Область функционала

Васильев В. A. Асимптотика экспоненциальных интегралов в комплексной области. Функцион. анализ и его прил. 1979, 13 (4), 1-12. [c.319]

Функция, представляющая собой аргумент функционала, будет определяться в заданной области определения ее аргумента, но значение функционала может зависеть от вида этой функции только в некоторой области изменения аргумента, меньшей , чем область определения. Например, в уравнении (4-2.2) нужно рассматривать лишь интервал между а и Ь, а в уравнении (4-2.6) — только значение 100, хотя в обоих случаях область определения функции / ( ) может быть много шире. По этой причине уравнение, содержаш,ее функционал, будет включать указание интервала, в котором необходимо рассматривать арг епт функции, например ) [c.136]

Заметим, что существование дифференциалов Фреше вновь определено в терминах топологии области определения функционала. Действительно, соотношение (4-2.18) требует только того, чтобы был определен точный смысл понятия, что расстояние между ofo и я )о + Ч бесконечно мало. [c.139]

Норма некоторой предыстории (s) в области определения функционала состояния (обозначаемая через л) вводится следующим образом [c.140]

Предположим, что функционал а в уравнении (4-4.29) непрерывен всюду в своей области определения в смысле нормы, определяемой соотношением (4-2.22). Рассмотрим далее две предыстории Т и Т, которые отличаются друг от друга только в некий отдельный момент времени в прошлом. Согласно уравнению (4-2.22), две такие предыстории находятся на нулевом расстоянии друг от друга, и, следовательно, значение А одно и то же для обеих предысторий. Сформулированный выше принцип затухающей памяти означает, что отдельные ники нулевой продолжительности, которые могут иметь место в прошлом, несущественны. На рис. 4-1 приведен пример двух предысторий температуры рассматриваемого тина. [c.155]

Разумеется, было сделано предположение, что функционал не только непрерывен, но и дифференцируем по Фреше во всей своей области определения в смысле топологии пространства предысторий Т Ffl, определенной нормой (4-2.22). [c.161]

Рассмотрим теперь вместо этого задачу экспериментального определения функционала. Аргументами в этом случае являются функции, и мы сталкиваемся с проблемой изучения пространства функций и проведения экспериментов в некотором интервале этого пространства. Отвлекаясь от того факта, что топология пространства заранее неизвестна (в сущности, вопрос, при какой топологии функционал будет гладким, является лишь одним из тех, которые необходимо решить), следует помнить, что пространство функций не счетное в обычном смысле. Немыслимо представить себе программу экспериментов, которые исчерпали бы некоторую подобласть области определения исследуемого функционала, если только такая подобласть не может быть описана при помощи конечного числа скалярных параметров. [c.168]

Если теперь проводить эксперименты с некоторой новой частотой (i i Ф соц, то снова следует ожидать линейного поведения в области низких значений у - Кульминационный пункт состоит в том, что если выполняется уравнение состояния, подобное уравнению (6-3.46) (или, говоря более общим языком, если топология пространства предысторий, в котором функционал Jg непрерывен, определена также и в терминах скорости деформаций), то следует ожидать существования точки разрыва (т. е. точки, начиная с которой наблюдаются отклонения от линейного поведения), соответствующей некоторому критическому значению у или по крайней мере зависящей как от у , так ы от е. В то же время, если выполняются гипотезы гладкости теории простой жидкости, то следует ожидать, что точка разрыва будет соответ- [c.229]

В случае нестационарных уравнений основные положения МКЭ — деление на КЭ, подбор аппроксимирующей функции и минимизируемого функционала — по-прежнему применяют по отношению к пространственной области. Тогда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [c.166]

Среднее значение потенциала поля течения ср (х) по области В—А в соответствии с условием (3. 4. 3) есть среднее значение функции 9ц (х) но этой же области. Для его определения необходимо минимизировать средний функционал. В свою очередь, определение связано с определением минимума функционала J по всем периодическим функциям 9 (у, х), удовлетворяющим условию (3. 4. 3). [c.115]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Область определения функционала может задаваться также с помощью системы дифференциальных уравнений. Для удобства построения метода поиска экстремумов функционала в этом случае примем следующие обозначения [c.606]

Указать область определения для функционала принципа Гамильтона. [c.625]

Произведем разбиение Q на отдельные подобласти Тi, границы которых будем обозначать через дТi. Рассмотрим отдельную подобласть Ti и временно предположим, что нормальная производная от и на дТ/ известна, тогда, по доказанному ранее, решение задачи (4.262) в области Ti эквивалентно задаче минимизации функционала [c.209]

Обратимся к решению задач теории упругости (4.237) — (4.239). Произведя разбиение ti на подобласти Т[ и считая временно перемещения на дТI заданными, придем к выводу, что решение этой задачи в области Ti эквивалентно задаче минимизации функционала [c.210]

Формула (12.13) позволяет функционал, ранее определенный в области Da, распространить на все элементы пространства На-Элемент uo минимизирует функционал (12.13), поскольку очевидным является равенство [c.139]

За область его определения примем множество функций, удовлетворяющих тем же условиям, что и функция ф. Будем определять минимум функционала на этом множестве. Допустим, что функция о минимизирует функционал (12.33). Покажем, что если эта функция имеет в Q непрерывные вторые производные, то она удовлетворяет уравнению (12.31). Выполнение краевых условий автоматически следует из определения множества функции и. Пусть функция г](р) удовлетворяет тем же требованиям гладкости, что и функция ф, а на поверхности S обращается в нуль. Если i — произвольное вещественное число, то имеем [c.143]

Докажем теперь, что задача о минимуме функционала (12.33) имеет решение, если область определения функционала нужным образом расширить. Соответствующее решение, как и раньше, будем называть обобщенным решением. Образуем разность [c.143]

Чтобы определить число б, достаточно близкое к й, можно поступить следующим образом. Пусть имеется функционал Ф(ц), минимум которого равен —(1. Тогда, положив б = —Ф(и), где и — любой элемент из области определения функционала Ф и), приходим к оценке (12.72), являющейся весьма точной при подходящем выборе элемента и. Выше мы уже говорили о методе ортогональных проекций, который и дает пример построения такого функционала. В результате для энергетического функционала (и, следовательно, самого решения) получается верхняя и нижняя оценки погрешности. [c.153]

Перейдем к экстремальной формулировке задач с ограничением. Естественно, что в этом случае областью определения функционала также служит множество, которое должно быть выпуклым. В силу этого соответствующий раздел математики называется выпуклым анализом (или выпуклым программированием). [c.159]

В общем случае распределение температуры неизвестно и необходимо определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели точно такая же, как описано выше, но добавляется один дополнительный шаг. Снова определяют множество узлов и значения темпера туры в узлах 7], Гз,..., которые теперь являются переменными, так как заранее не известны. Область разбивают на элементы, на каждом из которых определяют соответствующую функцию элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь отрегулированы таким образом, чтобы обеспечивалось наилучшее приближение к истинному распределению температуры. Это регулирование осуществляют, минимизируя некоторую величину, связанную с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения теплоты, то минимизируется функционал, связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т (j ). [c.199]

Основные этапы применения метода конечных элементов для приближенного решения сформулированной вариационной задачи следующие. Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Разбиение на элементы может быть выполнено множеством разных способов, так как выбор размеров и форм элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно -имеют треугольную или четырехугольную форму. Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (23.25) в виде суммы [c.247]

В механической теории простых жидкостей с затухающей памятью, которая будет рассматриваться в следующем разделе, используется формулировка принципа затухающей памяти, принадлежащая Колеману и Ноллу [3], которые определили топологию области определения функционала состояния при помощи введения функции затухания, т. е. скалярной функции h (s), обладающей следующими свойствами [c.140]

Получение решения методом конечных элементов связано с приближенной шаишзацией функционала, который определяется как интеграл от неизвестных величин в узловых точках во всей области. Вариационная формулировка задачи (I) - (4) связана с рассмотрением функционала [c.134]

Учитывая квадратичны свойства исходного целевого функционала, можно предположить наличие единственности решения и одноэкстремальность задачи. Ограничения (7.31) выделяют допустимую область простейшей формы типа многомерного параллелепипеда. Эти функциональнее свойства задачи позволяют существенно упростить организацию поиска как внутри, так и на границе допустимой области. [c.212]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

В сформулированной задаче область определения функционала формируется свободно выбираемыми из области D функциями u(i). Поэтому градиент функционала целесообразно построить именно в этом пространстве. Составим вспомогател11НЫй функционг л [c.607]

Найдем решение сопряженной системы ф = onst, V2 — (t — Т)Ф + ф2(Т). Функция ф2 t) служит градиентом функционала 0 и определяет структуру оптимального управления. Из условия трансверсальности следует, что ф2(Т) ф 0. Поэтому функция ф2 1) может обратиться в нуль всего лишь в один момент времени, и рассматриваемый функционал может иметь экстремумы только на границе области управления. Поскольку требуется найти минимум функционала, то следует выбирать и = — sigii 02- Только в этом случае любая вариация управления будет приводить лишь к увеличению функционала. Из условия трансверсальности тогда следует, что ф2(Т) = 1. В любом случае в зависимости от значения ф управление как функция времени либо вообще не имеет переключений и все время остается равным какому-либо ограничению допустимой области, либо имеет только одно переключение с одного ограничения на другое. [c.610]

Указать область определения для функционала принципа Мо-пертюи-Лагранжа-Якоби. [c.625]

Таким образом, задача свелась к отысканию одной скалярной функции 6 = 9(xiX2) из условия минимума функционала (5.327) на множестве функций, удовлетворяющих в области ограничению в виде неравенства (5.328) и граничному условию (5.329). [c.286]

Для вычисления вариации функционала I варьируем коордн паты точек контура области излома. Величина интеграла зависит [c.37]

В этой задаче D — область трещипы (здесь круг) с коптуром С X, I/ — значения х, у на контуре, F = яй В. = i.x Y + у ) йж = бД/ os 0, б(/ = бЛ/sin 0, М — 2 1 — аиЛН). Функционал Ч " в аространственвой задаче есть площадь поверхности трещины, [c.142]

Рассмотрим первое состояние, в котором варьируются параметры, онрелелягошие контурную линию области излома. Поскольку вариация размеров трсшины изохронна, то внешние нагрузки остаются без изменения. Находим, что вариация функционала (42.6) представляет собой искомую вариацию - 5А + 8W рассматриваемого первого состояния. Дополнив это выражение энергией разрушения, согласно (42.2) получаем вариацию функции Лагранжа [152] [c.325]

Для общности предположим, что на вектор управления накладьша-ются ограничения и его значения принадлежат некоторой замкнутой области и в г-мерном пространстве управляющих воздействий, т. е. в любой момент времени и 6 . В фазовом пространстве Z заданы начальное 2° и конечное состояния объекта. Тогда среди всех допустимых управлений и( ), для которых соответствующие траектории системы (6,21) проходят через начальное и конечное состояния, необходимо выбрать такое, для которого функционал [c.221]

Полученное выражение можно рассматривать как регулярный однородный функционал второй степени, пначения которого зависят от параметра Г, принадлежащего области [Го, i ]. При описании более сложных нелинейных динамических систем применяют полиномы Вольтерра, составленные из регулярных однородных функционалов вида [c.92]

Следовательно, минимум функционала существует и достигается на элементе vo Можно доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле является функцией, гармонической в области П. [c.144]

Матрица с элементом [ф, ф/] называется матрицей Ритца. Если координатные элементы принадлежат не только пространству На, но и области О А, то можно исходить из функционала в форме (12.2), тогда и система примет вид [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...