Функционал частный

П.2.3. Определение и свойства функционалов. Функционалом F(f) в пространстве Z.2 называют такое математическое правило, по которому каждой функции fei-2 (действительной или комплексной) из некоторого класса функций ставится в соответствие определенное число, являющееся значением функционала F(f). Класс функций, на которых определен функционал F, называется областью задания функционала. Функционал — частный случай оператора. Он осуществляет отображение функционального множества в числовое множество. Например, интеграл [c.215]

Заметим, что значение функционала определено только с точностью до произвольного изотропного тензора. Иными словами, для каждого заданного материала определено целое семейство функционалов значения которых отличаются друг от друга на изотропные тензоры. Одна частная форма функционала может быть идентифицирована при помощи нормализации [c.144]

В этой главе мы обсудим некоторые из многочисленных уравнений состояния для жидкостей с памятью, которые предлагались в литературе. Все они являются частными видами общего уравнения состояния простых жидкостей, т. е. предполагается, что функционал в (4-3.12) имеет несколько более конкретный вид. Рассматриваемые типы определяющего функционала удовлетворяют гипотезам гладкости, которые могли обсуждаться или не обсуждаться в гл. 4. Уравнения состояния, которые будут приведены ниже, представляются важными по следующем причинам. [c.210]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Этап 1. Выбор функционала F, зависящего для стационарных задач от искомой функции ф и ее частных производных фх, фу, фг, по вектору пространственных координат [c.16]

Полный дифференциал любой функции состояния согласно выводам 2 должен содержать хотя бы один частный дифференциал внутренней переменной, например температуры. Выражение (5.7) не удовлетворяет этому требованию, следовательно, оно не является полным. дифференциалом (нарушено условие (4.8)), что означает зависимость работы в термодинамике от способа изменения переменных в процессе ее совершения, т. е. работа — функция процесса, а не состояния. Это же следует и непосредственно из определения (5.2). Действительно, термическое уравнение состояния, например (2.1), указывает на зависимость X,- не только от у/, но и от Т. Поэтому при разных температурах под интегралом в (5.2) стоят по существу разные функции Х(у), т. е. работа W — функционал. (Этим. объясняется знак вариации б, используемый часто для обозначения бесконечно малых и Q.) [c.44]

Приведем краткое описание простейших задач оптимизации в механике распределенных систем, не вдаваясь в подробности математического обоснования соответствующих постановок. Будет рассмотрен случай одного дифференциального уравнения в частных производных и квадратичного функционала стоимости при этом будут использованы результаты соответствующих работ [22 45]. [c.301]

Если некоторые условия стационарности полного функционала Э считать выполняющимися заранее, то получим частные вариационные принципы теории упругости. Так, принимая, что заранее выполняются соотношения между Oij и Вц и учитывая соотношение (3.26). [c.107]

Принимая часть естественных условий вариационной задачи за предварительные условия, мы получим вариационные уравнения или вариационные принципы более частного характера, когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых параметров- [c.255]

Она имеет ту же структуру, что и система (18.12.5), но в ней фигурируют только внешние силы и скорости точек их приложения. Осталось определить функционал Р первой степени относительно скоростей пластического течения pt. Применяя ту же идею, которая была использована при определении параметра qi формулой (18.12.2), заметим, что частные производные dQ/BQi представляют собою однородные функции нулевой степени относительно Qi, поэтому между ними существует тождественное соотношение [c.645]

Локальные матрица и вектор-столбец. Для формирования матрицы линейной системы разностных уравнений удобно записать полученные выше соотношения для частных производных функционала п-го элемента в матричном виде. Для получения матричной записи принято использовать так называемую локальную нумерацию узлов и соответствующих им неизвестных температур, действующую только в рамках каждого конкретного элемента разбиения. [c.138]

При использовании локальной нумерации выражения для частных производных от функционала /("> в п-м элементе можно записать следующим образом [c.139]

Теперь рассмотрим структуру глобальной матрицы и глобального вектор-столбца. Начнем с первого уравнения. Поскольку узел / содержится только в первом элементе, то в первом уравнении (4.21) остается только частная производная от функционала первого элемента и оно принимает вид [c.142]

Хочется подчеркнуть, что бесконечность цепочки статистических уравнений, получившихся в результате умножения уравнения (30) на 1, e (xi),. .., e (xi)e (x2),. .. и усреднения, не является следствием этой частной процедуры. Умножение на любую систему функций с последующим усреднением приведет к незамкнутой системе уравнений. В этом можно убедиться, выведя функциональное уравнение для функционала, ассоциированного с [c.256]

Выше говорилось, что вариационные проблемы подразделяются на свободные (без дополнительных условий) и на вариационные проблемы условного экстремума при наложении на функции, от которых зависит функционал, дополнительных условий. Функционалы, соответствующие свободным вариационным проблемам, будем называть полными, а вариационным проблемам на условный экстремум — частными. [c.456]

В следующем параграфе рассматриваются другие вариационные принципы механики деформируемого твердого тела для частных функционалов и вариационный принцип для полного функционала. [c.522]

Когда функционал зависит от функций нескольких переменных, условие стационарности приводит к уравнениям Эйлера в частных производных. Общая схема получения этих уравнений остается прежней. [c.306]

В этом случае коэффициенты О определяются путем решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений, получаемой после приравнивания нулю аналитических выражений частных производных функционала. По искомым коэффициентам при больших порядках полинома (г, s) получаются громоздкие слабо обусловленные нормальные системы уравнения, решение которых может привести к неверным результатам. Кроме погрешности метода, при большом количестве арифметических операций может иметь место вычислительная погрешность. [c.20]

Рассмотрим некоторые частные случаи функционала Ф(и). В случае [c.71]

Синтезируем оптимальный рекуррентный алгоритм адаптации вида (3.41) из условия минимизации идентификационного функционала (3.24). Рассмотрим важный частный случай, когда Yh = 1. В этом случае оптимальные параметры определяются по формуле [c.83]

Сущность этих методов, называемых вариационными, заключается в том, что решение уравнения с частными производными заменяется поиском минимума некоторого энергетического функционала на классе искомых функций. [c.28]

Во втором подходе принимается зависимость вида р = Ф(о, Т), где под Ф понимается нек-рый функционал по времени 1. В частном случае, когда он может быть записан в виде [c.10]

Для краевых задач некоторых типов не существует функционала, из условия стационарности которого определяется решение. В этом случае конечно-элементные соотношения могут быть получены в результате приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, рассматриваемой краевой задачи с помощью метода Бубнова - Галеркина, метода наименьших квадратов, метода невязок (первые два метода являются частным случаем последнего). [c.65]

Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции Б , а с первого для функции Б[ и пытаться тем или иным способом оборвать эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторую функцию Б +1 как функционал от функций Б1 (/ < п), то такой обрыв системы (86.7) становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. В частности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от Б (х/, /) функцию Б2 (х/, Х2, /), мы получаем уравнение для одночастичной функции Б (х , /), которую принято называть кинетическим уравнением. Уравнение Больцмана и уравнение Фоккера - Планка представляют собой частные случаи кинетических уравнений. [c.478]

Если функционал зависит от функции нескольких независимых переменных, условие стационарности приводит к уравнениям в частных производных. Так, если задай функционал [c.384]

Поскольку в общем случае связь и е ., а значит, связь и компонентов перемещений tii неоднозначна, для рассматриваемой задачи термопластичности не удается дать вариационную формулировку, которая бы содержала функционал с известными экстремальными свойствами. В частном случае описания неупругого поведения материала при помощи деформационной теории пластичности в рамках предположения о простом нагружении (см. 1.5) эта связь становится однозначной, материал можно рассматривать как нелинейно-упругий и в вариационной формулировке (1.114) использовать функционал (6.77). Реализация такого подхода изложена в 6.4. [c.258]

Область определения функционала (1)—множество непрерывных или непрерывно-дифференцируемых функций и(х) (возможно, векторных или тензорных), определенных в области Q п-мерного (чаще всего одно-, двух- или трехмерного) евклидова пространства. Функция может зависеть не только от функции и, но и от ее частных производных. [c.13]

Выявление этого общего принципа может быть основано на теории преобразования вариационных проблем, разработанной Р. Курантом и Д. Гильбертом [0.9]. Эта теория позволяет поставить в соответствие друг другу различные функционалы с дополнительными условиями и построить полный функционал без каких-либо дополнительных условий, из которого как частные случаи могут быть получены все возможные функционалы с дополнительными условиями и сформулированы частные вариационные принципы. [c.27]

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется без дополнительных условий, охватывая все компоненты полей выбранного пространства состояний, будем называть полными функционалами. Полный функционал является наиболее общей энергетической характеристикой данной системы, выраженной через все компоненты выбранного пространства состояний. Общность состоит, во-первых, в том, что из полного функционала могут быть получены все возможные частные функционалы в данном пространстве и, во-вторых, в том, что его достаточно для определения всех компонентов полей, т. е. для полного решения задачи в данном пространстве состояний. [c.29]

Частный вариационный принцип. От всех возможных, т. е. удовлетворяющих данным ограничениям (дополнительным условиям), состояний упругой системы истинное состояние отличается тем, что частный функционал имеет стационарное значение при данных дополнительных условиях, т. е. в подпространстве данного пространства состояний. [c.32]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

В этом смысле функционал Ху — Вашицу рассматривается как общий, а все остальные — как частные функционалы. На подробностях здесь не останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе. [c.69]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Оптимальный закон управлспия не является непрерывной функцией параметров ф и 0, поскольку приращения обобщенных координат претерпевают разрывы на границах, разделяющих область В и области А и Б. Разрывность оптимальных по объему движения законов управления имеет место и для более сложных манипуляционных систем и обусловлена наличием разрывов частных производных функционала Й объема движения. Поэтому можно поставить задачу синтеза непрерывных законов управления, в той или иной степени приближающихся к оптимальным. Естественным подходом к ее решению представляется введение достаточно близкой к (2) гладкой функции [c.20]

При наличии аналитического описания системы автоматическую оптимизацию параметров можно осуществить при помощи ЭЦВМ и АВМ. Сущность метода беспоисковой градиентной оптимизации на АВМ заключается в следующем. Путем дифференцирования по искомым параметрам уравнений исходной системы получают уравнения чувствительности, которые моделируются совместно с уравнениями исходной системы. В результате решения указанных систем определяются координаты заданной системы и частные производные координат по настраиваемым параметрам — функции чувствительности, позволяющие вычислять компоненты градиента выбранного показателя качества. На основании вычисленных поправок производится подстройка параметров с целью достижения минимума выбранного функционала — показателя качества. [c.18]

Основная цель оптимизации теплознергетических установок — определение значения термодинамических, конструктивных, технологических, компоновочных параметров, обеспечивающих наивысшую экономичность и надежность работы этих установок. Число таких параметров, например, для блочных энергоуста.новок достигает нескольких сотен. Решить непосредственно такую сложную задачу ограниченные технические возможности ЭВМ и математические методы практически не позволяют. Приходится разбивать общую задачу на частные подзадачи для отдельных элементов энергоустановки с относительно небольшим числом оптимизируемых переменных. Для решения этих подзадач необходимо сформулировать критерий оптимальности, т. е. описать функционал [c.56]

Как видке, знание возмущенных перемещений б дг (Го), б , (Го), г (го) и частных производных от них [см. 4.72)] позволяет при подстановке в (4.73) и (4.74) найти все возмущенные компоненты тензора упругих напряжений. Таким образом, полученные формулы теории возмущений для линейного функционала вектора перемещений и компонент напряжений позволяют определить изменение этих величин в произвольной точке упругого тела под влиянием изменений механических свойств или условий нагружения в любой точке исследуемой неоднородной среды. [c.128]

Эфф. вычисление связных средних в каждом порядке разложения (I) для 5(Р) (а также частичное суммирование к.-л. подпоследовательностей членов этого разложения) проводится, как правило, с использованием графич. техники, вполне аналогичной технике Фейнмана диаграмм, где вместо причинных ф-ций Грина, характерных для квантовой теории поля, применяются т.н. мацубаровские ф-ции Грина (см. /рина функция в статистич. физике). В рамках Т. т. в. имеет место теорема (Уорд и Лат-тинжер [2]) о стационарности (точнее, минимальности) функционала свободной энергии У- по отношению к вариациям полной ф-ции Грина или массового оператора частный случай этой теоремы, соответствующий обобщённому среднего поля приближению, эквивалентен т.н. статистическому вариационному принципу [c.92]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Функционалы, для которых вариационная задача формулируется с дополнительными условиями (опре деляющими подпространство в выбранном простран стае состояний), назовем частными функционалами Частные функционалы получаются из полных пу тем наложения дополнительных условий на некото рые компоненты данного пространства состояний (см 2). Они являются некоторыми энергетическими ха рактеристиками системы в усеченных пространствах Таким образом, в выбранном пространстве состоя ний понятия полного и частного функционалов строго определены и имеют абсолютный характер. При переходе от одного пространства к другому эти понятия становятся относительными. Полный функционал, определенный в некотором пространстве, можно рассматривать как частный в расширенном пространстве он является частным (менее общим) по отношению к полному функционалу в расширенном пространстве. [c.30]

Например, функционал Рейсснера (гл. 3) является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху —Вашицу). Функционал Лагранжа Эл2(и, е)—частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций. [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...