Вариационные методы функционалы

Прежде чем излагать суть вариационных методов, поясним некоторые основные понятия. В инженерной практике наряду с задачами, в которых отыскивается экстремум некоторой функции у = fix), встречаются и такие, в которых необходимо отыскать экстремум такой переменной Z, которая сама зависит от выбора функции у(х). Такие переменные Z называются функционалами. [c.189]

На практике более интересным часто является установление условий абсолютного минимума исходного функционала или определение класса функций, в котором найденный закон движения сообщает минимум этому функционалу. Этот вопрос особенно важен в тех случаях, когда оптимальный закон движения отыскивается интегрированием уравнения Эйлера. В тех случаях, когда поставленная задача решается прямыми вариационными методами, всегда есть основания полагать, что найденный закон движения сообщает исходному критерию оптимальности абсолютный минимум в классе функций, представляемых в виде [c.77]

Методы, основанные на использовании условий стационарности так называемых смешанных функционалов 5ш и -Эту, называют, в свою очередь, смешанными вариационными методами. [c.53]

Теория преобразования вариационных проблем дает в наше распоряжение все множество вариационных функционалов, точки стационарности которых являются решением задачи теории упругости или теории оболочек наиболее интересные из них приведены в гл. 3 и 4. В каждой вариационной формулировке задачи принципиально можно применить любой из прямых методов решения вариационные методы в аналитической, численной и комбинированной форме. [c.169]

Разрешающие системы дифференциальных уравнений и функционалы развиваемой здесь дискретно-континуальной теории получим проекционным и вариационным методами. Представим первый из них следующим образом. [c.103]

Цель вариационных методов теории оболочек — заменить задачу непосредственного интегрирования уравнений этой теории задачей отыскания экстремума некоторых функционалов. [c.60]

Вариационные методы построения криволинейных сеток в областях сложной формы хотя и требуют при их реализации решения довольно трудоемких задач (минимизация функционалов от функций многих переменных или решение соответствующих уравнений Эйлера-Остроградского (Э-О)), тем не менее дают возможность строить сетки с хорошими вычислительными достоинствами. Как пра вило, с помощью вариационных подходов строятся структурированные или блочно-структурированные сетки в односвязных и многосвязных областях. Топология сеток может быть при этом различной. [c.512]

Отметим, что часто при разработке вариационных методов построения оптимальных сеток используются не сами непрерывные функционалы, а их дискретные аналоги. Приведем некоторые из них. [c.517]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Основная идея вариационного метода состоит в том, что для искомой величины (например, собственной частоты) находится такая формула, выражающая эту величину в виде интеграла от какой-либо функции (например, от поля собственного колебания), которая, во-первых, дает точное значение искомой величины, если в нее подставить точное значение функции, и, во-вторых, при подстановке приближенного значения функции дает для искомой величины приближенное значение с существенно меньшей погрешностью, чем погрешность подставляемой функции. Такие выражения (функционалы — они дают число в результате операций, производимых над функцией) называются стационарными функционалами. В 15 будут рассмотрены стационарные функционалы от двух функций. [c.138]

Эта глава посвящена вариационным методам решения однородных задач, возникающих в обобщенном методе собственных колебаний. Мы будем рассматривать однородные задачи в дифференциальной постановке и выпишем для них функционалы, стационарные на решениях этих задач. Во внутренних задачах стационарные функционалы того или другого варианта обобщенного метода получаются просто, если известен функционал (удовлетворяющий некоторым дополнительным требованиям) для соответствующей однородной задачи в /г-методе. Результат легко обобщается на внешние задачи. Стационарность функционалов на собственных функциях (и только на них) доказана. [c.146]

Мы же будем искать собственные значения е вариационным методом. Для этого воспользуемся функционалом (см. (15.9)) [c.214]

Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478]

Таким образом, у и L суть функционалы. Естественно поэтому для изучения оптимальных режимов движения ракеты, при которых некоторые характеристики движения (как, например, пройденное расстояние, время подъема на заданную высоту, работа сил сопротивления и т. п.) становятся экстремальными, применить хорошо разработанный математический аппарат вариационного исчисления. Физическая природа формулированной задачи дает нам достаточно оснований для применения именно вариационных методов. [c.145]

Классическая теория при некоторых упрощениях дает для этой задачи приближенную формулу (6.2). Опытные значения обычно лежат в пределах, которым в этой формуле соответствуют значения числового коэффициента от 0,18 до 0,60. При этом верхнее значение получается для наиболее тщательно изготовленных оболочек и для наиболее аккуратных условий эксперимента. Теоретическое значение нижней критической силы вычислялось для этой задачи приближенно — путем применения вариационных методов либо к системе уравнений нелинейной теории оболочек, либо к соответствующему энергетическому функционалу. Число варьируемых параметров в ранних работах было весьма невелико. Так, принимались выражения типа [c.344]

Метод конечных элементов ([38], [39], [76] и др.) является вариационным методом. Сущность его заключается в том, что благодаря достаточно большому количеству однообразных под-.областей удается применить однотипные аппроксимирующие функции внутри каждой области. Допуская определенные скачки на границах подобластей, т. е. не удовлетворяя всем граничным условиям на их стыках, легко подобрать эти функции. В выражениях функционалов учитываются скачки минимизируя функционалы, находят неизвестные постоянные. Метод конечных элементов является промежуточным между аналитическим решением, и вариационно-разностным. При аналитическом задании функции задачу наиболее рационально свести к поиску экстремума. Такой алгоритм прост, - но имеет существенный недостаток. Расчетчик должен угадать правильные выражения для координатных функций. От этого в большой степени зависит точность решения. Вариационно-разностные методы для получения желаемой точности требуют вести поиск экстремума по очень многим переменным. В методе конечных элементов число неизвестных уменьшается по сравнению с вариационно-разностным методом вследствие аппроксимации выражений неизвестных функций внутри каждой подобласти. Но число неизвестных больше, чем в тех случаях, когда координатные функции подбираются соответствующими каждой задаче. Увеличение числа неизвестных позволяет унифицировать координатные функции и сделать решение мало зависящим от того, насколько удается угадать координатные функции. [c.206]

В качестве минимизируемых функционалов могут быть выбраны любые функционалы (потенциальной или дополнительной энергии, среднеквадратической ошибки и др.) и любые вариационные методы (Бубнова—Галеркина и др.) (см. гл. IV). Так как применение достаточно однообразное, то дальнейшее изложение будем вести только для функционала потенциальной энергии, имея в виду, что вполне аналогично следует действовать при применении других функционалов и вариационных методов. [c.206]

В случае применения прямых вариационных методов определение неизвестных функций заменяется отысканием таких значений коэффициентов в их приближенных выражениях, которые придают экстремальное значение выбранному функционалу П. Если функционал квадратичный, границы не варьируются и неизвестные а входят в неизвестные функции линейно, то получаемая система уравнений является линейной и принципиальных трудностей при решении таких задач нет. Однако часто это связано с весьма большими вычислительными работами. Если граница варьируется или по каким-то другим причинам система не получается линейной, то сразу возникают весьма большие осложнения. Поэтому целесообразно применение ЭЦВМ, причем не в стадии решения системы уравнений. При помощи ЭЦВМ достаточно просто реализовать несколько отличающийся вариант применения вариационных методов. Идея заключается в том, что на ЭЦВМ программируется выражение функционала П, т. е. составляется программа, с помощью которой можно подсчитать П при заданных значениях коэффициентов а,. Далее машину используют для [c.219]

Интеграл (2.33) можно вычислять одновременно с решением основной и вспомогательных систем ОДУ, подставляя в (2.33) Z t) на каждом шаге интегрирования. Таким образом, для вычисления матрицы А или вектор-градиента Аг прямым методом необходимо решить т вспомогательных линейных систем ОДУ (2.30) независимо от количества выходных параметров п. При больших т это составит большой объем вычислений. Этот недостаток устранен в вариационном методе анализа чувствительности, где для определения строки матрицы чувствительности Аг интегрируется только одна дополнительная система ОДУ, называемая сопряженной. Вариационный метод применяется для выходных параметров — функционалов вида (2.32). [c.48]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Использование вариационных методов при расчетах резиновых деталей требует применения специальных функционалов [11], минимизация которых по возможным перемещениям приводит к условиям равновесия, а их минимизация по функции гидростатического давления — к условиям несжимаемости. При этом также усложняется алгоритм решения задач, резко возрастают затраты машинной памяти и времени счета, что особенно ощутимо при решении итерационных задач с учетом вязкоупругости материала, контактных задач и задач с переменными граничными условиями, требующих выполнения значительного числа шагов. [c.7]

При этом имеем дело уже не с функционалом, а с функцией и + 1 переменных, в качестве которых рассматриваются ординаты точек о, И ,. . ., Таким образом удается свести исходную вариационную задачу к известной задаче поиска экстремума функции л + 1 переменных, методы решения которой были рассмотрены в 5.2. [c.223]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Отметим, что методы решения вариационных задач, т. е. задач отыскания функций, сообщающих функционалу максимум или минимум, во многом сходны с исследованием функций на максимум и минимум. [c.190]

Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I [f (л )] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции / х) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие числовое значение / [/ (х)]. Иными словами, функционал является как бы функцией от функции . В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят функции / (х). [c.129]

Как было выяснено в 12.5, задачи деформации срединной поверхности и задача изгиба решаются отдельно и независимо. Поэтому при приложении вариационных методов можно составлять необходимые функционалы отдельно для плоского напряженного состояния Тае, и изгиба Л/ар, I . Выпишем соответствующие функционалы для изгиба, а. Функционал Рейснера. Из формулы (12.5.13) следует [c.409]

Вариационными методами называются методы точного и приближенного решения задач, основанные на использовании экстремальных свойств некоторых функционалов. Здесь мы рассмотрим так называемый метод Ритца, а также близкий к нему, хотя и не основанный непосредственно на использовании вариационного принципа, метод Бубнова. [c.388]

Выполняя операции (7-82) с функционалом (7-81), нетрудно получить систему уравнений, эквивалентную системе (7-80), получаемой с помощью метода моментов. Это позволяет считать рассмотренный вариационный принцип Ритца частным случаем метода моментов [Л. 117]. Попытка обобщения вариационного метода на пространственные излучающие системы была предпринята в [Л. 123]. [c.218]

ФОКА МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ —особый способ формулировки ур-ннй квантовой теории поля и квантовой теории многих частиц, основанный на введении спец. функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по вьшолнении всех выкладок устремляемого к нулю. Соответствующие ур-ния имеют вид ур-ний в вариационных производных, и их явное решение может быть представлено в виде функционального интеграла. Совр. методы квантовой теории поля и квантовой теории ми. частиц представляют собой прямое развитие Ф. м. ф. [c.330]

О численной минимизации функционалов теории пластичности. Она осуществляется с применением современных быстродействующих ЭВМ. Вопросам численной реализации вариационных методов посвящены монографии С. Г. Михлина и Б. Е. По-бедри. Широко применяются методы конечных и граничных элементов. Математические вопросы методов решения краевых задач теории пластичности подробно изложены также в работе Г. Я. Гуна [3]. [c.321]

С эгими двумя частями расчета связаны два ос-нова1П1Я для классификации вариационных методов расчета по используемому функционалу и по методу решешш вариационной задачи. Этот подход отражен на рис. 5.11, на котором радиусы разделяют методы, связанные с выбором функционала, а окружности — методы решения вариационной задачи (методы дискретизации). Выбор метода расчета приводи- к одному из криволинейных прямоугольников 1. 1 этой [c.169]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Вариационные методы позволяют понизить порядок производных в выражениях, стоящих в функционалах, по сравнению с исходными дифференциальными уравнениями. Последнее существенно расширяет класс допустимых функций, облегчает оценку погреншости приближенного решения и т. д. Кроме того, рассматриваемые ниже вариационные методы позволяют исключить иа рассмотрения естественные граничные условия. [c.46]

Найдем это собственное значение вариационным методом. Для этого запишем функционал для гю-метода, стационарный на собственной функции, и применим к это.му функционалу метод Ритца. [c.211]

Применялись различные вариационные методы, основанные на разных функционалах [70], и итерационно-вариадионные методы, при которых итерации чередуются с применением какого-либо функционаша [12]. В качестве пробных можно использовать как некоторые фиксированные функции, так и получающиеся в ходе итераций. Обычно каждая ступень в итерационно-вариационной схеме дает уменьшение погрешности на порядок. Следует упомянуть также методы типа Монте-Карло [42]. Рад методов, разработанных для решения задач о переносе излучения в спектральных линиях, о которых мы скажем далее, могут быть применены и к задачам монохроматического рассеяния. [c.100]

Исходным положением нри определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения прибли женного решения но методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом. [c.236]

Я. А. Пратусевича (1948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные точки кроме того, послекритические состояния оболочек представляют определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти единственным средством получения конкретных численных результатов (X. М. Муштари, 1946, 1955 А. С. Вольмир, 1956, 1965 X. М. Муштари и К. 3. Галимов, 1957 А. В. Погорелов, 1962, 1966, 1967, и др.). Многие задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича (1939), согласно которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть — в вариационном смысле. Получил распространение также метод сведения задачи устойчивости к обыкновенным дифференциальным уравнениям (В. 3. Власов, 1932, 1939). [c.337]

Обобщим рассмотренные методы анализа чувствительности на другие динамические параметры-функционалы. Предварительно отметим, что как прямой, так и вариационный методы анализа чувствительности справедливы при расчете коэффициентов влияния таких динамических параметров, как длительность задержек фронтов и длительность фронтов. Действительно, эти параметры определяются либо как интервал времени, когда выходной сигнал достигает некоторых заданных уровней, либо как разность интервалов времени, когда выходной сигнал достигает некоторых двух других, но опять-таки заданных уровней. При анализе чувствительности вариационным методом количество систем линейных дифференциальных уравнений, которые необходимо интегрировать в обратном времени, возрастает пропорционально количеству динамических параметров. Причем отрезки интегрирования для каждой из систем разные. Это связано с тем, что начальные условия K ti)=0 для каждого выходного параметра задаются в различные моменты времени. В то же время порядок системы линейных дифференциальных уравнений относительно чувствительности переменных состояния к изменениям управляемых параметров, которую необходимо интегрировать в прямом методе анализа, остается прежним при анализе чувствительности перечисленных параметров. В этом случае изменяется лищь отрезок интегрирования. [c.148]

ФОКЛ МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ особый спо соб формулировки ур-ний квантовой теории поля и квантовой теории многих тел, остшванный на введении спец, функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по выполнении всех выкладок устремляемого к пулю. (Соответствующие ур-ния имеют вид у])-пнй в вариационных производных, и их явное решение может быть нредставлепо в виде континуального интеграла. Ф. м. ф. получил в последние годы бурное развитие, и с функциональным подходом связаны обнадеживающие перспективы эффективного выхода ш рамки возмуи ений теории. [c.325]

Надо отметить, что в 1956—1961 гг. академиком Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками был предложен еще один метод решения задач на экстремум в замкнутой области, называемый принципом максимума . Этот метод — очень общий, так как он позволяет решать и ряд особых задач (в которых функционалы линейны относительно управления), важных для теории автоматического управления и в то же время с трудом поддающихся решению классическими методами. Для таких задач принцип максимума особенно удобен. В то же время именно вследствие своей общности этот метод слишком громоздок для решения наиболее часто встречающихся задач линейного характера. Для решения же линейных задач с ограничениями наиболее удобно пользоваться модификацией классических вариационных методов, использующих обобщенную теорему Эйлера и преобразование переменных, предложенное Н. Гернет. В настоящее время этот прием широко используется Ю. Н. Петровым в его многочисленных работах по оптимальным методам автоматического управления электроприводом. [c.245]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Вариационные принципы, порождающие системы уравнений пщро-динамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и для построения численных методов решения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интегральных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, — на достижение общности вариационных принципов. [c.7]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...