Максимум и минимум функционалов

МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ [c.158]

Отметим, что методы решения вариационных задач, т. е. задач отыскания функций, сообщающих функционалу максимум или минимум, во многом сходны с исследованием функций на максимум и минимум. [c.190]

Основные понятия. Предметом вариационного исчисления Д является исследование функционалов на максимум и минимум. [c.439]

На рис. 2.1 множество функционалов данной теории изображено в виде сферы. На полюсах расположены функционалы, имеющие максимум и минимум полные функционалы тяготеют к экватору и имеют минимакс и максимин, а у некоторых из них отсутствуют какие-либо экстремальные свойства. [c.47]

Справедливо и обратное рассуждение для того чтобы 5 (0) = 0 при любой функции ц (0 надо, чтобы множитель при ц 1) под интегралом также равнялся нулю, т. е. из принципа Гамильтона тоже можно вывести уравнения Лагранжа. Чтобы выяснить, какое именно экстремальное значение принимает 5 — максимум или минимум или даже вообще не принимает ни того, ни другого (что тоже возможно при S (0) = 0), необходимо применить достаточные условия экстремума функционалов, т. е. интегралов, зависящих от линий, вдоль которых эти интегралы вычисляются. [c.377]

Отсюда следует, что все варианты функционала Лагранжа в точке стационарности имеют условный минимум, а все варианты функционала Кастильяно — условный максимум. Условная экстремальность функционалов 5л4 и 5к4 следует, из того, что они получены соответственно из Эщ и из 5к2 заменой переменных. [c.131]

Преимущество применения вариационного принципа 6/1 = О с функционалом (12.29) заключается в том, что 1[ содержит лишь функции координат, относительно которых проще делать предварительные предположения, нежели относительно /г кроме того, для некоторых задач с той или иной симметрией этот принцип сводится к принципу истинного максимума или минимума [49, 50, 52]. Наконец, часто удается связать значение, достигаемое 1 при й = и, с суммарными величинами, представляющими основной интерес (сопротивление, расход, поток тепла, вращающий момент и т. д.). Это вытекает из того факта, что РКи = Р/(/г, Аи = иКН, и( ) = П[/ о, где — источник в уравнении (10.1), а П — проектор на подпространство с базисом (а = 0, 1,. .., /V) (для простоты мы принимаем Но = 0). Таким образом, для 1г = Н имеем [c.257]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления, или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота или других объектов) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошен- [c.141]

Обобщенное решение IV, Ф задачи 9я, даваемое теоремой 22.6 и придающее абсолютный минимум функционалу 5 х(н ) в Яэх, будет также, в силу теоремы 22.1, и критической точкой функционала ш) в Яд. Однако далеко не всегда IV, будут придавать минимум эхС Р, н ). Более того, во всех достаточно хорошо изученных случаях можно утверждать, что V, н — лишь точка экстремума, не являющаяся ни максимумом, ни минимумом. Образно говоря, ситуация с функционалом в Яэх аналогична отысканию крити- Рис. 22.1 [c.199]

Для достоверной оценки средней квадратической погрешности Z (и,) достаточно располагать приближенными значениями С Xi и АУ AJ (ui). Исходя из общих свойств собственных значений [9], можно найти %i, а для определения AJ используем дополнительный вариационный принцип, который приводит к встречному функционалу, принимающему на истинном решении задачи одинаковое с (1.115) экстремальное значение, но являющееся не минимумом, а максимумом. [c.40]

Полученные в гл. 3 и 4 полные функционалы теорий упругости и оболочек имеют в точке стационарности минимакс или максимин, или то и другое (сед-ловую точку), или не имеют ни экстремумов, ни минимаксов. Среди них не обнаружено полных функционалов, имеющих минимум или максимум. [c.45]

В кристалле расположение атомов носит статистический характер, а термодинамический потенциал Ф системы является функционалом в пространстве функций распределения n(R), где R - координаты атомов (рис. 1.9). Они отражают статистический характер распределения атомов в кристалле. Значение Ф в начале координат соответствует идеальному кристаллу, а в точке - реальному. В последнем случае при заданных внешних параметрах существует колебания решетки, точечные дефекты и т.д. Это обуславливает минимум в точке Пк. Точка Пк отвечает реальному жидкому или аморфному состоянию. Крайняя точка справа соответствует идеальной жидкости, точка по - максимуму термодинамического потенциала. [c.42]

Задано условие оптимальности процесса, выражающееся в условии минимума, максимума, минимакса и т. д. некоторого показателя I [и ( )], который является функционалом от переменных х [Ь, и]тя.и 1), описывающих процесс на отрезке времени где он протекает. Например, часто встречаются условия минимума показателя 1, выражающего величину расходуемой энергии или максимум управляющей силы и и т. п. [c.182]

Исходным пунктом рассуждений является принцип оптимальности, утверждающий, что отрезок некоторой оптимальной траектории есть снова оптимальная траектория. Принцип оптимальности составляет довольно общее утверждение, справедливое для широкого класса процессов. Поэтому, в частности, он справедлив для многих задач об оптимальном управлении и, в том числе для задач о минимуме или максимуме функционалов вида [c.203]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Качество выполнения каждого маневра Ъ характеризуется функционалом X Т) — максимум полезного веса или минимум стоимости S. Управляющие функции двигателя u t) из (1.4) выбираются так, чтобы удовлетворялись связи (1.1) и достигался экстремум функционала х (Г) [c.282]

Необходимую оценку точности в тех случаях, когда нет возможности сопоставить результат с натурным испытанием, обычно получают, используя определенные свойства функционалов. Предыдущими доказательствами было отмечено, что истинное решение соответствует стационарному значению функционалов, т. е. бП = = 0. Ранее уже было установлено сходство вариации и производных. Если первая производная функции равна нулю, то функция в данной точке имеет экстремум. Для выяснения характера этого экстремума следует найти вторую производную. Если она положительна, функция в рассматриваемой точке имеет минимум, если отрицательна — максимум. Точно так же бП = О показывает, что значение П экстремально. Далее следовало бы найти вторую вариацию б П (при разложении в ряд Тейлора сохранить также квадратные слагаемые) и выяснить ее знак при бП = 0. [c.116]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

При оптимизации теплоэпергетическх установок во многих работах в качестве критерия оптимальности рассматривается или максимум тепловой экономичности или минимум суммарных расчетных затрат. В этих случаях функционалом является или выражение удельного расхода (к. п. д.) или выражение суммарных расчетных затрат. В качестве ограничений обычно рассматриваются допустимые значения давлений, температур, скоростей теплоносителей, температур стенки, пределов прочности материалов и многие другие факторы. При решении таких задач функционал и функции ограничений (все или частично) нелинейны относительно оптимизируемых переменных, причем функционал может иметь выпукло-вогнутый характер изменения. [c.56]

Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3). На основании 3 гл. 2 задачам минимизации выпуклых функционалов Эл1 —Элз, Эл5, Элб (табл. 3.1) соответствуют задачи отыскания седловых точек (т. е. одновременно мини-макса и максимина) полных функционалов — Эпз, Зп5, 9п6 (табл. 3.3) (см. табл. 3.6). Невыпуклому функционалу Эд4 соответствует задача отыскания ми-нимакса, но не максимина полного функционала Э 4 (см. 3.26 гл. 2). Функционал Эп4а получен из Э 4 путем исключения множителей Лагранжа. Для определения его экстремальных свойств необходимо дополнительное исследование (см. гл. 2, 3.3), которое показывает, что этот функционал не имеет ни седло-вой точки, ни минимакса, ни максимина. Действительно, при каждом фиксированном наборе части переменных он линейно зависит от остальных переменных и, следовательно, принимает все значения от —оо до +00, т. е. не имеет ни конечного максимума, ни конечного минимума. [c.86]

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ — управление технич. объектами, обеспечивающее наилучшее в к.-л. заранее определенном смысле протекание технологич. процесса. Каждый технологич. процесс характеризуется основными параметрами, определяющими его качество — т. н. показателями качества (такими, напр., как суточная производительность промышленного агрегата затрата топлива при выводе спутника на орбиту время, необходимое для перемещения летательного аппарата из одной точки в другую, и т. п.). При математич. описании процессов оказывается, что показатели качества являются функционалами от управляющих воздействий, рассматриваемых как ф-ции времени. Поэтому задачи, возникающие в теорпи О. у.,—это вариационные задачи о минимуме илп максимуме соответствующего функционала. Одпако одной из основных особенностей теории О. у., не позволяющей непосредственно использовать методы и результаты классич. вариационного исчисления, является необходимость учета ограничений, наложенных на управляющие воздействия и регулируемые параметры системы. Эти ограничения вызываются, нанр., тем, что мощность двигателя или отклонения управляющих рулей машины не могут в силу конструкции объекта превосходить нек-рых определенных значений. В других случаях ограничения на управляющие воздействия и параметры системы появляются в связи с наличием ряда технологич. требований (напр., недопустимость повышения темп-ры в к.-л. точке агрегата выше нек-рой заданной). Независимо [c.508]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...