Осесимметричная задача в цилиндрической системе координат

Рассматривались некоторые плоские задачи в прямоугольной декартовой системе координат и осесимметричные задачи в цилиндрической системе координат для тел неканонической формы [49-52]. [c.157]

Общая осесимметричная задача. В цилиндрической системе координат г, (fi, Z условия полной пластичности (2) при = —1 принимают вид [c.96]

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ [c.33]

Осесимметричная задача становится статически определимой и, следовательно, значительно упрощается для тел, находящихся в состоянии полной пластичности, при котором два главных касательных напряжения равны пластической постоянной. Действительно, полная пластичность сопровождается равенством двух главных нормальных напряжений, а это обстоятельство для осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат ось г которой является осью симметрии, приводит к равенству главных нормальных напряжений в меридиональных продольных сечениях или равенству одного из этих напряжений и кольцевого нормального напряжения 00. Первый из указанных случаев легко сводится к полярно-симметричной плоской задаче в поперечных сечениях, а второй может быть исследован методом, изложенным в теориях плоского деформированного или плоского напряженного состояний. [c.402]

В осесимметричных задачах в цилиндрической системе координат Т1, 9, г все величины не зависят от осевой координаты г. В этом случае уравнение неразрывности (после умножения обеих частей на 71) записывается так [c.15]

В том случае, если необходимо определить радиальное перемещение частиц влаги в каналах решеток и осевых зазорах, решается осесимметричная задача. В цилиндрических координатах. г, гр, 2 система уравнений примет вид [c.52]

Упругим полупространством называется часть пространства, ограниченная плоскостью. Задача о действии силы Р, приложенной по нормали к этой плоскости (рис. 47), относится к пространственной задаче теории упругости и является более сложной, чем задача о действии силы на границе полуплоскости (см. 6 данной главы). Ее решение удобно строить в цилиндрической системе координат. В этой системе любая точка пространства определяется тремя координатами г, 9, 2. Задача является осесимметричной, поэтому все сечения, параллельные плоскости гОг, находятся в одинаковых условиях и все функции не зависят от полярного угла 0. [c.113]

Многие задачи об осесимметричных потенциальных течениях удобнее формулировать в цилиндрической системе координат г, z, как показано на рис. 5.5. Хотя они и могут быть решены с помощью описанных в предыдущих параграфах алгоритмов, использование цилиндрических координат, как правило, оказывается более эффективным, так как соответствующий алгоритм при этом сразу же становится двумерным. [c.151]

В цилиндрической системе координат, когда поставленная задача удовлетворяет условиям симметрии (осесимметричная задача) и напряженное состояние не зависит от угла 0, фундаментальное решение может быть получено преобразованием решения, соответствующего трехмерному случаю (III.6), к цилиндрической системе координат [84] [c.53]

В цилиндрической системе координат при решении осесимметричной задачи выражения для В(, и можно получить из соотношений (III.45) для трехмерного случая преобразованием следующего вида [c.68]

Об уравнениях краевой задачи осесимметричного неустановившегося течения. Движение будем рассматривать в цилиндрической системе координат г, ф, z. Ось Oz совместим с осью симметрии. Окружная скорость и<р = 0, все остальные величины не зависят от координаты ф. Имеется четыре отличных от нуля компоненты тензора скоростей деформаций [c.54]

Задача решается с помощью уравнений системы II, записанных в цилиндрической системе координат (г,(/ , г). Течение считается плоским и осесимметричным. При этих условиях система II примет следующий вид [c.83]

В случае осесимметричной задачи функции Галеркина сводятся к одной бигармонической функции известной под названием функции Лява. В цилиндрической системе координат (г, 0, г), вводя обозначение (и, 0, ш), имеем [c.42]

Механическая и математическая постановка задачи о кручении тела вращения. При рассмотрении задачи об осесимметричной деформации тела вращения в цилиндрической системе координат г, ф, г основные уравнения линейной теории упругости распадаются на две независимые системы. Первая система служит для определения перемещений и и т и напряжений о,, Ог, и Гп в случае, когда тело вращения, деформируясь, не скручивается. Вторая система служит для определения перемещения V и касательных напряжений Тг и Гщ в случае чистого кручения тел вращения. [c.246]

Задача решалась в цилиндрической системе координат с помощью уравнений для осесимметричного течения. Верхняя линия тока первоначально выбиралась произвольно, и область течения делилась иа треугольные элементы с тремя узлами, как показано иа рнс. 6.6. После каждой итерации [c.190]

Рассмотрим функционал (3.8) в цилиндрической системе координат (г, ф, г) для осесимметричных задач теории теплопроводности. Тогда элемент объема dy и элемент поверхности ds можно представить [c.67]

Постановка задачи. Рассмотрим в цилиндрической системе координат осесимметричное стационарное течение сжимаемого совершенного газа с постоянным числом Прандтля Рг и отношением теплоемкостей у = с /су. Пусть х, г - осевая и радиальная координаты и, v, w - осевая, радиальная и азимутальная компоненты скорости р - давление, р - плотность, h - удельная энтальпия, i - коэффициент вязкости. Обозначим характерный поперечный размер вихря в начальном сечении через 6. Введем безразмерные переменные rj = 6г, Xj = Res дх, = u oU, - u JRe v, [c.106]

Сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В приближении длинных волн рассматриваются нелинейные осесимметричные колебания идеальной однородной тяжелой жидкости в ограниченном бассейне переменной глубины D, вращающемся с угловой скоростью //2 относительно вертикальной оси z. В цилиндрической системе координат (R, г, ф) не зависящее от азимутального угла ф движение жидкости описывается в безразмерных переменных системой уравнений [ 1 ] [c.159]

На рис. 1.71 приведены примеры осесимметричных поверхностей раздела фаз. В случаях, показанных на рис. 1.71, а (пузырек газа в жидкости под твердой поверхностью, капля на плоскости) и рис. 1.71, d (жидкость в нижней части круглого контейнера), поле тяжести как бы прижимает дискретную фазу к твердой поверхности, т е. стабилизирует систему. В остальных случаях поле тяжести стремится либо оторвать каплю (пузырек) от твердой поверхности (рис. 1.71, б—г), либо заставить жидкость перелиться вниз (рис. 1.71, е). Если для осесимметричных задач использовать цилиндрические координаты (2, г, (р), причем начало отсчета помещать в точку пересечения оси симметрии с равновесной поверхностью раздела фаз (точку симметрии), то все возможные случаи взаимного расположения фаз в выбранной системе координат охватываются на рис. 1.72. Случай, показанный на рис. 1.72, а, соответствует стабилизирующему действию поля тяжести задачи типа 1 — положительные перегрузки), на рис. 1.72, б — дестабилизирующему действию поля тяжести (задачи типа 2 — отрицательные перегрузки). Сопоставление с рис, 1.69 показывает, что первому случаю соответствует знак + в уравнении (1.169), авто-рому — знак - . [c.81]

При постоянных упругих характеристиках материала тела для решения осесимметричной задачи термоупругости целесообразно воспользоваться МГЗ. Фундаментальное решение для этого случая следует из (1.105), если перейти к цилиндрической системе координат и провести затем интегрирование по окружной координате в пределах от О до 2л. В итоге получим [c.244]

Структура многослойных тел. Опишем структуру многослойных тел, на которые распространяются решения осесимметричных и плоских контактных и других смешанных задач настоящей обзорной статьи. К ним относится многослойное полупространство, состоящее из произвольного числа N слоев конечной толщины и упругого основания. Каждому слою, считая сверху вниз, присвоен номер г = 1, а упругое основание рассматривается как М + 1)-й слой бесконечной толщины. Модули упругости Юнга и коэффициенты Пуассона для каждого слоя г = 1, + 1 могут принимать различные и произвольные значения. Начало отсчета цилиндрической г, г и декартовой х, г систем координат в осесимметричной и плоской задачах берется на граничной плоскости раздела слоев Л , + 1. В этих системах координат слои ограничены параллельными плоскостями [c.214]

В случае осесимметричной задачи, в которой должно выполняться условие равенства нулю касательных напряжений в плоскости хз=0, удобнее использовать функции Папковича—Нейбера. В самом деле, при таком дополнительном условии эти функции сводятся к одной гармонической функции ф (см. формулу (17)). Преобразовав соотношения (17) и (18) к цилиндрической системе координат, получим следующие формулы для перемещений [c.43]

До сих пор мы использовали прямоугольную декартову систему координат. Однако оказывается, что во многих задачах теории упругости удобнее пользоваться ортогональными криволинейными системами. Так, в осесимметричных задачах удобнее пользоваться полярной или цилиндрической системами координат. В задачах, связанных с деформированным состоянием шара, оказывается удобной сферическая система координат, и т. д. [c.168]

При решении некоторых осесимметричных задач в дальнейшем придется встретиться, кроме цилиндрических координат, со сферическими. В этой системе (рис. 3.15) положение точки определяется радиусом-вектором р и двумя углами 0 и ф, определяющими его положение в пространстве. Угол Ф отсчитывается от оси г (аналогичен географической широте), а угол 9 отсчитывается от некоторой оси в плоскости, нормальной к оси г и проходящей через центр О системы (аналогичен географической долготе). Обозначения напряжений в сферических координатах получим, заменив индекс г в обозначениях, данных для цилиндрической системы, индексом ф. [c.99]

Обратная задача заключается в следующем. Пусть в декартовой (цилиндрической) системе координат х, г) в некотором сечении АВ, являющимся, например, выходным из решетки профилей, заданы два плоских симметричных относительно оси х или осесимметричных сверхзвуковых потока I и II, взаимодействующих в точке С. Пусть эти потоки в указанном сечении характеризуются различными газодинамическими параметрами показателями уь 2, распределениями давлений Р[ г), р2 г), углов наклона 01( ), 02(г), скоростей Ы1(г), Ы2(/ ) (или чисел М[(г), Мг(г)) и плотностей р)(г), р2(г) при (в общем случае) переменных разрывных распределениях 5 и полной энтальпии Н°. Здесь и в последующем тексте нижние индексы 1 и 2, указываемые в обозна- [c.183]

При исследовании конкретных осесимметричных и плоских задач полезно иметь выражения для функции Р[к, /г -Ь 1) в сферической и цилиндрической системах координат. [c.163]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Задача решается с помощью системы дифференциальных уравнений системы II, но записанных в цилиндрических координатах г,(р,г) (3.5.4)-(3.5.6). Среда считается несжимаемой, течение среды — плоским, изотермическим и осесимметричным. [c.142]

При другой постановке задачи о неоднородном сжатии цилиндрических резиновых амортизаторов в осесимметричной системе Ог, Ог с начальными размерами Лд, или в прямоугольных декартовых координатах Ох, Оу, Ог с начальными размерами а, Ь, [314] требуется соответственно найти смещения [c.122]

Типичный пример неплоской послойной модели — осесимметричное течение, состоящее из вложенных цилиндрических слоев с постоянной завихренностью и плотностью в каждом слое. В зависимости от типа симметрии течения, послойные модели удобно изучать в соответствующей системе ортогональных криволинейных координат i, С2, Сз, предполагая, что координатные линии Сз совпадают с вихревыми, а координатные линии i и С2 лежат на жидких поверхностях, причем i совпадает с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Для широкого класса послойных моделей геометрические свойства пространства, связанного с такими системами координат, характеризуются только тремя диагональными компонентами, отличными от нуля (/11, (/22, дзз метрического тензора и его детерминантом д, которые так же как и профиль скорости невозмущенного течения считаются независимыми от i. [c.208]

Рассмотрим квазистационарное течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью л, в зазоре, окружающем поверхность цилиндрического жесткого катетера радиусом / и длиной о, когда на катетер надета упругая трубка длины L о (фиг. 4). Трубка, свободная от нагрузок, имеет внутренний радиус р, < / , т.е. надевается с некоторым натягом (состояние А на фиг. 4). Свойства трубки и действующее на нее внешнее давление неизменны по длине. Ось катетера совместим с осью координат х. В катетере есть система отверстий, расположенных по периметру некоторого поперечного сечения, отстоящего от левого конца на расстояние /о и принимаемого за х = 0. Жидкость нагнетается через полость катетера, сквозь отверстия поступает в образующийся зазор и по нему вытекает наружу в полости с давлениями р , соответственно слева и справа (состояние В на фиг. 4). Зазор шириной / - / между катетером и трубкой определяется трансмуральным давлением р - р , которое, в свою очередь, зависит от нагнетаемого расхода 2 и положения отверстий катетера относительно концов трубки. Здесь / >/ - внутренний радиус трубки во время прокачивания жидкости. Ради простоты отверстия в катетере считаются равномерно распределенными по периметру и заменяются линейным источником (радиальная скорость описывается 6-функцией). Это дает возможность рассматривать далее осесимметричную задачу. Кроме того, для упрощения длина трубки вначале считается неизменной и равной Взаимное расположение отверстий и упругой трубки задается расстоя- [c.97]

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи. [c.176]

Установившееся течение в трубе. Рассмотрим задачу о течении вязко-пластической массы в длинной круглой трубе. Движение предполагается медленным, установившимся и осесимметричным вращение массы в трубе отсутствует. Тогда в системе цилиндрических координат г, ф, г имеем [c.400]

Решение в рядах по функциям нагружения при осесиммет-рично нормальной нагрузке. Наиболее важными для практики задачами для пластин, как и в случае прямоугольных пластин, являются задачи, в которых пластина и нагрузка являются симметричными относительно оси, скажем z, и ри этом можно предположить (за исключением, как обычно, задач устойчивости и колебаний), что прогибы и напряжения также осесимметричны. Положив в приведенных выше выражениях в виде рядов по функциям нормальной нагрузки в цилиндрической системе координат ue = dur/dQ = dUz/dQ = О, для случая осесимметричных нагрузок и Ъг получим. [c.324]

С другой стороны, Круз, Сноу и Уилсон [34] использовали векторное представление Галёркина сосредоточенной силы в цилиндрической системе координат. Для сохранения связи с осесимметричными анализом гл. 5 мы будем использовать первый подход (т. е. прямое интегрирование решения задачи о сосредоточенной силе в трехмерном случае из 6.2). [c.177]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

В цилиндрической системе координат г, (/ , г рассмотрим осесимметричную задачу о равновесии бесконечного, линейноупругого, изотропного и однородного цилиндра (г < Л, О < У < 2тг, г < ос), а также осесимметричную задачу о равновесии пространства с бесконечной цилиндрической полостью. [c.81]

Рассмотрим осесимметричные поперечные колебания несимметричной по толш,ипе упругой трехслойпой пластины круглой формы (см. рис. 6.11). Постановка задачи и ее решение, как и в статике (см. 6.14), проводятся в цилиндрической системе координат г, г. Здесь, однако, заполнитель считаем легким, т. е. пренебрегаем его работой в тангенциальном направлении слагаемым 2сСзф во втором уравнении системы (6.58)]. Внешняя вертикальная нагрузка д = ). Па контуре пластины предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствуюш ей относительному сдвигу слоев. В силу симметрии задачи тангенциальные перемеш,ения в слоях отсутствуют [и = О к — номер [c.278]

Для решения осесимметричных задач довольно удобным становится метод Майзеля. В цилиндрической системе координат (г, ф, 2) для плоского деформированного состояния отличны от нуля перемещение иг, деформации Егг, 8фф и напряжения Огг, Стфф, Огх. Перемещение иг г) дается формулой [c.507]

При данной конфигурации области процесс термомагнитной конвекции естественно рассматривать в цилиндрической системе координат, совместив ось z с осью цилиндров. Введем безразмерные переменные, ныбрав характерным размером толщину зазора —rl, характерными градиентами магнитного поля и температуры — соответственно G=[H(r )—Я(гг)]/с =//2яг1г2 и 7 = = (7]—To)ld. На стенке внешнего цилиндра, соответствующей безразмерному радиусу г= 1/(1—rilr ), значение безразмерной температуры удобно взять 7 = 0 тогда на противолежащей стенке г=1/(1—г,/г2) — 1 получим 7=1. Симметрия формы стенок, температурных условий на них и структуры магнитного поля таковы, что при невесомости (Gr = 0) двумерной математической моделью может служить как система уравнений (1.24) (плоская задача), так и система уравнений (1.26) (осесимметричная задача). В плоской задаче решение предполагается не зависящим от координаты z, в осесимметричной — от полярного угла ф. [c.146]

Рассматривается осесимметричная задача в следующей постановке в бесконечной по оси Z скважине радиусом, заполненной жидкостью, на оси 2 расположен точечный акустический излучатель начало координат (Г О/) совмещено с излучателзем. Скважина окружена системой цилиндрических слоев, внешние (относительно скважины) границы которых имеют радиальные координаты /7-й границей располагается пространство. Система слоев, в том числе скважина и пространство, полагаются однородными и изотропны ми, характеризующимися тремя константами - соответственно, скоростями продольных и поперечных волн и плотностью. Скважина заполнена жидкостью. [c.81]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Математическая постановка задачи. Двумерная случайная величина (НДС) в в результате независимых экспериментов получила реализации (НДС) (г = 1, 2), которые изображаются точками в системе прямоугольных координат ( НДС 0). В данном случае допускается, что не установлена четкая зависимость между НДС и в. Пр 1 принятой постановке задачи необходимо построение статистического ряда значений компонент НДС , соответствующих в. Предлагаемое распределение одной из компонент безмомент-ного НДС цилиндрической оболочки приведено в корреляционной табл. 1.1 для четверти осесимметричного сечения. Из таблицы видно, что для оболочки кругового профиля Ti СЛ os в. Поэтому примем общую модель распределения Ti в безмоментной оболочке в виде [c.14]

В шестой главе рассматриваются слоистые цилиндрические оболочки. Замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая в линейном приближении процесс деформирования слоистой упругой ортотропной композитной цилиндрической оболочки, получена из общей системы и использована при исследовании осесимметричного изгиба оболочки, нагруженной равномерно распределенным внутренним давлением. Выполнен параметрический анализ влияния поперечных сдвигов на интегральные (прогибы, усилия, моменты) и локальные (нагрузки начального разрушения) характеристики напряженно-деформирован-ного состояния. На примере этой задачи исследована зависимость решения от функционального параметра /(z) и показано, что в большинстве практически важных случаев этот параметр можно принять соответствующим квадратичной зависимости сдвиговых поперечных напряжений от нормальной координаты. В параграфе 6.4 дано решение задачи об устойчивости цилиндрической многослойной оболочки, нагруженной внешним давлением. Эта задача рассмотрена как на основе разработанных в настоящей монографии уравнений, так и на основе других вариантов уравнений устойчивости, приведенных в третьей ее главе. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило выявить и оценить влияние поперечных сдвиговых деформаций, обжатия нормали, кинематической неоднородности, моментности основного равновесного состояния на критические параметры устойчивости. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...