Дифференциальные уравнения в 1-го порядка 208 —Система

Покажем, что движение изучаемой системы на изоэнергетическом уровне описывается системой дифференциальных уравнений, порядок которой равен 2п — 2, причем эта система уравнений может быть записана в виде канонических уравнений. Предположим, что в некоторой области фазового пространства выполняется неравенство дН/др ф 0. Тогда в этой области равенство (22) разрешимо относительно pi [c.289]

Переходный режим работы привода, а также режим с переменным входным воздействием без учета волновых процессов описываются системой дифференциальных уравнений, порядок которых определяется числом учитываемых факторов. [c.51]

Изучение способов решения системы дифференциальных уравнений входит в курс математического анализа. Порядок каждого дифференциального уравнения в системе определяется порядком наивысшей производной, входящей в уравнение. При движении свободной точки порядок каждого из трех уравнений равен двум. В конкретных случаях уравнения интегрируются различными способами, но общее решение системы имеет вид [c.84]

При составлении структурных моделей обычно дифференциальные уравнения моделируемой системы разрешаются относительно старших производных. Для каждого уравнения составляется цепочка интегрирующих усилителей, последовательно понижающих порядок производной. Затем на входе каждой цепочки задается сумма членов, выражающих в уравнениях старшие производные с помощью соответственным образом соединенных операционных элементов. Номенклатура операционных элементов представлена в табл. В.З. [c.21]

Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгебраической системы уравнений при моделировании в трехмерном пространстве может достигать 10 и более. Поэтому при моделировании на макроуровне в технической системе выделяются достаточно крупные элементы, которые в дальнейшем рассматриваются в виде неделимой единицы. Непрерывной независимой переменной остается (в сравнении с моделированием на микроуровне) только время. Математической моделью технической системы на макроуровне будет система ОДУ. [c.66]

В ТОМ случае, если голономная система ( 31) имеет s степенен свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат (126.3). [c.366]

В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое. [c.64]

Если система первых интегралов (27) содержит менее 2п равенств, т. е. если т<с2п, то знания m первых интегралов недостаточно для того, чтобы полностью определить движение, однако эти первые интегралы можно использовать для того, чтобы упростить уравнения движения, в частности, для того, чтобы снизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение. [c.266]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Рассмотрим интегральный инвариант, порядок которого ра-вен порядку системы дифференциальных уравнений [c.392]

Начальные функции определяют из граничных условий на плоскостях (линиях) г=0(у=0) и z=h y=h) из системы трех (двух) линейных дифференциальных уравнений по переменным х, у х). Порядок этих уравнений зависит от числа членов разложения по степеням z y), удерживаемых для дифференциальных операторов L общего линейного преобразования (1.22). [c.16]

УИр, Я их выражениями через деформации и перемещения [по уравнениям (7.40) и (7.38)]. Полученная таким образом система трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных и , ыр, Uz имеет в о с ь м о й порядок. [c.239]

При решении задачи в усилиях N а, N , S,, М , Н исключают из уравнений равновесия (7.24) поперечные силы, приводят их к трем уравнениям. К полученным уравнениям прибавляют три уравнения неразрывности деформаций [69], выраженные через усилия. Полученная таким образом система из шести дифференциальных уравнений в частных производных имеет также восьмой порядок. [c.239]

В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок (как правило, iV lOO), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [c.74]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать в методе характеристик численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении уравнений направления и совместности обычно используют итерационный метод, в этом случае первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.112]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

Учитывая, что при дифференцировании по и qj порядок малости понижается на единицу, значения Т и П следует, как отмечалось, вычислять с точностью до малых величин второго порядка малости. Хотя пренебрежение малыми величинами высших порядков малости вносит некоторую погрешность в полученные результаты, но эта погрешность компенсируется значительным упрощением теории колебаний. В этом случае движение системы определяется линейными дифференциальными уравнениями. [c.22]

При неустановившемся движении жидкости в трубопроводе могут быть поставлены те же задачи на его расчет, что и при установившемся, однако чаще всего на практике приходится решать задачи первого или второго типа. Для простого трубопровода задача расчета сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, как правило, не сводящемуся к квадратурам или системе из двух уравнений. Для численного решения этой задачи можно воспользоваться известными из курса математики методами Эйлера или Рун-ге — Кутта. Последний метод обычно реализуется в математическом обеспечении машины в качестве стандартной программы. При проведении гидравлических расчетов трубопроводов на ЭВМ, особенно для неустановившихся течений жидкости, расчетное уравнение целесообразно привести к безразмерному виду, чтобы основные слагаемые имели порядок величины, равный единице. При таком подходе существенно уменьшается вероятность получения в процессе вычислений машинного нуля или переполнения. [c.138]

Исходя из аналогии между переменной времени t и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы. [c.127]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Уравнения (11) называются уравнениями Лагранжа второго рода . Они образуют систему п уравнений второго порядка относительно п функций qi t). Порядок этой системы равен 2п. Заметим, что это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы, так как начальные значения величин qi (г = 1, 2,. .., п) могут быть произвольными. [c.269]

Аналогично, если не одна, а I обобщенных координат являются циклическими, то первыми интегралами будут I обобщенных импульсов и порядок системы дифференциальных уравнений (1) может быть понижен на 21 единиц. [c.327]

Можно, например, потребовать, чтобы какие-то (или даже все) координаты Qi (г = 1, 2,..., п) не входили в новую функцию Гамильтона. И если удастся так подобрать 5, чтобы удовлетворялось уравнение (55), то среди новых переменных в рассматриваемой задаче будут циклические координаты , что позволяет (см. п. 164) понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на величину 2к (к — число циклических координат). А если все координаты циклические, то задача сводится к элементарным квадратурам, так как тогда % = Н Р, t), и уравнения движения в новых переменных имеют вид [c.351]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Поскольку рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет порядок 2л, вектор функций (12.214), содержащий п постоянных интегрирования, можно рассматривать в качестве ее интеграла лишь в том случае, если подчинить (12.214) в каждой точке оси 2 еще п условиям. Последние представим в следующем виде [c.276]

Вводные замечания. В ряде случаев исследование колебаний систем как с конечным, так и бесконечным числом степеней свободы описанными выше точными методами затруднительно вследствие большой математической сложности, состоящей либо в том, что дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, если, например, балка имеет неравномерное распределение масс и жесткостей вдоль оси, или в том, что порядок характеристического определителя очень высок и сложно не только решить характеристическое уравнение, но даже и составить его, т. е. раскрыть определитель. Встречаются случаи, в которых требуется быстрая, хотя бы и приближенная оценка динамических свойств системы. В перечисленных выше случаях приходится использовать или целесообразно использовать приближенные методы динамического анализа систем, состоящего в определении собственных частот колебаний, в установлении форм свободных колебаний, определении динамических коэффициентов и в проверке динамической прочности. В настоящем параграфе и рассматриваются такие методы. [c.238]

Конечно, коэффициенты влияния существуют, если решение (2) аналитически зависит от Ад в окрестности точки Адх,..., Ад = 0. Для малых параметров Ад/, не изменяющих порядок уравнения (1), это определяется тем, что сама функция Ф аналитически зависит от Ад/. Для параметров, повышающих порядок дифференциального уравнения (1) (т. е. так называемых паразитных параметров), это условие, в сущности, означает тот факт, что рассматриваемая система должна быть грубой [7] в широком смысле. Грубость всякой реальной системы определяется только опытом. Влияние же тех или иных паразитных параметров на грубость системы может быть легко установлена на электронных моделях. [c.80]

Система дифференциальных уравнений (3.66) имеет четвертый порядок. В результате ее интегрирования определяются функции и V G точностью до четырех постоянных интегрирования, которые находят из граничных условий. [c.153]

Первый вариант метода прогонки (метод факторизации). Рассматриваемый метод может быть использован в том случае, если порядок п системы дифференциальных уравнений, (11.59) четный [c.469]

N — порядок системы дифференциальных уравнений [c.480]

При р = I функции ф (t) и ф (i) связаны соотношением (17.1), т. е. и их производные являются линейно зависимыми. Система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата при р/ = I имеет порядок (2п + 1), а при р/г = О — порядок (2я + 3). Следовательно, при переходе от р = 1 к р = О можно удовлетворить условиям (17.5), а переход же от р = О к рд. = 1 неосуществим, так как функции ф (t) и ф (t) являются линейно зависимыми. [c.114]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

Все рассмотренные работы основаны на линейных теориях слоя. Трудности решения задач в соответствии с этими теориями возрастают пропорционально числу слоев. Это побудило нас к построению теории, в которой прямая связь числа искомых функций и числа слоев отсутствует, причем равновесие слоев можно- описать нелинейными уравнениями (119, 120, 122—126]. Контактное давление исключено из числа искомых функций с помощью связи по Винклеру с поперечным обжатием, выраженным через разность прогибов соседних слоев. Представление искомой вектор-функции слоя суммой произведений новых неизвестных, зависящих от координат точек срединной поверхности пакета, на полиномы дискретного аргумента (аппликаты поверхности отсчета слоя) позволило получить разрешающие системы дифференциальных уравнений, порядок которых не зависит от числа слоев. Термин континуальная теория в названиях работ [119, 120] неудачен, его следовало бы заменить на дискретно-континуальная теория , поскольку зависимость искомых вектор-функций от номера слоя в этой-теории описана ортоиормированной системой полиномов дискретного аргумента. Предложенный в [119] итеративный процесс одновременно уточняет границы зон контакта и уменьшает невязку нелинейных уравнений равновесия оболочек. [c.17]

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф os ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить со5ф=1, а во втором уравнении принять sin ф=ф, OS ф= 1 и член лф sin ф отбросить целиком как имеющий порядок е. В результате уравнения (б) примут вид [c.385]

Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят от2 п — т) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2 п — т), и, кроме того, от гп произвольных постоянных j, которые с самого начала ьходили в выражение для функции Н в силу (35) [c.270]

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лаграь жиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, Qi. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7i от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Ниже будут рассматриваться системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата, соответствуюш.ие случаю встройки нелинейного звена с нелинейной характеристикой произвольного вида в соединение . При этом порядок системы дифференциальных уравнений остается неизменным на интервале [О, оо). Очевидно, результаты, полученные при рассмотрении машинных агрегатов такого типа, распространимы при помощи методов п. 23 на машинные агрегаты с нелинейными звеньями, встроенными в массу . [c.148]

Особенно интересными для практики являются методы построения стационарных (периодических) решений систем дифференциальных уравнений движения. Построение таких решений можно осуществить методами, используемыми в теории автоматического регулирования [2—3], [5], [77], [85], [88], [111]. Причем указанные методы необходимо изменить, распространив их на системы алгебро-дифференциальных уравнений с учетом того, что в этих случаях порядок системы дифференциальных уравнений может изменяться на каждом шаге. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...