Тензор метрический

Геометрия поверхности определяется заданием двух тензоров метрического тензора [c.25]

Риманов тензор метрически-проективного пространства [c.43]

Метрический тензор может быть весьма полезным при получении одного типа компонент векторов или тензоров из компонент [c.26]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Модуль базисных векторов 1 е , е можно выразить через метрический тензор [c.80]

Пусть уа (т) — метрический тензор конвективной системы координат. Имеем (см. уравнения (1-3.32) и (1-4.3)) [c.112]

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

Метрический тензор yij (т) можно вычислить согласно правилу преобразования ковариантных компонент тензоров, определяемо- [c.112]

Вновь, поскольку система координат декартова, метрический тензор представляется единичной матрицей, и, таким образом, из уравнения (3-1.46) следует [c.123]

Используем теперь уравнение (3-1.46) для вычисления кова-риантных компонент тензора С в точке Х(. Для этого необходимо иметь метрический тензор в точке X (т) [c.126]

Из ковариантных компонент и метрического тензора в точке Х< можно получить другие типы компонент тензора С. Особую роль играют физические компоненты. Учитывая уравнение (2-7.20), имеем [c.126]

Если метрический тензор gij постоянен вдоль траекторий (т. е. вдоль линий, описываемых уравнениями (5-2.33) — (5-2.35)), то такое течение называют криволинейным течением. [c.181]

Каждый последующий член разложения указанного произведения содержит метрический тензор, свертка которого с тензором А,л нуль. Используя (3.4.27), (3.4.28) и свой- [c.119]

Совокупность с коэффициентов gij скалярного произведения, подчиняющаяся указанному закону при преобразованиях координат, образует тензор второго ранга, который называется метрическим. [c.16]

При движении метрики компоненты метрического тензора удовлетворяют равенствам [c.18]

А — матрица, транспонированная по отношению к А, О — gij) — матрица метрического тензора. В частности, для евклидова пространства существует базис, в котором С превращается в единичную матрицу Е, и потому = Е. [c.18]

Пусть компоненты метрического тензора (з ) и[е зависят от i (см. определение метрического тензора). Тогда справедливы формулы [c.24]

На плоскости с декартовой прямоугольной системой координат заданы векторы, образующие между собой угол тг/4. Найти метрический тензор, для которого они ортонормированы. [c.73]

Доказательство. В линейном пространстве Д" введем метрический тензор, матрица которого в базисе 1,..., а совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве Д". С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Д" [c.574]

Доказательство. Форма 2 не меняет значений при преобра- зованиях координат. Поэтому коэффициенты (а, ) образуют тензор второго ранга. Он может служить метрическим, так как форма 2 положительно определена. [c.618]

Величины или g называются компонентами метрического тензора, так как они определяют расстояние между двумя точками пространства и угол между двумя направлениями в пространстве (формулы (1.63) и (1.64)). [c.56]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Действительно, рассмотрим смешанные компоненты метрического тензора. Их можно определить так [c.59]

С другой стороны, применяя операции умножения и свертывания к метрическому тензору и пользуясь некоторыми теоремами об определителях, получим на основании формулы (1.57) [c.59]

Величины называются символами Кристоффеля второго рода. Далее мы найдем формулы, связывающие символы Кристоффеля с компонентами метрического тензора. Из формулы (П.59) видно, что символы Кристоффеля второго рода симметричны относительно нижней пары индексов. [c.93]

Для компонент g метрического тензора имеем [c.95]

Из этого соотношения вытекают следующие выражения компонент метрического тензора [c.97]

Как пример применения формулы (IV. 153) рассмотрим ковариант-ную производную метрического тензора Получим [c.388]

Таким образом, мы доказали теорему Риччи абсолютная производная метрического тензора равна нулю. [c.388]

Из этого вытекает, что при абсолютном дифференцировании метрический тензор обладает свойствами постоянной величины. [c.388]

При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории относительности гравитационные поля понимаются как изменение пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой величины, называемой фундаментальным метрическим тензором. Метрические свойства пространства-времени образуют как бы своеобразные вненлше условия для системы, у которой изучаются статистические свойства. .. [c.146]

При выводе метрического тензора метрического субпроективного пространства возникает еще и вторая основная функция, и, следовательно, вторая абсолютная поверхность, которая может быть — в общем случае — выбрана совершенно произвольно. [c.27]

Последний результат может быть, конечно, получен и непосредственно из соображений общего характера. Действительно, задача определения метрически проективных пространств может быть рассматриваема как частный случай более общей задачи определения фундаментального тензора метрического пространства по компонентам его параллельного перенесения. Дифференциальные уравнения этой более общей задачи уже указаны, в сущности, выше —это формулы (V), в которых Gh и представляют компоненты параллельного перенесешгя. Дифференциальные уравнения (VI) получены из этих общих уравнений в результате подстановки в них выражений (IV) вместо Gki- Условия интегрируемости общих уравнений (V) имеют, как известно, вид [c.43]

Природа всех объектов в теории оболочек тензорная. Действительно, недеформированная срединная поверхность с точностью до положения в пространстве определяется двумя тензорами — метрическим и тензором кривизн, обеспечивающими удовлетворение условиям Кодацци—Гаусса. Деформированная оболочка, при учете гипотезы о прямолинейной нормали элемента, определяется характером деформации срединной поверхности. Де юрмированная срединная поверхность, при условии задания недефэрмированной, определяется вектором перемещения или, по-другому,,— двумя тензорами — метрическим и кривизн деформированной срединной поверхности G , - Тензорную природу имеют деформации [как тангенциальная (мембранная) так и изгибная] , и напряжения или выражаемые через них погонные тангенциальные-(мембранные) усилия и моменты Л/ , Наконец, упругие свойства (упругие податливости или упругие жесткости) также имеют тензорную природу. [c.128]

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32]

Линейное преобразование координат называется движением метрики, если оно невырождено (с1е1 А 0) и преобразование метрического тензора выражается равенствами [c.18]

Показать, что с помощью выбора подходящего багшса всякий метрический тензор можно привести к диагонгьльному виду. Единственным ли способом это можно сделать [c.73]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

Величины gift называются, как было указано в ч. I, компонентами метрического тензора. Они связаны с координатными векторами ej соотношениями [c.92]

Комгюненты метрического тензора , / ((, й=-1,2) являются функциями координат х ((= 1, 2, 3). [c.428]

Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей (1978) -- [ c.80 , c.97 , c.112 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.16 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1972) -- [ c.56 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.355 ]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.42 ]

Теория пластичности (1987) -- [ c.38 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.101 , c.208 , c.209 , c.240 , c.243 ]

Вариационные методы в теории упругости и пластичности (1987) -- [ c.104 ]

Теория упругих тонких оболочек (1976) -- [ c.80 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.255 ]

Механика слоистых вязкоупругопластичных элементов конструкций (2005) -- [ c.26 ]

Теория упругости и пластичности (2002) -- [ c.19 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.785 , c.792 ]

Теория и задачи механики сплошных сред (1974) -- [ c.25 ]

Теория упругости (1975) -- [ c.170 ]

Курс теоретической механики для физиков Изд3 (1978) -- [ c.544 ]

Механика сплошной среды Часть2 Общие законы кинематики и динамики (2002) -- [ c.61 ]

Нелинейная теория упругости (1980) -- [ c.427 , c.466 , c.491 ]

Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач (1972) -- [ c.34 , c.427 ]

Формообразование поверхностей деталей (2001) -- [ c.400 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...