Функционал непрерывный

Если f (/) непрерывен в любой точке /бЯ], то говорят, что функционал f(/) непрерывен на множестве Hi. Заметим, что понятие непрерывности функционала совпадает с аналогичным понятием для функции. Аддитивный функционал, непрерывный в одной точке однороден, линеен и непрерывен всюду на Н. [c.216]

Непрерывность, разумеется, определена через ту топологию, которая придает точный смысл неравенствам (4-2.13) и (4-2.14). Введем теперь понятие гладкости функционала. [c.139]

Принцип затухающей памяти гласит, что если заданы две предыстории, которые почти совпадают в недавнем прошлом, но могут сильно различаться в отдаленном прошлом, то соответствующие им два значения зависимой переменной должны быть весьма близкими. Это требование удовлетворяется при условии, что функционал состояния предполагается непрерывным в смысле соответствующей топологии пространства предысторий, которая определяет малое расстояние между такими функциями. Точная формулировка принципа затухающей памяти должна быть дана в терминах предположений непрерывности и гладкости функционалов состояния. [c.140]

Здесь f = f x) представляет собой некоторое поле, например поле напряжений, которое должно быть допустимым в том смысле, что оно должно удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям и условиям непрерывности. Через / г обозначен некоторый положительно определенный функционал от г, причем интегрирование распространяется на объем V тела В. Минимум в (3.29) достигается при г = г, где г есть действительное поле, вызванное в В заданными поверхностными нагрузками на Sj. Если, например, С представляет собой упругую податливость тела В, то г есть произвольное кинематически допустимое поле деформаций, а f (г) — соответствующая удельная энергия деформаций. [c.34]

Формула (2.2) позволяет поставить, например, следующую вариационную задачу. Для заданных величин Ха, R xa), хь, R(xь) найти непрерывную функцию Д(а ), реализующую минимум функционала х при связи (2.3). Рещение этой задачи дает оптимальный профиль аЬ при фиксированном положении его концевых точек. [c.64]

Задача 2. Найти функции а(у) и у>(у), из которых а[2 ( )] как функция от ф принадлежит классу 0, а <р[у ф) кусочно непрерывна, реализующие минимум функционала (2.6) при изопериметрических условиях (2.7)-(2.9), при дифференциальной связи (2.16), при заданных величинах Уд, уь, (1 -ь ) . и функциях А( ), ), >ро( ) и при условии [c.70]

Задача 3. Найти функцию а(ф), принадлежащую классу и реализующую минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), при заданных функциях ф), А ф), в ф), 1р ф) = <Ра ф), заданных величинах Уо> УЬ) -У, С, граничных условиях (3.29), (3.30) и условиях (3.31) в случае непрерывности функций а, 1 в точке с. [c.97]

Задача 4. Найти функции а ф) и p ф), из которых а ф) принадлежит классу о, а (р ф) кусочно непрерывна, реализующие минимум функционала (3.24) при изопериметрических условиях (3.25), (3.26), дифференциальных связях (3.27), (3.28), условии [c.97]

Задача 5. Найти замыкающую характеристику ае течения свободно расширяющегося газа и функции а(у) и у>(г/) на характеристике ЬЛ, из которых а[у( >)] как функция от ф принадлежит классу а р[у ф)] кусочно непрерывна, реализующие максимум функционала [c.133]

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Проводя аналогичные рассуждения для случая, когда в качестве исходного используется функционал (4.235), и предполагая, что V является непрерывной функцией при переходе через границы конечных элементов, а 5o/<3v — разрывной, получим еще один вариант метода гибридных конечных элементов найти стационарное значение функционала [c.210]

Отметим, что при исследовании вопроса о существовании и единственности решения наибольшие трудности возникают при проверке условий непрерывности (в соответствующем смысле) функционала J (v), в свою очередь связанные с исследованием регулярности решений получаемых краевых задач [типа (5.432) — (5.434), (5.449), (5.455) и т. д.] ввиду сложности эти вопросы здесь не затрагиваются. [c.307]

Для этого рассмотрим непрерывный функционал энергии Гельмгольца [c.210]

Функционал называется непрерывным, если [c.127]

Докажем, что функция м = 3 — x минимизирует функционал (12.9) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, 1]. Обратимся к функции м-фт) имеем [c.137]

За область его определения примем множество функций, удовлетворяющих тем же условиям, что и функция ф. Будем определять минимум функционала на этом множестве. Допустим, что функция о минимизирует функционал (12.33). Покажем, что если эта функция имеет в Q непрерывные вторые производные, то она удовлетворяет уравнению (12.31). Выполнение краевых условий автоматически следует из определения множества функции и. Пусть функция г](р) удовлетворяет тем же требованиям гладкости, что и функция ф, а на поверхности S обращается в нуль. Если i — произвольное вещественное число, то имеем [c.143]

Можно показать, что если г гт п >0, р 0, то здесь допустима вариационная формулировка. В то же время аппроксимация на конечных элементах должна быть более сложной, чем та, которая использовалась ранее, так как здесь уже в функционал входят вторые производные и искать решение нужно уже по крайней мере в классе функций с непрерывной первой производной. Попытка строить решение из кусочно-линейных -функ [c.169]

Следовательно, из последовательности щ можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся по норме к некоторому пределу, который обозначим через Нд. В силу непрерывности функционала на этой функции он достигает своего минимума, т. е. решает поставленную задачу. Остается установить теперь, что введенный функционал (16.4) удовлетворяет всем вышеизложенным условиям и, следовательно, является регуляризующим. Будем [c.191]

Следовательно, уравнение (16.11) имеет собственные значения при отрицательных а. Таким образом, это уравнение (при ос > 0) имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от правой части, а, следовательно, вариационная задача для функционала (16.4) корректна. [c.194]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

Вариационная теорема формулируется следующим образом [87]. Определение решения уравнений движения, включающих функции Од (х), которые являются периодическими по отношению к вектору решетки и удовлетворяют условиям непрерывности перемещений и напряжений как внутри элементов, так и по их границам, равносильно отысканию стационарного значения функционала [c.296]

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф имеют непрерывные производные не только по и но и по j, что функции Ui x) и ai x) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде [c.267]

Задача о переносе схвата. Даны начальная конфигурация и конечное положение схвата (точка или область). Требуется найти непрерывную цепь конфигураций, в которой начальная конфигурация совпадает с заданной, а схват в конечной конфигурации находится в данной точке (или области). Здесь также могут быть заданы условия типа а и (или) б. Условие б может выражаться, например, в виде требования минимизации некоторого функционала от искомой цепи. [c.67]

Функционал (2.71) допустимо рассматривать на непрерывных в V распределениях температуры, удовлетворяющих условию [c.54]

Функционал (2.72) следует рассматривать на непрерывных в [c.55]

При рассмотрении функционалов нужно выбрать определение нормы аргументных функций. Эта норма сама является функционалом, преобразующим функции в скаляры. Если такая норма определена, топология пространства функций также определена, и непрерывность функционала определяется в терминах этой топологии. С другой стороны, следует помнить, что различный выбор нормы может определять ту же самую топологию, и, следовательно, выбор нормы неоднозначно определяется свойствами непрерывности функционала. [c.138]

Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче, убеждаемся в том, что билинейная форма а(и, v) является положительно определенной на V, непрерывность ее очевидна. Следовательно, по теореме Лакса — Мильграма задача (2.495), (2.515) [в (2.495), (2.515) и необходимо заменить на и имеет в V решение и прито.м единственное. По теореме 1.2 эта ироблема эквивалентна задаче минимизации функционала [c.125]

Нетрудно сформулировать ограничения, при которых формы L v) и а (и, V) будут непрерывными на V. Можно проверить, что множество К, определенное по формуле (5.366), выпукло в V замкнутость этого множества вытекает из теоремы Лионса о следах. Таким образом, имеет место теорема, вытекающая из результатов II.3 приложения II и 5.5 решение вариационного неравенства (5.372) эквивалентно проблеме минимизации функционала [c.294]

В принципе минимума потенциальной энергии рассматривается функционал, зависящий от функций щ, непрерывных и принимающих заданные зчачения на части S поверхности тела. [c.105]

Сравним эти две задачи на оптимум для продо.лт.ных и изгиб-пых колебаний. Основное их различие заключается в уравнениях оптимальности во второе уравнение (7.73) входят обе неизвестные функции, в то время как в уравнение (7.68) входит только оптимал],лая форма колебаний и(х). Именно благодаря этому удалось найти сначала и х), не зная S x), а затем и функцию S z). Отсюда ясно, что класс задач, которые можно решить аналитически, ограничивается теми, в которых уравнения оптимальности не содержат изменяемого параметра конструкции и зависят только от смещений. Анализ выражений для вариации функ-циона.1гов типа (7.64) и (7.72) приводит к следующему выводу задачи акустической оптимизации конструкций с параметрами, непрерывно зависящими от пространственных координат, решаются аналитически до конца, если функционал (7.54) и ограничительные равенства (7.52) линейно зависят от этих параметров. Таковы, в частности, задачи, в которых искомые параметры линейно входят в Еыражедия для кинетической и потенциальной [c.264]

Оптимальный закон управлспия не является непрерывной функцией параметров ф и 0, поскольку приращения обобщенных координат претерпевают разрывы на границах, разделяющих область В и области А и Б. Разрывность оптимальных по объему движения законов управления имеет место и для более сложных манипуляционных систем и обусловлена наличием разрывов частных производных функционала Й объема движения. Поэтому можно поставить задачу синтеза непрерывных законов управления, в той или иной степени приближающихся к оптимальным. Естественным подходом к ее решению представляется введение достаточно близкой к (2) гладкой функции [c.20]

Этот функционал допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Рудовлетворяю- [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...