Уравнения для пространственно-временного характеристического функционала

Ответ на этот вопрос оказывается положительным пространственный характеристический функционал Ф[6(л ). 1] действительно удовлетворяет некоторым динамическим уравнениям (вытекающим из уравнений неразрывности и Навье — Стокса) и в принципе может быть определен из этих уравнений по его начальному значению Ф [6 (х), о1 = = Фо[6(л )] (аналогичное утверждение справедливо и для пространственно-временного характеристического функционала см. ниже п. 28.3). Динамические уравнения для Ф[6(л ), Ь] впервые были найдены в фундаментальной работе Хопфа (1952) (см. также Хопф (1957, 1962)). К выводу этих динамических уравнений мы теперь и перейдем. [c.615]

Уравнения для пространственно-временного характеристического функционала [c.628]

Остановимся теперь вкратце на уравнениях, которым должен удовлетворять пространственно-временной характеристический функционал поля скорости. При этом, кроме рассмотрения такого функционала в его обычном пространственно-временном представлении Ф[0(ле, )], мы введем еще следующие три спектральных представления [c.628]

Переход в уравнении (28.56) к какому-либо из трех спектральных представлений (28.51) — (28.53) пространственно-временного характеристического функционала поля скорости может быть осуществлен вполне аналогично приведенному в предыдущем пункте выводу уравнения (28.38). Приведем только окончательные результаты аналогами уравнения (28.56) для функционалов (28.61) — (28.53) оказываются [c.630]

Для представлений (28.51) — (28.53) пространственно-временного характеристического функционала нетрудно также вывести динамические уравнения в форме, аналогичной уравнению (28.59). Так, например, умножив обе части уравнения (28.61) на компоненту а к, О произвольной векторной функции а к, ), удовлетворяющей условию к - а(к, /) = О, суммируя по У и интегрируя по к к t, получим [c.631]

Рассмотрим, наконец, совместный пространственно-временной характеристический функционал поля скорости и поля случайных внешних сил, удовлетворяющий (в спектральном представлении) уравнению [c.654]

Перейдем теперь к выводу динамического уравнения для характеристического функционала, вытекающего из того, что поле скорости удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса. При этом разница между пространственным и пространственно-временным характеристическими функционалами уже будет существенной в настоящем пункте мы рассмотрим лишь случай пространственного характеристического функционала Ф[6(л ), Ь. Продифференцируем формулу (28.2 ) по [c.618]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

В настоящей главе мы рассмотрим вопрос о возможности определения характеристического функционала поля скорости турбулентного потока, причем основное внимание будет сосредоточено на изучении эволюции во времени пространственного характеристического функционала Ф[6(л ), Ц. При этом мы ограничимся рассмотрением турбулентности лишь в несжимаемой однородной жидкости. В таком случае плотность р есть заданная константа, а поле давления р (дс, Ь) удовлетворяет уравнению Ар = — (см. часть 1, [c.614]

Здесь 0 (х) — соленоидальная компонента векторного поля 0 (х), от которой на самом деле только и зависит функционал Ф вследствие несжимаемости жидкости (приводящей к соленоидальности поля скорости), а = = D (х) = >1 (х), U2 (х), />з (х) — векторный оператор вариационного дифференцирования функционала Ф [0 х) I] по компонентам 0 (х) ( 1, 2, 3) его функционального аргумента. Аналогично может быть выведено динамическое уравнение и для пространственно-временного характеристического функционала Ф [0 х, i)], которое имеет вид [c.467]

Эта форма динамического уравнения для Ч [г(й, )] была приведена в статье Льюиса и Крейчнана (1962). Некоторые формы динамического уравнения для пространственно-временного характеристического функционала были также еще раньше указаны Бассом (1953). Заметим, наконец, что динамическое уравнение для пространственно-временного характеристического функционала случайной функции (л , ), описывающей смещения жидких частиц в турбулентном потоке, вытекающее из лагранжевых уравнений движения несжимаемой жидкости (см. часть 1, п. 9.1), выведено в работе Монина (1962г). [c.631]

Рассмотрим пространственно-временной характеристический функционал. Для определения нулевого члена его разложения по степеням Ке воспользуемся уравнением Хопфа в форме (28.61) с опущенными слагаемыми, содержащими вторые вариационные производные. При этом в целях несколько большей общности мы добавим еще к правой части уравнения слагаемое, описывающее эффект несл)гчай-ных внешних сил, действующих на жидкость (вид этого слагаемого был указан в п. 28.4 на стр. 632—633). Таким образом, мы будем решать уравнение [c.652]

Использование аналогичного метбда для пространственно-временного характеристического функционала поля скорости 1 (Л, (о)] сталкивается с той трудностью, что здесь не имеется уравнения тнпа (29.69) (по крайней мере, вывод такого уравнения неизвестен). Эдвардс не столько преодолевает, сколько обходит эту трудность тем, что рассматривает уравнение для не-осрелнениой (дельтообразной) плотности вероятностей в функциональном пространстве реализаций в(дс, 1) случайного поля скорости и применяет осреднение лишь 1 этапе, аналогичном переходу от (2 88) и (29.89). В результате он получает аналогичное (29.92) уравнение относительно скаляра [c.667]

Рассмотрим теперь, какие ограничения налагает на характеристический функционал уравнение неразрывности несжимаемой жидкости дuJдx = 0, т. е. условие соленоидальности поля скорости и(х). Поскольку при рассмотрении этого вопроса разница между пространственным и пространственно-временным характеристическими функционалами несущественна, мы будем обозначать теперь характеристический функционал просто символом Ф[6(л )], не указывая зависимости от /. Рассмотрим сначала случай, когда жидкость заполняет [c.615]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...