Постановка задачи об устойчивости решений

Постановка задачи об устойчивости решений [c.414]

Изложенную постановку задачи об устойчивости стационарных движений можно применять также для систем, содержащих упругие звенья. Постановка и метод решения задачи об устойчивости стационарных движений (равновесий) упругого тела с полостью, содержащей жидкость, даны в работе [26 . Приложения этой теории для ряда механических систем с упругими и жидкими элементами можно найти в работах [14, 16, 22, 23]. [c.300]

В этой главе излагаются общие положения теории конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в основе этих уравнений. Далее формулируются условия механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем параграфе содержится постановка задачи об устойчивости равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений. В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении критических (нейтральных) возмущений и критических значений числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия. Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина, позволяющего эффективно решать краевые задачи для характеристических возмущений [c.7]

Некоторые из полученных результатов требуют дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями и Уф. Не этим ли обусловлены выявленные свойства полученных решений Одним из таких свойств является неединственность. Если рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической области радиуса R, то полная постановка краевой задачи включает в себя задание поля скоростей при r = R. При этом автомодельным решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают различные краевые условия, неединственность автомодельных решений ие означает неединственности решений исходной краевой задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариациям краевых условий при г = R. [c.251]

Нам еще раз хочется подчеркнуть здесь, что уравнения (2.73) — (2.77) и граничные условия (2.78) — (2.79) являются следствием последовательно нелинейной постановки задачи об устойчивости оболочек и отбрасывание членов, содержащих до-критическое искривление образующей оболочки, ничем не обосновано. В главах IX—XII на конкретных примерах будет показано, что учет этих членов может внести заметную поправку в решение, а в ряде случаев и принципиально изменить его. [c.49]

Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчивости задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами со, а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами к (л), получающимися решением дисперсионного уравнения —на этот раз относительной соответственно комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномерную задачу и потому пишем к к вместо вектора к). [c.330]

Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде [c.132]

В этих случаях задачи об устойчивости и колебаниях твердого тела с жидкостью естественно ставить как задачи об устойчивости по Ляпунову и колебаниях для систем с конечным числом степеней свободы. Постановка и решение задачи устойчивости при безвихревом движении дана в работе [31], а при однородном вихревом движении — в работе [27]. [c.285]

Применение уточненных уравнений дает возможность также решать задачи об устойчивости толстостенных оболочек в геометрически нелинейной постановке. Под критическими состояниями оболочки понимают точки вырождения линеаризованного оператора на траектории нагружения, которую строят методом продолжения решения по параметру. Регуляризацию некорректной задачи в окрестности особых точек обеспечивают Сменой ведущего параметра. При нагружении оболочки внутренним давлением характер трансформирования ее полей перемещений и напряжений определяется в большей мере физической нелинейностью. Применение к описанию деформации метода Лагранжа и учет изменения метрики в процессе трансформирования поверхности оболочки позволили описать ее большие формоизменения. Исследовано влияние формы срединной поверхности и изменения толщины оболочек на величину критического давления и характер деформирования их за пределами упругости. [c.6]

Для конструкций из материала с ограниченной ползучестью (модели упруговязкие и упруговязкопластические, модели наследственного типа с учетом старения), для которых правомерна постановка вопроса об устойчивости на бесконечном интервале времени, получено значительное число результатов, как в направлении разработки общей теории и методов решения задач, так и по отдельным конкретным задачам. В предположении, что об устойчивости можно судить, полагая возмущения малыми, уравнения возмущенного дви- [c.249]

Поскольку решение сформулированной задачи -связано со значительными математическими трудностями, имеет смысл вначале развить упрощенный подход к проблеме. Это можно сделать, если рассмотреть задачу об устойчивости конвективного течения с кубическим профилем в чисто гидродинамической постановке, полностью пренебрегая влиянием тепловых факторов на развитие возмущений. Такой подход оправдан, во всяком случае, при малых значениях числа Прандтля (высокая теплопроводность жидкости). В этом случае возникающие температурные возмущения быстро рассасываются со временем на фоне сравнительно медленно изменяющихся возмущений скорости. Поэтому развитие возмущений можно приближенно трактовать как изотермический процесс. При таком подходе следует пренебречь членом 0 в (43.11) и не рассматривать вовсе уравнение. теплопроводности (43.12). Тогда задача сводится к решению уравнения Орра — Зоммерфельда с заданным конвективным профилем скорости о(л ) [c.305]

В 49 сформулирована задача об устойчивости плоскопараллельного конвективного движения, вызванного внутренними источниками тепла. Приводимое в этом параграфе решение получено в чисто гидродинамическом приближении. Недавно авторы совместно с А. А. Якимовым получили рещение задачи в полной постановке — с учетом конвективной силы и тепловых возмущений (краевая задача (43.11) —(43.13)). Применялся метод Галеркина с базисными функциями, определенными формулами [c.389]

В упомянутой работе Линя даётся также и решение задач об устойчивости в пограничном слое для произвольного распределения скоростей и. Мы расскажем в общих чертах о работе Линя, отправляясь от изложенной выше постановки задачи, параллельно проводя рассуждения для случая I и случая П. [c.671]

Особой задачей из рассматривавшихся Лапласом и Лагранжем, не имеющей непосредственного практического приложения, но играющей важную роль в развитии материалистического миросозерцания, является знаменитая задача об устойчивости солнечной системы, решенная этими учеными в первом приближении и до сих пор остающаяся не решенной окончательно в строго математической постановке. [c.323]

Предварительные замечания. Решение задач об устойчивости пластинок и оболочек в потоке газа в линейной постановке дает возможность определить лишь критические скорости, а также минимальные толщины панелей, необходимые для предотвращения флаттера или дивергенции. Вопросы об определении амплитуд флаттера (амплитуд предельного цикла автоколебаний), амплитуд выпучивания, о поведении панели при установлении предельного цикла автоколебаний остаются открытыми. На эти вопросы ответ может дать только решение соответствующей нелинейной задачи. Следует отметить, что критические скорости [c.501]

А такая постановка вопроса равносильна предположению, что f = г = О, откуда следует, что решение задачи зависит теперь исключительно от задачи об устойчивости нулевого решения системы (8.86 ). [c.386]

Чтобы сформулировать задачу об устойчивости равновесного движения полигональной конфигурации винтовых вихрей, перейдем к винтовым переменным (г, %) (см. п. 1) и соответствующим проекциям скорости (иг, и = ие — и /т).Ъ этом случае задача сводится к двумерной постановке, которую будем решать в соответствии с решением классической задачи [c.408]

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяюш им вместе с (X условиям устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек либрации. [c.150]

Как известно, решение задачи об устойчивости изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии в линейной постановке базируется на следующих выражениях для радиального перемещения и функции напряжений изгиба [c.303]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Приведенное в первой главе решение будет обосновываться некоторыми физическими соображениями. Строгая постановка задачи может явиться объектом специального математического исследования. Дополнительно можно исследовать вопрос об устойчивости разных решений, достаточности первого приближения и т. д. Целью работы является получение определенных физических результатов, которые могут найти применение в инженерном деле. [c.5]

К началу XX в. положение в механике сплошной среды складывалось в основных чертах следующим образом. Интенсивно и по сути дела независимо развивались математические теории двух простейших, но чрезвычайно важных моделей идеально упругого гукова тела (теория упругости) и идеальной (невязкой) жидкости (гидродинамика). Обе теории были вполне сложившимися по математической постановке задач, хотя для ряда (и даже классов) задач не были построены эффективные методы решения. Отметим в этой связи, что теория упругости развивалась преимущественно для так называемых малых деформаций, причем и для этого случая имелись большие пробелы в методах решения для трехмерных задач, динамических задач, задач устойчивости и других. [c.277]

При решении вопроса об устойчивости системы в условиях ползучести выделяется некоторый класс возмущенных решений, на основе исследования поведения которых судят об интервале устойчивости невозмущенного движения. В некото-шх работах вместо этого вопроса рассматривается другой 126, 129]. Возмущенное решение само рассматривается как основное движение и исследуется поведение некоторых возмущений уже по отношению к этому движению. Но следует иметь в виду, что из-за существенной физической, а в ряде случаев и геометрической нелинейности рассматриваемых задач и ограниченных возможностей линеаризаций такое исследование по отношению к основному исходному движению должно при правильной постановке вопроса сводиться к исследованию возмущенных решений, обусловленных более широким классом возмущений. [c.292]

Следует отметить, что постановка задачи об устойчивости с точным равенством v = О физически не вполне корректна. Она не учитывает того факта, что реа,пьная жидкость непременно обладает хотя бы и малой, но отличной от нуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затруднений исчезновению некоторых решений (в виду понижения порядка дифференциального уравнения для функции ф) и появлению новых решений, отсутствующих при V 0. Последнее обстоятельство связано с сингулярностью уравнения (41,2) (отсутствующей при v 0) в точке, где v(y) = m/fe, обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении. [c.242]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

С. В. Ковалевская (1850—1891), решившая одну из труднейших задач динамики твердого тела А. М. Ляпунов (1857—1918), который дал строгую постановку одной из фундаментальных задач механики и всего естествознания — задачи об устойчивости равновесия и движения.и разработал наиболее общие методы ее решения И. В. Ме-ш,ерский (18Й—1935), внесший большой вклад в решение задач механики тел переменной массы К. Э. Циолковский (1857—1935), автор ряда фундаментальных исследований по теории реактивного движения А. Н. Крылов (1863—1945), разработавший теорию корабля и много внесший в развитие теории гироскопа и гироскопических приборов. [c.8]

При решении задачи об устойчивости в постановке Эйлера было показано, Что изогн1тая ось стержня при потере устойчивости имеет форму одной полуволны синусоиды. При не очень больших отклонениях от прямолинейной формы [c.356]

См. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892. 3-е изд., Гостехиздат, 1950, а также Собрание сочинений, т. II, Изд-во Академии наук СССР, 1956. В этом сочинении дана общая постановка задачи устойчивости движения и разработаны основные приемы ее решения. В настоящее время этой задаче посвящена огромная литература, в том Числе много учебников и монографий. Прим, перее.) [c.309]

В последнее время все большее число публикаций относится к поведению тонкостенных конструкций с трещинами. Исключив работы с краевыми трещинами, рассмотрим исследования, относящиеся к прямоугольным пластинкам с внутренними сквозными трещинами. Значительная часть работ этого направления посвящена изучению вопросов устойчивости при растяжении. Например, М. Ш. Дышель [38] рассмотрела в рамках точной постановки с привлечением метода коллокаций задачу об устойчивости при растяжении тонкой пластинки с трещиной. В результате решения задачи определено значение критического напряжения, соответствующего локальной потере устойчивости пластинки в районе трещины. Полученные расчетные данные автор сравнивает с теоретическими и экспериментальными данными других исследователей. [c.294]

Техника решения задач выпучивания оболочек в условиях ползучести при задании начальных отклонений от идеальной формы достаточно хорошо разработана. При задани начального прогиба достаточно произвольного вида и достаточно сложном законе ползучести расчет возмущенного движения оболочки, с учетом физической и геометрической нелинейности и определение момента времени, когда будут достигнуты некоторые предельные услов ия, т. е. определение критического времени, не составляет, вообще говоря, принципиальных трудностей. Основная трудность расчета устойчивости оболочки в условиях ползучести состоит в задании величины и характера начального прогиба, целиком определяющих результаты расчета. Важно при этом учитывать саму постановку вопроса об устойчивости в условиях ползучести — устойчив ли основной Процесс ползучести оболочки на конечном интервале времени по отношению к некоторым возмущениям Исследование [c.275]

В случае волокнистых однонаправленных композитных материалов, армированных короткими волокнами (волокнами конечных размеров в продольном направлении), взаимодействие между соседними волокнами может реализоваться как в плоскости поперечного сечения (между соседними параллельными волокнами), так и в продольном направлении (между соседними волокнами в направлении действия сжимающих напряжений). Исследование таких проблем в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел существенно усложняется, так как в этом случае получаем неоднородное (двухмерное или трехмерное) докритическое состояние вполне очевидно, что в рассматриваемых задачах конкретные результаты можно получить лишь при помощи современных численных методов. При вышесказанном подходе рассматриваемая проблема начала разрабатываться лишь в последние два года. Так, в случае волокнистых однонаправленных композитных материалов, армированных короткими волокнами, при малой концентрации наполнителя приходим к простейшей эталонной задаче об устойчивости одного короткого волокна (волокна конечных размеров в продольном направлении) в бесконечной матрице при сжатии па бесконечности усилиями постоянной интенсивности, направленными вдоль волокна. Заметим, что в случае одного короткого волокна также получаем задачу с неоднородным докри-тическим состоянием конкретные результаты даже в этой эталонной простейшей задаче, характерной для рассматриваемой проблемы, получаются с привлечением только численных методов. При вышеизложенной постановке в рамках плоской задачи при моделировании матрицы и волокна линейно-упругим сжимаемым телом ряд конкретных результатов изложен в [8, 9]. Настоящую статью можно рассматривать как продолжение исследований [8] для однонаправленных волокнистых композитных материалов, армированных короткими волокнами, применительно к материалам с малой концентрацией наполнителя, когда можно выделить два соседних волокна (вдоль направления действия сжимающих напряжений), для которых (в силу близкого их размещения) необходимо учитывать взаимодействие двух волокон при потере устойчивости. Исследование проводится также в рамках плоской задачи при моделировании матрицы и волокон линейно-упругим сжимаемым телом при этом приводится сравнительно краткая информация о применяемом численном методе решения задач и его реализации, поскольку более подробно указанные вопросы могут быть изложены в публикации в другом издании. Основное внимание в настоящей статье уделено анализу полученных закономерностей о взаимовлиянии двух коротких волокон в матрице при потере устойчивости [c.332]

Среди нелинейных задач У. т. наиболее важны задачи б), рассмотрение к-рых приводит к постановке вопроса об устойчивости равновесия унругнх тол, т. е. об отыскании тех условий, при к-рых решение задачи У. т. перестает быть единственным. Теория устойчивости стержней, пластинок и оболочек разработана весьма детально для решения соответствующих задач широко применяются приближенные методы. Задачи У. т. с физич. нелинейностью весьма трудны н продвинуты пока относительно слабо известны нек-рые классы решений, найденных нолу-обратным методом, численные решения для одномерных задач и разложения по малому параметру, если нелинейность выражена не очень сильно. [c.262]

Более того, некоторых проблем и задач мы вовсе не рассматриваем, а приводим такие решения, которые представляются нам наиболее важными и интересными для практики (среди них есть и ряд новых). По-прежнему, как и в первом издании, мы рассматриваем анизотропные тела, испытываюш ие только малые упругие деформации и сле-дуюш,ие обобш,енному закону Гука. Так же как и в первом издании, мы совершенно не рассматриваем неупругих деформаций анизотропного тела, а из конкретных проблем и задач исключаем из рассмотрения задачи об устойчивости пластинок (тонких плит) и оболочек, задачи динамики и обилие задачи трех измерений ). Из новых задач упомянем о некоторых задачах об изгибе, кручении и других деформациях неоднородных тел, а также укажем несколько задач, решаемых в строгой постановке. [c.9]

Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) относятся к следующей постановке. Стержень нагружается центральной сжимающей силой, принимаются меры для того, чтобы не произошло выпучивания в процессе нагружения. Когда сила достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержню сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения вызвавшей его причины, и неустойчиво, если прогиб увеличивается до тех пор, пока не установится новая форма равновесия стержня с искривленной осью. Приближенное исследование, основанное на линеаризированном уравнении изгиба, по существу не позволяет решать вопрос об устойчивости или неустойчивости какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность найти такое значение нагрузки, при котором равновесие является безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено исследование устойчивости упругого стержня в 136. [c.308]

Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя при Tafi, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е. решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости прямоугольная пластина длиной а в направлении оси х , шириной Ъ в направлении оси Хг равномерно сжимается вдоль оси Xi усилием Тц = —Т. Уравнение (12.11.1) примет вид [c.416]

Заметим в заключение, что для систем модуля три мы исследовали вопрос об устойчивости для частного типа возмущений (такого же как у Th. Karman a), именно возмущений, при которых соседние вихри имеют одинаковые отклонения и притягиваются с постоянной разностью фаз ф. Такая постановка задачи не дает исчерпывающего решения для случая устойчивости, в случае же неустойчивости задача решается вполне. Для системы дифференциальных уравнений возмущенного движения рассмотренных нами твердых конфигураций модуля три получаем следующее характеристическое уравнение [c.44]

К задаче об условиях воз-никновени<][ основного субгармонического резонанса в системе с нелинейной инерционностью и нелинейной упругостью при параметрическом возбуждении гармонической силой в постановке, близкой к задаче, решенной В. В. Болотиным, вновь обратился Р. Грибош [40]. Применяя метод малого параметра и метод вариации постоянных, автор рассмотрел случай произвольной частоты возбуждения и исследовал устойчивость полученных в первом приближении уравнений. [c.10]

В книге рассматриваются современные модели расчета и методы параметрической оптимизации несущей способности оболочек вращения из композитов двумерной и пространственной структур армирования. Основное внимание при этом уделено оболочкам, работающим на статическую устойчивость или в режиме колебаний, эффективные деформативные характеристики которых определяются методами теории структурного моделирования композита. В задачах, содержащих оценки предельных состояний оболочек по прочности, используется феноменологическая структурная модель прочностных характеристик слоистого композита, параметры которой получены экспериментально. Подробно анализируются особенности постановки задач пара.метрической оптимизации оболочек из композитов. Показана взаимосвязь векторной и скалярной моделей задач оптимизации в случае формализуемых локальных критериев качества проекта. Значительное место отведено изложению и примерам приложения нового метода решения задач оптимизации оболочек из. многослойных композитов — метода обобщенных структурных параметров, применение которого позволяет получить наиболее полную информацию об опти.чальных проектах широкого класса практически важных задач оптимизации. Содержащиеся в книге результаты могут быть использованы для инженерного проектирования оболочек из волокнистых композитов. Табл. 23, ил. 58, библиогр. 181 назв. [c.4]

Ко второй группе теоретических исследований по вопросу об устойчивости ламинарных течений относятся исследования, в которых использовался преимущественно энергетический метод. При использовании этого метода на ламинарное течение накладывалось также поле возмущений, но оно выбиралось не из частных решений линеаризированных уравнений, а из условия минимума некоторого выражения, содержащего интегралы от кинетической энергии и квадрата вихря. В частности, это выражение представляло собой отношение того количества энергии, которое переходит из основного поля скоростей в поле скоростей возмущений, к тому количеству кинетической энергии, которое рассеивается благодаря вязкости. При некотором видоизменении постановки вопроса об определении распределения скоростей в поле возмущений задача приводится к задачам вариационного исчисления. Этот метод был использован в работах Рейнольдса, Лоренца, Орра ), Кармана ), Сайнджа ) и др. [c.388]

Как отмечалось выше, МСОП позволяет исследовать задачу 3) об устойчивости конструкции на ЛДО. Постановка такой задачи приводит к совместному решению на собственные значения системы дифференциального (3) (при t < О, р г) = 0) и интегрального (4) уравнений с граничными условиями (7) и условием статики (8). [c.269]

В частности, г-продолжимость будет следствием у-устойчивости, если ЧУ-задачу рассматривать в сочетании с задачей об ограниченности соответствующих решений системы (1.2.1) по отношению ко всем переменным подобная постановка вопроса имеет и определенное прикладное значение с позиций характеристики ""прочности (термин [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...