аварийного отказа любого из элементов, измеряемое в циклах между соответствующими ТО, имеет геометрическое распределение, являющееся дискретным аналогом экспоненциального (показательного) распределения происходит независимый и стационарный вклад каждого элемента в суммарный наносимый системе ущерб за счет как профилактических замен, так и аварийных отказов. [c.364]

Отсюда следует, что из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил (имеющих потенциал), соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Это так называемый вариационный принцип Лагранжа. Уравнение (15.64) полностью повторяет (15.61) в случае дискретной системы и (15.63) в случае сплошной среды. Функционал П для случая сплошной среды обсуждается в 15.13 и 15.20. [c.487]

Из условия стационарности функционала П получаются дифференциальные уравнения равновесия как уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной проблемы, из этого же условия вытекают условия равновесия на границе (см. 15.20). Уравнения равновесия для дискретных статически неопределимых систем выводятся из (15.64) в нашей книге (см. сноску ) на стр. 563). [c.487]

Наряду с вариационным принципом Кастильяно можно было бы сформулировать и вариационный принцип, полностью симметричный вариационному принципу Лагранжа, если ввести в рассмотрение функционал ТГ, и условию стационарности которого придать вид 6Я =0, Ш — 6Д =0. Варьирование ведется по внешним силам и внутренним усилиям (случай дискретной системы) или внешним силам и напряжениям (случай сплошной среды). [c.492]

Одной ИЗ важнейших проблем при синтезе алгоритмов адаптации является их оптимизация. Применительно к дискретным алгоритмам адаптации это означает, что оператор адаптации А в (3.15) на каждом шаге алгоритма должен выбираться исходя из условия минимизации заданного функционала качества адаптации. [c.83]

Весьма заманчиво синтезировать оператор адаптации из условия минимизации функционала качества (3.24). Однако до последнего времени считалось, что такой критерий оптимальности нельзя использовать для синтеза алгоритма адаптации, так как вектор I, входящий в (3.24), неизвестен и, следовательно, искомый оператор адаптации будет зависеть от неизвестных величин. В связи с этим казалось очевидным, что соответствующие оптимальные алгоритмы адаптации нереализуемы и поэтому не могут найти применения в адаптивных системах управления. Однако более глубокий анализ показывает, что высказанные соображения справедливы лишь отчасти и в ряде случаев не являются препятствием для синтеза и непосредственного использования оптимальных алгоритмов адаптации. Этот факт был установлен в работах [107, 109]. Там же предложен описываемый ниже метод синтеза локально оптимальных дискретных алгоритмов адаптации и установлены условия их реализуемости. Приведем здесь некоторые оптимальные алгоритмы, представляющие наибольший интерес для адаптивного программного управления РТК. [c.83]

Постановка задачи. Как принято в методе конечных элементов (МКЭ), исследуемое тело может быть представлено в виде дискретной модели, состоящей из отдельных элементов. В соответствии с методом тепловых балансов сумма потоков теплоты, проходящих через граничные поверхности элемента, равна заданной величине. В частности, при отсутствии внутренних источников (стоков) тепла эта сумма равна нулю. При таком определении граничные поверхности конечного элемента являются теплопередающими. Замена сплошного тела дискретной моделью приводит к погрешности решения, которая в данной задаче сводится, в основном, к погрешности способа определения потоков тепла через граничные поверхности и способа определения температур. В статических и динамических задачах механики твердого тела, как правило, находят экстремум функционала, являющегося интегралом от его плотности по объему тела, выражаемого через значения переменных в узлах сетки. [c.25]

Преимущественное распространение получило в настоящее время следующее решение задачи оптимизации долгосрочных режимов ГЭС исходный функционал суммарных эксплуатационных издержек энергосистемы записывается в виде функции для дискретного времени, и далее используются математические методы поиска минимума указанной функции. Это решение применено и в данной работе. При этом использованы прямые методы оптимизации функции, к которым относятся методы динамического программирования, случайного поиска и градиентов. [c.37]

Третий фактор — экстремальные свойства функционала. Для функционала, имеющего экстремум или минимакс, в отдельных случаях могут быть применены континуальные варианты методов математического программирования (оптимизация в гильбертовых пространствах [1.1, 1.5]). Чаще же всего применяются различные методы дискретизации при этом экстремальные свойства выбранного функционала переносятся на дискретный функционал, и это помогает при решении задачи (см. 5). Исторически сложилось так, что экстремальные функционалы появились раньше и больше разрабатывались. Однако есть примеры, показывающие, что минимаксные функционалы используются и дают хорошие результаты. [c.171]

Расчетный опыт показывает, что схема 2 имеет хорошую точность для тех задач, в которых направления анизотропии совпадают с направлениями координатных осей. Для задач с косой анизотропией, особенно дискретного характера (например, для оболочек с ребрами произвольного направления) схему 2 лучше модифицировать, добавив к (11), (12) формулы вычисления деформаций по направлениям диагоналей сетки и включив в функционал (13) соответствующие слагаемые (т. е. усреднять значения функционала не по четырем, а по восьми направлениям вычисления нецентральных разностей). [c.189]

Бабич Д.В. Метод дискретной аппроксимации функционала в задачах устойчивости оболочек вращения. - Там же, 1983, [c.14]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Обобщение функционалов (1.2.8) (1.2.10) на трехмерный случай основано на рассмотрении дискретных аналогов (1.2.4)-(1.2.5). Общий функционал с весовыми коэффициентами Ар, Ао, Аа имеет вид [c.519]

Переходя, далее, к функционалам, легко обобщить эти определения. Варьирование аргумента соответствует изменению значения функции ijj (у) в каждой точке у на некоторую величину б Ф (у) (см. фиг. 7.5.2). Тогда функционал F изменяется на величину, которая (в пределе 6i 3 (у) -> 0) является линейной формой по 6i 3 (уУ, суммирование по дискретным индексам, однако, заме- [c.276]

Решение заДач неупругой приспособляемости (расчет стабилизированных циклов) при наличии пластических деформаций сводится с помощью экстремального принципа, рассмотренного в разд. 9, к неклассическим вариационным задачам, аналогичным задачам приспособляемости. В частности, при определении напряжений и приращений (размахов) деформаций система ограничений задачи включает условия (9.2), (9.4) — (9.6), (9.1) или (1.3) и соотношения ассоциированного закона течения. Критерием оптимальности является функционал (9.7). В дискретной форме при исследовании кусочно-ли- [c.40]

При проектировании систем управления ставится задача выбора приемлемых значений свободных параметров алгоритмов. В случае параметрической оптимизации дискретных алгоритмов управления такими параметрами являются такт квантования То и весовой коэ ициент г квадратичного функционала при управляющей переменной или заданное начальное значение управляющей переменной и (0). Для того чтобы помочь в выборе начальных значений этих параметров, ниже приведены некоторые результаты моделирования [5.7]. Свободные параметры не могут выбираться независимо от объекта управления и его технических характеристик. Поэтому здесь приведены наиболее общие правила их выбора. В то же время из результатов моделирования двух тестовых объектов будет видно, что полученные качественные результаты справедливы и для других подобных объектов. [c.94]

Будем полагать, что переменные х и и = 0,1,2,..., N — 1 представляют собой массивы дискретных координат. Дискретизация переменных является необходимым шагом для проведения компьютерных расчетов. Тогда функционал (2.9) преобразуется к виду [c.68]

В П. 61 было отмечено, что использование конечно-разностной аппроксимации функционала и минимизация по дискретным неизвестным приводят к той же системе алгебраических уравнений, которую мы получили бы, непосредственно подставляя конечноразностную аппроксимацию в систему дифференциальных уравнений в перемещениях. Поэтому такой вариант конечно-разностного [c.203]

Функционал Лагранжа для каждого интервала дискретности и каждого режима работы определяется следующим образом [c.10]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Полная потенциальная энергия системы. Можно ввести обозначение для функционала, вариация которого рассматривалась в (15.62) в случае дискретной системы и в (15.63) в случае сплошной среды. Такой функционал — фг/нкцнонал Лагранжа — обозначим символом П. Функционал П представляет собой полную потенциальную анергию упругой системы. [c.487]

Разложение (3.51) вводится затем или в функционал энергии, соответствующий исходной краевой задаче (3.40), или в условие ортогональности невязки этой задачи и выбранных в качестве весовых функций формы, входящих в разложение. Минимизация функционала энергии относительно узловых перемещений й, разложения в первом случае и условие ортогональности во втором позволяют получить дискретные для стационарных задач и полудискретные для задач, зависящих от времени, соотношения МКЭ. Такой подход будет использован ниже (в гл. 5) для решения задач теплопроводности (3.39). [c.105]

Сформулированная выше вариационная задача не поддается решению регулярными методами. Однако линейность максимизируемого функционала (3) и всех уравнений и неравенств, входящих в систему ограничений, позволяет при некотором изменении формулировки задачи попытаться применить к ней методы линейного программирования [3, 10]. Изменение постановки задачи связано, прежде всего, с тем, что решение задачи линейного программирования не может быть получено в виде функциональной зависимости х = х (ф) оно дает только значения искомой функции в дискретном ряде точек. В данном случае такое видоизменение задачи несущественно, потому что профиль кулачка привода клапана быстроходного двигателя внутреннего сгорания всегда изготовляется на основе дискретного ряда значений подъема толкателя, сведенных в таблицу на чертеже кулачка. [c.164]

Таким образом, если пренебречь п.З и п.4 из рассматриваемых ограничений, задачу о поиске передаточной функции W (р), обеспечивающей минимум функционала Ф, можно свести к задаче о поиске совокупности комплексных чисел qi (ioii), обеспечивающих минимум функционала Ф] для ряда дискретных значений О) из диапазона (wj, СО2), а затем из (13) найти Wi (ioj ). Такой подход позволяет определить предельные возможности виброгасящей системы. [c.96]

Возможность существования особых точек (седловых, типа гребней и оврагов и т. д.), разрывности функционала и изменений переменных условных экстремумов на границах допустимых областей, многосвязности, многоэкстремальности функционала, ограничений типа неравенств, дискретность переменных и т. д. — все это приводит к практической непригодности аналитических методов оптимизации теплоэнергетических установок. Применение ЭВМ. и численных методов нелинейного программирования позволяет в основном преодолеть эти затруднения. При малом числе оптимизируемых переменных и при узких пределах их изменения отыскание глобального экстремума практически обеспечивает метод сплошного перебора на ЭВМ вариантов путем обхода в определенном порядке узлов многомерной сетки в пространстве независимых переменных и вычисление в каждой точке значений функций ограничений и функционала. При этом отбрасываются те точки, в которых ограничения не выполняются, а среди точек, для которых ограничения справедливы, выбирается точка с наименьшим (или наибольшим) значением функционала. При оптимизации по большому числу параметров применяются методы направленного поиска оптимума градиентные, наискорейшего спуска, покоординатного спуска (Л. 21]. [c.57]

В рассматриваемой экстремальной задаче функционал является нелинейной функцией независимых переменных. Поэтому задача относится к задачам нелинейного программирования. Вышерассмотренные градиентные методы оптимизации оказались непригодными для поиска глобального экстремума, так как часть переменных (я, ан, и 2г) дискретна и, кроме того, имеются локальные экстремумы. Поскольку время расчета данносо функционала иа ЭВМ БЭСМ-4 составляет не более 1 с и число оптимизируемых переменных в данной задаче невелико, то эффективным при реализации на ЭВМ оказался метод последовательного обхода с полным перебором узлов многомерной сетки, получаемой путем деления интервала изменения каждой независимой переменной на дискретное число отрезков Д. В каждом узле рассчитывалось значение функционала, при этом отбрасывались из расчета узлы, не удовлетворявшие вышеприведенным ограничениям, налагаемым на зависимые и независимые переменные. Минимальное значение функционала соответствует тлобальному экстремуму в окрестности с точностью Д. [c.61]

Под ка/кдым значением дискретной переменной в (2.5) подразумевается одна характеристика или целая совокупность характеристик рассматриваемого объекта (например, диаметр трубопровода и отдельно взятый сорт металла со всеми его характеристиками). В ряде случаев выбор того или иного значения Жд (например, прямоточной или противоточной схемы теплообмена) может повлечь за собой изменение формул в расчетной части минимизируемого функционала 3 (Zh, Хд), изменение структуры балансовых уравнений (2.2) и даже изменение размерности этой системы по непрерывным параметрам Z . Что касается выполнения условий (2.3), то в зависимости от изменения некоторых параметров часть нелинейных функций / из (2.3) может менять свои пределы (особенно границы сверху / ), тем самым сужая или расширяя допустимую область R. Например, допустимая температура стенки паропровода тем выше, чем качественнее марка металла, из которого эта стенка сконструирована. [c.16]

Нетрудно доказать, что функция распределения (1.3.26) соответствует максимуму функционала (1.3.19). Для этого достаточно рассмотреть разность между энтропией 5inf, вычисленной с экстремальной функцией распределения / (ж), и энтропией для некоторого нормированного распределения / (ж), соответствующего тем же значениям средних, а в остальном произвольного. Преобразования проводятся так же, как и в случае дискретного распределения, поэтому мы не будем их повторять (см. задачу 1.6). [c.52]

Вернемся к уравнению Фоккера-Нланка (9.1.49) и будем рассматривать T a]t) как функционал от полевых переменных а (г). Подставим в это уравнение коэффициенты диффузии (9.1.56) и выразим производные по дискретным переменным через функциональные производные, используя соотношение [c.227]

Применим к функциям процедуру локальной аппроксимации, основанную, например, на методе конечных элементов или методе конечных разностей. В результате функционал 3 нриближенно заменяется функцией относительно узловых скоростей перемещений. Расположим теперь точки дискретной модели в узлах интерполяции и отождествим перемещения узлов континуальной среды с перемещениями точек дискретной среды. Под квадратичной формой П будем понимать функцию, полученную при дискретизации первого, квадратичного, слагаемого в функционале (3) под линейной формой А — линейную функцию, полученую при дискретизации остальных слагаемых. [c.190]

Мы различаем три ситуации. Если р > Хл/пНк, то перекрытие отсутствует. Следовательно, результирующая вероятность р) обращается в ноль. Мы понимаем, однако, что -функционное представление состояния движения достоточно грубое. Более полный анализ описывает это состояние с помощью функции Эйри, которая обсуждалась в связи с проблемой равномерного асимптотического разложения. Так что вероятность в данном случае оказывается экспоненциально малой. Если р = Хл/пНк, линия импульсного состояния тангенциально касается максимумов косинусоидальной волны. Это приводит к большому перекрытию и, следовательно, к большой вероятности. Здесь есть, к тому же, и новая дополнительная особенность из-за периодичности электромагнитной волны число таких тангенциальных перекрытий велико. Вклады всех этих областей перекрытия интерферируют, так что важную роль начинают играть разности фаз. Это приводит к дискретности значений импульса, как было математически показано в предыдущей главе. Результаты интерференции из-за периодичности рассматриваемой структуры отчётливо видны в случае, когда р < Хл/пНк, и появляется ещё одна особенность на одном периоде О < < кх < 2тг косинуса есть пересечения в двух разных точках, а именно, [c.635]

В-третьих, при измерениях величин, изменяющихся в пространстве, может возникнуть составляющая погрешности измерений, за-виск д,1Я от одного специфического свойства предназначенных для таких пз.мерений средств измерений. Она обусловлена тем, что нз-мепе.чпе величины строго в точке пространства, как правило, не может быть осуществлено из-за ограниченной пространственной разреиитюшей способности средства измерений. Практически измеряются величины, усредненные на некоторых. малых интервалах длины, на малых площадках, объемах, покрывающих те дискретные точки пространства, в которых требуется определить значения измеряемой величины. Например, прн измерении функционала (2.1) путем его расчета по (2.2), 0г практически представляют собой 1 е значения 0 в 1-х точках объема V, а значения, усредненные на малых объемах пространства V, определяемых размерами термопреобразователей. Это вызывает соответствующую составляющую погрешности измерений, зависящую от свойств средств изме-рени Г . [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...