Функция Галеркина

Систему уравнений (8) можно решить с использованием трех функций Галеркина. Применяя подход, описанный в предыдущем параграфе, предположим, что [c.40]

Во многих простых случаях, например для задач о тепловых напряжениях в полупространстве и упругом слое, полное решение можно построить с использованием лишь одной функции перемещений ф. Если задача обладает осевой симметрией, то функции Галеркина переходят в функции Лява. [c.41]

В случае осесимметричной задачи функции Галеркина сводятся к одной бигармонической функции известной под названием функции Лява. В цилиндрической системе координат (г, 0, г), вводя обозначение (и, 0, ш), имеем [c.42]

Вектор Р называется вектором Галеркина. Функция Галеркина позволяет первоначальную систему эллиптических уравнений (1) свести к трем уравнениям простой структуры, которые при Х=0 становятся бигармоническими уравнениями. Однако за простоту уравнений (7) приходится расплачиваться более сложным видом граничных условий. Если на поверхности, ограничивающей тело, заданы перемещения, то в граничных условиях в соответствии с формулами (6) появляются вторые производные функции Рг. в случае заданных на границе нагрузок имеем в граничных условиях третьи производные функции Галеркина. Это вытекает из формул [c.189]

Решение Галеркина применяется также при определении деформации упругого полупространства, упругого слоя и толстых плит. В этих случаях берется либо одна, либо две функции Галеркина— сколько потребуется. [c.190]

Нам остается связать функцию Галеркина с функциями Папковича—Нейбера ). Используем утверждение, что является гармонической векторной функцией. Положим [c.191]

Рассмотрим еще раз действие вертикальной нагрузки Рг х, Х2), используя при этом функции Галеркина. Для решения этой задачи достаточно всего одной функции Галеркина Р = Р. Используя формулы (6) и (8) 5.3, получим следующие выражения для перемещений и напряжений [c.222]

Функции и и ( выражаются через векторную функцию ф и скалярную 1 ) функцию ф можно рассматривать как обобщение на динамические задачи термоупругости векторной функции Галеркина. [c.18]

Согласно способу Бубнова — Галеркина, действительную кривую прогиба X (х) заменяют некоторой приближенно выбранной функцией V (х), удовлетворяющей граничным условиям закрепления и ортогональной к исходному дифференциальному оператору. Для этого образовывают интеграл [c.586]

Применяя процедуру метода Бубнова — Галеркина к уравнению (15.21) и используя выражения (15.60), (15.56) для функции усилий ф и р., получим [c.335]

Опишем кратко алгоритм решения задачи (5.1) —(5.2) с использованием метода конечных элементов. (Заметим, что этот способ был известен до изобретения метода конечных элементов под названием метода Бубнова — Галеркина метод конечных элементов дал лишь способ построения базисных функций, удобных для реализации метода на ЭВМ.) Итак, пусть xpi, фд —базис, построенный одним из описанных выше способов функции фь. ... .., Флг зависят только от пространственных координат. Будем искать приближенное решение задачи (5.1) —(5.2) в виде линейной комбинации функций pi,. .., фд. с коэффициентами, являющимися функциями времени [c.213]

Для определения критической нагрузки по методу Бубнова — Галеркина умножим функцию Ф на вариацию прогиба Uz и проинтегрируем полученное выражение по всей площади пластинки, т. е. подсчитаем интеграл [c.194]

Вариационная трактовка метода позволяет обосновать так называемый обобщенный метод Бубнова — Галеркина. Пусть базисные функции /i в отличие от (8.35) удовлетворяют всем кинематическим [c.251]

Как и в методе Бубнова — Галеркина, на L (w) будем смотреть как на некоторую функцию-ошибку или неуравновешенную нагрузку системы. Чтобы свести ее к минимуму, применим к произвольной единичной полоске, показанной па рис. 8.30, уравнения обобщенного метода Бубнова — Галеркина [c.255]

Для получения приближенного решения, близкого к точному ре шению, согласно методу Бубнова—Галеркина требуем, чтобы функция F (х. Oft) была ортогональна ко всем п функциям (х). Таким образом, получим систему п уравнений [c.110]

Отметим, что метод Галеркина применим к обыкновенному дифференциальному уравнению только в случае, когда граничные условия являются нулевыми. Кроме того, необходимо привести само уравнение (5.1.12) к более удобному виду. В связи с этим произведем замену функции 0(дг, t) иа новую функцию i( , t) по формуле [c.208]

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка 5.1.22) с нулевыми граничными условиями (5.1.23), (5.1.24) будем решать с помощью метода Галеркина. Суть этого метода состоит в том, что решение уравнения ищется в виде ряда по специальной системе функций. Обычно это бывает либо система степенных [c.208]

Галеркина 207 сл. минимизации функций 266 моментов 271 сл. [c.300]

Метод Бубнова —Галеркина основан на свойстве ортогональных функций. В курсе математического анализа дается следующее определение ортогональных функций если имеется семейство непрерывных функций [c.159]

Все рассуждения, приведенные для функции одного аргумента, можно применить и к функциям двух и более аргументов. Для решения задачи об изгибе пластинок уравнения Бубнова — Галеркина (е) можно представить в следующем виде [c.161]

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений (10.32) вариационным методом Бубнова —Галеркина в форме, разработанной для оболочек В. 3. Власова. В этом случае искомые функции представляются в виде произведения двух функций [c.235]

Для отыскания функций от переменной s применяем метод Бубнова— Галеркина, для чего искомые функции и функцию (10.30) представляем в виде бесконечных рядов [c.237]

Вариационный метод Галеркина требует, чтобы левая часть уравнения (15.1) после подстановки в нее ряда (15.11) (если ряд удовлетворяет всем граничным условиям плиты), была ортогональна ко всем функциям, составляющим этот ряд. [c.389]

Во втором случае (при решении задачи по способу В. 3. Власова) необходимо задаваться видом обеих функций 10 и ф, подставлять их в уравнения (6.19) и применять процедуру Бубнова — Галеркина к обоим уравнениям. Функции Ф и 10 должны обязательно удовлетворять всем геометрическим и статическим условиям задачи. Не останавливаясь па вопросе о сходимости процесса, отметим, что при определенных условиях ряды, которыми аппроксимируются функции 10 и ф, сходятся к истинному решению задачи при безграничном увеличении числа членов ряда. [c.201]

Эти асимптотики имеют нужный ( солитонный ) вид (см. рис. 5.15, , где изображен типичный солитон, наблюдаемый экспериментально). Таким образом, требуется найти решение уравнения (5.59), обладающее указанными асимптотиками. Составим из асимптотик функцию Галеркина следующим образом [c.210]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

МДТТ и теории упругости, который в дальнейшем широко использовался для решения задач Б. Г. Галеркиным. Если функции в выражениях перемещений (6.57) выбраны так, чтобы заранее удовлетворялись не только геометрические, но и статические (2.88) граничные условия, то в уравнении (6.43) исчезает поверхностный интеграл и уравнение принимает вид [c.128]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Для решения системы (5.199) применим метод копечных элементов в обычной форме, описанной в главах 3 — 4 более эффективным оказывается метод конечных элементов, когда решение задачи разбивается на два этапа на первом строятся собственные формы колебаний соответствующего упругого тела, на втором построенные собственные формы применяются в качестве базисных функций метода Бубнова —Галеркина. [c.261]

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции вектора i j. Представление, в котором ф является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным. [c.226]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Аналитические методы, а также классические приближенные методы (Ритца, Канторовича, Бубнова—Галеркина и т. д.) позволяют найти функцию Ф (%, х ) лишь для сравнительно простых поперечных сечений бруса. [c.184]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Так же как в процессе применения метода Ритца при реализации метода Бубнова — Галеркина, возникают трудности, связанные с погрешностью вычислений (увеличивающиеся с ростом числа удерживаемых координатных функций). Проиллюстрируем сказанное на одном примере. Пусть требуется найти решение уравнения [c.156]

Метод Галеркина дает алгоритм для вычисления таких коэффициентов dn(p), 1,2, N, что функция р) является наиболее точной аппроксимацией вида (5.1.27) для решения уравнения (5.1.22). Опишем этот алгоритм подробно. Подставим функцию Р) в уравнение (5.1.22). Поскольку Р) не явля -ется точным решением этого уравнения, правая часть в (5.1.22) при указанной подстановке будет отлична от нуля и будет некоторой функцией от л и р. Обозначим эту функцию г х,р) [c.209]

Постоянные параметры а,- выбирают из условий, чтобы функция (8.1) по возможности точнее представляла искомую функцию w(x, у). Из различных методов отыскания постоянных параметров й рассмотрим два метод Ритца —Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина. [c.153]

Таким образом, метод Бубнова — Галеркина, как и метод Ритца — Тимощенко, исходит из принципа возможных перемещений, а поэтому оба метода равноправны. В обоих методах аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям, а статическим — необязательно. [c.161]

В рассмотренных нами примерах решения задачи методами Ритца и Бубнова — Галеркина используются одни и те же аппроксимирующие функции прогиба, причем эти функ- [c.200]

В большинстве случаев исполь,зование метода Бубнова — Галеркина при решении такого рода задач приводит к менее громоздким выкладкам, чем применение метода Ритца. Однако следует помнить, что в случае применения метода Бубнова — Галеркина в той форме, которая была нами рассмотрена, функция т обязателыто доляата удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. [c.201]

В первом случае задаются только видом аппроксимирующей функции прогиба ш, удовлетворяющей соответствуго-пдим граничным условиям, а функцию напряжений ср определяют интегрированием дифференциального уравнения совместности деформаций (6.19). Затем найденную функцию ф II выбранную функцию ю подставляют в уравнение равновесия и к нему уже применяют процедуру Бубнова — Галеркина, которая была описана выше. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...