Функции Папковича — Нейбера

Относительно простое решение задачи было построено А. И. Лурье [88], который представил функции Папковича и Нейбера в декартовых координатах и использовал только эллиптические интегралы, но не эллиптические функции. Для определения напряжений при этом также требуются трудоемкие численные процедуры. [c.296]

Перемещение поворота. Задаем гармонические функции Папковича — Нейбера равенствами [c.289]

Аксиально-симметричный случай, как говорилось уже в п. 1.10 гл. IV, распадается на задачу о меридиональной деформации и задачу кручения. Решение первой может быть выражено через три функции Папковича — Нейбера (достаточно. [c.331]

Решения в бесселевых функциях. В п. 7.1 показано, что функции Папковича — Нейбера, решающие задачи о равновесии упругого цилиндра при радиально-симметричной деформации, представляются гармоническими функциями [c.346]

Решение уравнений равновесия теории упругости мы, как и ранее, выражаем через четыре гармонические функции Папковича — Нейбера [ср. (10.10) главы 1) [c.372]

Для получения числовых результатов следует по заданным значениям отношений осей эллипсоидальной полости определить ро, е. Функции Фо(р), (р) выражаются через эллиптические интегралы первого и второго рода с помощью формул (8.48) и (8.55) — (8.57) главы 5. Таким образом, могут быть вычислены коэффициенты Р л(Ро)> вслед за ними и А, А , А . Выражения функций Папковича— Нейбера по (9.27) и (9.18) после этого запишутся в форме [c.378]

Решение уравнения (8) можно представить в другом виде, используя функции Папковича—Нейбера [c.41]

Для задач, в которых касательные напряжения равны нулю на плоскости хз=0, достаточно использовать только одну функцию Папковича—Нейбера [c.41]

В случае осесимметричной задачи, в которой должно выполняться условие равенства нулю касательных напряжений в плоскости хз=0, удобнее использовать функции Папковича—Нейбера. В самом деле, при таком дополнительном условии эти функции сводятся к одной гармонической функции ф (см. формулу (17)). Преобразовав соотношения (17) и (18) к цилиндрической системе координат, получим следующие формулы для перемещений [c.43]

Решение уравнений (3) можно представить также в другом виде, вводя обобщенные на динамические задачи функции Папковича—Нейбера, [c.88]

Нам остается связать функцию Галеркина с функциями Папковича—Нейбера ). Используем утверждение, что является гармонической векторной функцией. Положим [c.191]

Функции Буссинеска можно вывести из функций Папковича — Нейбера. А именно, если в представлении перемещений через функции Папковича — Нейбера [c.196]

Ниже мы дадим другой способ решения, применимый, однако, исключительно для вертикальных нагрузок. Для решения этой краевой задачи используем представление перемещений с помощью функций Папковича—Нейбера [c.218]

Действие сосредоточенной силы pz xu X2) = Рб Х[)б х2) в начале координат в упругом полупространстве Xs Q вызывает осесимметричное относительно оси лсз поле деформаций. Поэтому удобно эту задачу решать в цилиндрических координатах. Используя функции Папковича — Нейбера ф и [c.227]

Решение задачи об упругом слое формально не вызывает больших трудностей. Сюда можно применить методы, использованные для решения задачи об упругом полупространстве, вводя функции Папковича — Нейбера, Галеркина и т. д. [c.262]

Для решения этой задачи воспользуемся функциями Папковича— Нейбера. В прямоугольной системе координат они имеют вид [c.265]

В пространственных задачах теории упругости с успехом используются функции Папковича — Нейбера. Эти функции широко применяются и в двумерных задачах теории упругости. Вектор перемещения [c.331]

В случае ограниченного тела к полю и следует добавить поле м", удовлетворяющее системе уравнений (10). Система уравнений (10) относится к изотермическому состоянию тела перемещения зависят от граничных условий задачи. Для решения этой системы уравнений мы применим методы теории упругости, подробно обсужденные в гл. 6. Мы можем применить здесь функции Папковича — Нейбера, Галеркина либо функцию Эри. Дадим еще другой подход. Выразим напряжения через производные некоторой функции х(хь Хг) [c.501]

В гл. 5 мы часто пользовались представлением перемещения U с помощью функций Папковича — Нейбера. Метод этих авторов довольно удобен при решении некоторых краевых задач. Посмотрим, будет ли представление [c.573]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Следует далее подчеркнуть, что при применении решения Папковича и Нейбера уравнения Навье удовлетворяются гармоническими функциями, множество из которых известно. Однако трудности при этом также связаны с удовлетворением граничных условий. Кажущиеся вполне безобидными краевые условия для первой граничной задачи (формулы Коши) р,- = стг/П, принимают, согласно решению Папковича и Нейбера, вид [c.113]

Преимущество решения Папковича и Нейбера по сравнению с решением Буссинеска состоит в том, что необходимы только четыре (три) гармонические функции вместо трех бигармонических или соответственно шести гармонических функций. Кроме того, перемещения выражаются через первые, а пе через вторые производные от функций, входящих в решение. [c.113]

Замечание. Так же как во многих случаях, решение Папковича и Нейбера предпочтительно по сравнению с решением Буссинеска для осесимметричной задачи доказывается, что решение Буссинеска лучше функций перемещения Лява. [c.114]

Следует также упомянуть, что комплексные функции напряжений Колосова не только непосредственно связаны с вещественной функцией напряжений Эри, но существует также связь с решением Папковича и Нейбера для плоского случая. [c.121]

Решение строится с помощью формул Папковича и Нейбера в эллипсоидальных координатах (9.55) при применении основных сфероидальных гармонических функций. Результаты при этом представляются в виде громоздких формул и получены лишь в численном виде. [c.296]

Входящие в представление Папковича—Нейбера (4.40) гармонические функции фй примем следующими [c.337]

Из приведенных выше уравнений (6.2) и (6.3) следует, что для каждого номера п решение Папковича — Нейбера представляется посредством функций [c.300]

Для решения задачи можно воспользоваться представлениями смещений через гармонические функции в том или ином виде, например, представлениями Папковича — Нейбера (5.16) гл. III. При этом сами гармонические функции представляются через присоединенные функции Лежандра, а для определения требуемых значений % получаются весьма сложные трансцендентные уравнения [c.321]

В заключение обратим внимание на то, что метод представления смещений через гармонические функции (представления Папковича — Нейбера) использовался для исследования особенностей кусочно-однородной среды с поверхностью раздела сред в виде кругового конуса [221]. [c.325]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Общих методов решения краевых задач теории упругости, которые сводили бы решение к вычисле- нию квадратур, как известно, не существует. Например, при решении пространственной краевой задачи в перемещениях методом Папковича-Нейбера предварительно требуется найти три гармонические функции. Эта задача может быть сведена к вычислению ряда квадратур, если известна одна гармоническая функция — регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа (метод одной гармонической функции [1]). Однако общие условия сходимости итерационного процесса до сих пор недостаточно хорошо изучены. Поэтому возможность применения метода одной гармонической функции к решению конкретных задач целесообразно иллюстрировать на примерах. [c.8]

Применение функций Папковича—Нейбера к решению задачи Буссинека—Черрути. Выражения компонент тензора напряжений через эти функции по (1.4.17) гл. IV записываются в виде [c.227]

Возникает вопрос, является ли решение, найденное при помощи только трех функций Папковича — Нейбера, полным. На эту тему возникла обширная дискуссия и накопилась уже обширная литература ). Две теоремы, касающиеся этой проблемы, сформулировал Слободянский. В первой утверждается, что функцию ф можно без ограничения общности принять равной нулю, если рассматриваемая область является ограниченной и односвязной или если она является внешностью некоторой замкнутой поверхности. Во второй теореме утверждается, что без ограничения общности одну из функций всегда можно положить равной нулю. [c.187]

Исследуем теперь соотношения между функциями Треффца 5.1 и функциями Папковича — Нейбера. В 5Л мы приняли для упругого полупространства следующие соотношения [c.187]

Таким образом, производная функции Треффца р, взятая по Хъ связана с дивергенцией векторной функции Папковича — Нейбера 1 7. [c.188]

Представленное здесь общее решение, использующее функции Папковича — Нейбера, Галеркина и Лява, в принципе можно применить и для краевой задачи, в которой на плоскости хз = О задано вертикальное перемещение и нулевые напряжения сгз1 и аз2. Функция Буссинеска, упомянутая в 5.5, также может пригодиться для решения приведенных в 5.9 и 5.10 краевых задач. [c.223]

Установим теперь связи между функцией Яковаке q) и обобщенными на динамические задачи функциями Папковича — Нейбера 0 и X- Определим функции 0 и х как [c.573]

Из всех рассмотренных до сих пор представлений и(х,/) (через потенциалы Ламе Ф и if, через функцию Яковаке q) и через обобщенные функции Папковича — Нейбера 9 и х) наибольшее практическое значение имеет представление Ламе. Оно приводит к самым простым волновым уравнениям. Представление с помош.ью функции ф удобно для определения перемеш ений в бесконечной среде и в упругом полупространстве. Наименее удобное представление дают функции 0, х ввиду связанности волновых уравнений (44) и (45). [c.574]

Как уже упоминалось, идея метода решения Папковича и Нейбера уже значительно раньше применялась Буссинеском для частного случая осевой симметрии без кручения. Тогда в цилиндрической системе координат г, ф, г гармонические функции fi и фо зависят только от г и г, производные по ф исчезают и перемещения Иф обращаются в нуль. Поэтому справедливы равенства [c.114]

Общие решения основных уравнений теории упругости — Га-леркина, Папковича, Нейбера и др. (см. [1], глава 4), в которые входят произвольные гармонические, бигармонические и тригармо-нические функции, трудно использовать при решении конкретных задач, так как не найдено общего метода определения указанных функций из рассмотрения граничных условий. [c.8]

В представлении Папковича—Нейбера (4.39), не нарушая его общности, как было показано в работах М. Г. Слободянского (1954), Р. Юбенкса и Е. Стернберга (1956), можно сохранить только три гармонические функции, т. е. принять его в таком виде [c.78]

В 10 гл. I было показано, что решение задачи Дирихле для шара может быть получено методом разделения переменных с привлечением присоединенных сферических функций. Если же вспомнить, что в 5 гл. III было установлено, что решение пер вой основной задачи теории упругости для шара может быть сведено к трем задачам Дирихле, то появляется возможность непосредственно реализовать метод разделения переменных и для решения задач теории упругости (рассуждения в случае второй основной задачи аналогичны, но более громоздки). Применим метод разделения переменных с использованием представлений Папковича — Нейбера при решении задачи для шара. Первоначально найдем решение осесимметричной задачи, которое позволит построить функцию Грина уже для произвольного случая нагружения. [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...