Функционал квадратичный

В случае применения прямых вариационных методов определение неизвестных функций заменяется отысканием таких значений коэффициентов в их приближенных выражениях, которые придают экстремальное значение выбранному функционалу П. Если функционал квадратичный, границы не варьируются и неизвестные а входят в неизвестные функции линейно, то получаемая система уравнений является линейной и принципиальных трудностей при решении таких задач нет. Однако часто это связано с весьма большими вычислительными работами. Если граница варьируется или по каким-то другим причинам система не получается линейной, то сразу возникают весьма большие осложнения. Поэтому целесообразно применение ЭЦВМ, причем не в стадии решения системы уравнений. При помощи ЭЦВМ достаточно просто реализовать несколько отличающийся вариант применения вариационных методов. Идея заключается в том, что на ЭЦВМ программируется выражение функционала П, т. е. составляется программа, с помощью которой можно подсчитать П при заданных значениях коэффициентов а,. Далее машину используют для [c.219]

Обычно вместо (7.25) удобнее пользоваться положительно определенной квадратичной формой функционала [c.211]

Приведем краткое описание простейших задач оптимизации в механике распределенных систем, не вдаваясь в подробности математического обоснования соответствующих постановок. Будет рассмотрен случай одного дифференциального уравнения в частных производных и квадратичного функционала стоимости при этом будут использованы результаты соответствующих работ [22 45]. [c.301]

Качество исследуемой системы будем оценивать функционалом стоимости используем квадратичный функционал стоимости в виде [c.301]

Пусть У 1/ —прямое произведение гильбертова пространства самого на себя функционал а (и, v), заданный на 1/ К, называется билинейным (билинейная форма), если он является линейным функционалом по каждому аргументу в отдельности. Если в определении билинейной формы положить u=v, то функционал а и, и) можно считать заданным на V в этом случае а и. и) называют квадратичным функционалом на V. [c.326]

Уравнение (11.34) называется обобщенным уравнением Эйлера, так как из него следует классическое уравнение Эйлера проблемы минимизации квадратичного функционала) [c.329]

Для случая квадратичного функционала J v), обладающего, как предполагалось выше, свойством строгой выпуклости и коэрцитивности, метод (II 132)—(11.133) сходится при [c.342]

Рассмотрим теперь случай квадратичного функционала [c.344]

Если тело является нелинейно деформируемым, то функционал Э от а, будет зависеть более сложно, чем квадратичная форма (3.27), и система уравнений (3.28) будет нелинейной относительно а,-. Проиллюстрируем сказанное характерным примером. [c.59]

Очевидно, что при таком выборе класса допустимых функций они будут удовлетворять граничным условиям (5.88) при любых параметрах Uk- Среди этих функций надо найти ту, которая сообщает функционалу (5.87) наименьшее значение. Если подставить в функционал вместо Ui выражение (5.89) и выполнить интегрирование, то функционал превратится в квадратичную функцию п параметров а . [c.108]

Квадратичный же функционал определяется посредством однородного квадратичного и линейного в виде [c.127]

При суммировании в глобальный вектор F на й-е место попадет сумма р. + а. +1. Задача вычисления интегралов типа (13.15) не содержит принципиальных трудностей, так как погрешность интерполяции функции х) на отрезках может быть согласована с погрешностью метода, и численных квадратур можно избежать даже для функций f(x) сложного вида. Перейдем к преобразованию квадратичной формы (13.13). Полученную сумму, не очень удобную для записи, перепишем в другом виде. Аппроксимируемый функционал является квадратичным и поэтому для функций и " должен иметь квадратичное представление относительно компонент вектора q = [q, 72, , дм- ) [c.165]

В вариационной постановке (как указывалось в 1) наша задача сводится к минимизации квадратичного функционала [c.631]

Итак, аппроксимация квадратичного функционала на конечном элементе такова [c.633]

Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно определенна для любой разумной модели материала, для которой справедлива теорема единственности ( 8.4). Можно показать, что если функция U всюду строго выпукла, т. е. если эта квадратичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный максимум для истинного поля перемещений. Если it есть некоторое поле перемещений, не представляющее собою решение рассматриваемой задачи теории упругости, а гл — истинное поле перемещений, то [c.259]

Эта квадратичная форма положительно определенна, третья и следующие вариации функционала /ц тождественно равны нулю таким образом, доказывается неравенство (8.8.1), которое носит не локальный характер. [c.259]

Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации и перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных сил [c.262]

Записываем выражение для квадратичного функционала [c.94]

Минимизация функционала осуществляется прямым методом — функция, от которой зависит функционал, представляется в виде конечной линейной комбинации координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям и принадлежащих полной системе. В указанной линейной комбинации коэффициенты неизвестны. После подстановки этой линейной комбинации в функционал он превращается в функцию коэффициентов. Далее ищется минимум этой функции обычным путем, т. е. приравниваются нулю производные по коэффициентам. Получающиеся при этом уравнения, поскольку функционал является квадратичным, оказываются линейными алгебраическими и в случае свободных колебаний однородными. Условие ненулевого решения отмеченной системы уравнений — равенство нулю ее определителя и представляет собой уравнение частот корнями его являются собственные частоты системы. После отыскания частот обычным путем находятся собственные векторы матрицы системы уравнений. Эти векторы изображают собой формы свободных колебаний. [c.246]

Подставив эти зависимости в формулу (2.7), можно получить выражение внутренней энергии деформации тела в виде квадратичного положительно определенного функционала, зависящего от производных перемещений и = и х, у, г), v = v (х, у, г), w = = W (х, у, Z). [c.41]

Выбор в каждом случае единственного решения основан на минимизации некоторого функционала качества F (ф, ф). В зависимости от критерия оптимизации можно использовать функционалы различного вида [1, 3]. Если F (ф, Ф) является положительно определенной квадратичной формой по ф, то алгоритм его минимизации приводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. [c.9]

Значение квадратичного функционала (7) па экстремалях, можно получить несложным интегрированием [c.30]

Заметим, однако, что в силу большого числа малоизвестных и потому не поддающихся учету в рамках моделей (4.95) случайных факторов, действующих в условиях реального эксперимента, более устойчивой следует считать оценку поправок из переопределенной системы уравнений типа (4.110), которую можно получить, используя данные экспериментальных измерений не в пяти, а в значительно большем числе сечений твэла. Такая оценка сводится к минимизации квадратичного функционала вида [c.137]

Функционал F (/) называется квадратичным, если существует такой билинейный функционал В (/, ф), что [c.216]

Учитывая, что величина (норма) критерия оптимальности lli il связана со значением квадратичного функционала R соотношением получим, что увеличение нормы [c.79]

Объединив условие (5.44) с недоопределенной при m < /г системой уравнений (5.38), мы приходим к задаче поиска условного минимума некоторого функционала — квадратичной формы — при соблюдении системы линейных равенств [c.226]

Учитывая квадратичны свойства исходного целевого функционала, можно предположить наличие единственности решения и одноэкстремальность задачи. Ограничения (7.31) выделяют допустимую область простейшей формы типа многомерного параллелепипеда. Эти функциональнее свойства задачи позволяют существенно упростить организацию поиска как внутри, так и на границе допустимой области. [c.212]

Для случая симметричной формы а и, v) изложенный метод известен как метод Ритца. он был сформулирован впервые как приближенный способ минимизации квадратичного функционала. [c.333]

Подставляя (3.26) в функционал (3.11) для линейно деформируе мых систем, после вычисления определенных интегралов от функ ций fi и их производных получим его в виде квадратичной формы [c.58]

Винеровские интегралы гауссовского типа, в которых функционал / [хСт)], как и в самой гауссовской мере Винера (5.149), является экспонентой от квадратичного функционала от х(т) (например, [c.95]

Это — однородный квадратичный функционал, для которого в изотропном случае уравнение (12.11.1) служит уравнением Эйлера. Вместо того чтобы искать критическую нагрузку путем интегрирования этого уравнения, можно применить прямой метод, а именно, аппроксимировать прогиб при помопщ линейного агрегата [c.418]

Так как функционал (27.3.2) зависит только от пути изображающей точки в 5-простраистве и не зависит от скорости ее движения вдоль него, то независимую переменную t можно заменить на новую неременпую . В качестве такой переменной можно взять, например, одну из координат q. Введем функцию Т, являющуюся однородной квадратичной формой переменных 5, . . ., q n, где q r = dq /d . Если [c.549]

Согласно подходу, предлагаемому в работе [7], сформируем функционал, определяюп],ий квадратичную невязку значений АФЧХ в точках, соответствующих трем собственным частотам системы [c.64]

К достоинствам метода Ритца относится возможность удовлетворить большому числу дополнительных условий и эффективность этого метода при расчетах для случая квадратичного функционала и линейных ограничений. К недостаткам метода Ритца относится то, что решение ишется в более узком классе функций, чем в точных методах и чем это необходимо по условию задачи. Тем не менее метод Ритца в большинстве случаев позволяет найти решение вариационной задачи с требуемой точностью. [c.22]

Ре]иения ятой системы наз. экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует мппимуму F при выполпении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...