Задача неустойчивая

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

Следует отметить, что далеко не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля. Метод, используемый для решения, может оказаться при условиях конкретной задачи неустойчивым, т. е. при измельчении сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного. Поэтому для оценки точности численного решения при выбранном шаге и его проверки вообще целесообразно в нескольких узлах провести сравнение с аналитическим решением, если таковое существует. Например, для рассмотренной выше задачи разностная схема (6.7) неустойчива, поскольку температура на поверхности куба не является непрерывной функцией. Действительно, аналитическое решение для куба с ребром а при указанных выше граничных условиях имеет для точки с координатами х, у, г) вид бесконечного равномерно сходящегося ряда [33] [c.93]

Решение задачи неустойчивого состояния полубесконечного стержня значительно проще, чем для стержня конечной длины. Практическое значение такого решения состоит в том, что стержень конечной длины в некоторых случаях обладает свойствами полубесконечного стержня, и в каждом случае это наблюдается до-тех пор, пока первая волна пройдет от начала до конца стержня. [c.245]

Модель на рис. 8.18 (Ь) была использована для исследования трех случаев нагружения (см. рис. 8.19), соответствующих различному расположению нагрузки Т на боковой стороне блока. Нагрузка прикладывалась к нижней части боковой грани в случае (а), к ее центру в случае (Ь) и к верхней части в случае (с). В каждом случае нагружения нагрузка Т увеличивалась до тех пор, пока итерационный процесс решения системы уравнений не расходился. Результаты суммированы на рис. 8.19 они показывают, что в данной частной задаче неустойчивость численного решения соответствует физической неустойчивости. [c.230]

В конце п. 11 мы обнаружили, что линеаризированная задача неустойчивости поверхности раздела некорректна, если не учитывается поверхностное натяжение, в обоих случаях неустойчивости, как по Гельмгольцу, так и по Тэйлору. Остается открытым интересный вопрос позволяет ли точная нелинейная теория корректно поставить краевую задачу. [c.325]

Зона смешения. Простейшая задача смешения касается турбулентной поверхности раздела потоков двух жидкостей, движущихся тангенциально с относительной скоростью 1 и имеющих первоначально плоскую поверхность раздела. В случае равных плотностей эту задачу можно рассматривать как задачу неустойчивости по Гельмгольцу для больших значений Неустойчивость по Гельмгольцу той же самой конфигурации для малых t была обсуждена в гл. XI, п. 14. [c.394]

Пусть J (х) — непрерывный неотрицательный функционал, задача его минимизации имеет единственное решение Хд Xj, но минимизирующая последовательность не сходится к Хд (задача неустойчива). Чтобы обеспечить сходимость, можно использовать специальный метод построения этой последовательности (метод регуляризации). Метод регуляризации был предложен акад. А. Н. Тихоновым [16] и состоит в том, что рассматривается параметрическая вариационная задача ищется экстремум некоторого нового функционала G (х), называемого сглаживающим [c.34]

В пространственной задаче неустойчивость при (х = (1 = = 1, 2) конечно, остается, а при значениях (х, не равных ц,, и принадлежащих области (5.1), доказана устойчивость для большинства начальных условий. Кроме того, для почти всех (д. из интервала (5.1) (исключения, быть может, составляют значения [c.145]

Надежность. Надежность метода оценивается как вероятность получения правильных результатов при использовании метода для решения задач заданного класса. Обычно условия применимости метода связаны с такими характеристиками ММ анализируемых объектов, которые пользователь не может оценить заранее имеющимися в его распоряжении средствами, поэтому возможны ситуации, когда вычислительный процесс оказывается неустойчивым или отсутствует сходимость, что может выражаться в зацикливании или останове ЭВМ из-за переполнения разрядной сетки. В САПР стараются применять надежные методы. Однако высоконадежные методы часто характеризуются недостаточной экономичностью. В этом случае целесообразно комбинирование методов с переходом к трудоемким, но надежным методам только в результате автоматического распознавания ситуаций несходимости или неустойчивости вычислений. [c.224]

Более подробный анализ решения этой задачи без предположения малости прогибов показывает, что при силе меньше первой критической единственная прямолинейная форма равновесия является устойчивой. При силе больше, чем критическая, устойчивой формой является форма с осевой линией, изогнутой по полуволне, а прочие формы являются неустойчивыми. Для практики имеет значение только первая форма и соответственно первая критическая сила. [c.147]

Условия неустойчивого распространения небольших расслоений (L < 0,5 , где i — толщина стенки конструкции, а высота раскрытия расслоения 5 = 0,5-2,0 мм) в [25] анализировали на основе решения плоской задачи теории упругости (плоская деформация) для пластин с внешними границами, свободными от нагрузок. Расчеты проводили методом конечных элементов для пластин, имеющих изолированное расслоение в виде прямоугольной щели, а также несколько водородных расслоений, расположенных на разных уровнях по высоте п.та-стины. Изолированными считали не взаимодействующие друг с другом водородные расслоения, расстояние между которыми в плане составляло более 2-12 мм в зависимости от длины расслоения L (табл. 12) при высоте сечения более (0,8-1,0)1.. [c.127]

При Nt<.N<.No имеем р<0 и при /-V O величина А- оо, т. е. прогибы пластины неограниченно растут. Состояние равновесия пластины неустойчиво. Однако для окончательного суждения об устойчивости пластины при N>Nt необходимо исследовать нелинейную задачу ее выпучивания. [c.362]

Хорошо известны материальные и временные затраты для получения этих механических свойств экспериментальным путем. Хотя рассмотренные выше критерии связаны с показателями свойств среды в точках неустойчивости системы, их фундаментальная взаимосвязь до сих пор не установлена. Задача упрощения механических испытаний, таким образом, сводится к отысканию вида связи между параметрами, отвечающими точкам неустойчивости системы, с использованием принципа самоподобия фрактальных структур. [c.234]

Мы не исследуем вопроса об устойчивости возмущенного движения, определяемого в первом приближении равенством (111.56). Заметим только, что здесь один из тех особых случаев, когда характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, и первый метод Ляпунова не позволяет непосредственно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости движения. Лучшие результаты в задачах, аналогичных рассматриваемой, дает второй метод Ляпунова ). [c.441]

За последние десятилетия гидродинамика развивалась чрезвычайно интенсивно и соответственно необычайно расширилась литература по этой науке. Но ее развитие в значительной степени шло по прикладным направлениям, а также в направлении усложнения доступных теоретическому расчету (в том числе с использованием ЭВМ) задач. К последним относятся, в частности, разнообразные задачи о неустойчивостях и их развитии, в том числе в нелинейном режиме. Все эти вопросы лежат вне рамок данной книги в частности вопросы устойчивости излагаются (как и в предыдущих изданиях), в основном, результативным образом. [c.9]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения id) вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на се стенках ). [c.312]

Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже в 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную область. Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем случае произвольных скоростей (см. задачу 1). [c.452]

Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух решений в конкретных гидродинамических задачах, не ясен. Если отбирается распадное решение, то это означало бы, что неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчивостью, поскольку неоднозначность решения не ограничена условиями (90,12—13)2). [c.478]

Решение. Ввиду указанной в тексте аналогии между гидродинамикой мелкой воды и динамикой сжимаемого политропного газа, поставленная задача эквивалентна задаче об устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемом газе (задача I к 84). Отличие состоит, однако, в том, что в случае мелкой воды должны рассматриваться возмущения, зависящие лишь от координат в плоскости жидкого слоя (вдоль скорости V и перпендикулярно к ней), по не от координаты г вдоль глубины слоя ) . приближению мелкой воды отвечают возмущения с длиной волны X h. Поэтому найденная в задаче к 84 скорость Ий оказывается теперь границей неустойчивости разрыв устойчив при v>vk (и—скачок скорости на разрыве). Поскольку плотность и глубина жидкости по обе стороны разрыва одинаковы, то роль звуковой скорости по обе стороны от него играет одна и та же величина i — 2= /gh, так что разрыв устойчив при [c.571]

В изложенном решении задачи неустойчивость поверхности разрыва не учитывается. Формальная корректность такой постановки задачи связана с том, что звуковые волны и неустойчивые поверхностные (затухающие при 2-v oo) волны представляют собой линейно независимые колебательные моды. Физическая же корректность требует соблюдения специальных условий (иаиример, начальных), в которых поверхностные волны еще достаточно слабы. [c.455]

Известно [3], что уже при снижении начальных дисбалансов вдвое — втрое САУУ размещает дисбаланс в одной плоскости. Поэтому представляется логичным рассмотреть плоскую задачу неустойчивости (предельной точности). Будем отсчитывать дисбалансы Х и Х2 В дискретах исправления, т. е. А = 1, и примем собственные передаточные коэффициенты Цц = < 22 = 1 тогда сигналы опор [c.431]

Часто, в особенности в прикладных задачах, неустойчивым называется всякий цикл, не являющийся устойчивым, т. е. как неустойчивый в приведенном тексте смысле, так и полуустойчивый. [c.121]

Переход к турбулентности. С практической точки зрения, переход ламинарного течения к турбулентному более важен, чем сама задача неустойчивости. Фиг. 21 показывает число Рейнольдса для этого перехода, полученное Шубауэром и Скрэмстедом (1947) для течения вдоль плоской пластинки, при различных уровнях турбулентности в набегающем потоке. Ясно, что это число значительно выше [c.115]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

Вблизи среза сопла или в общем случае течения с отрывом необходимо принимать во внимание сглаживание разрыва скорости. Даже при малых характеристических числах Рейнольдса, вычисленных, скажем, по длине сопла, профиль скорости ламинарного потока сразу же за соплом имеет точку перегиба и является в высшей степени неустойчивым [686]. Следовательно, уместно рассматривать течение с отрывом в общем случае как задачу, включающую турбулентное смешение. Предлагаемый здесь анализ течения с отрывом потока с малой концентрацией частиц основан на методе Гёртлера [686], который получил следующее соотношение для двух смешивающихся потоков жидкости, имеющих скорости ПуП Оз при а = О и /1 > Па [c.382]

Возникает вопрос, какие же из указанных форм являются устойчивыми и какие нет Чтобы решить эту задачу, необходимо провести более тонкий анализ, чем приведенный выше. Поэтому укажем без вывода, что при силе, мсиьшсй первой критической, единственная прямолинейная форма равновесия является устойчивой. При силе, большей чем первая, устойчивой формой является только одна — с осевой линией, изогнутой по одной полуволне. Все прочие формы равновесия являются неустойчивыми. Поэтому для практики имеют значение только первая форма и соответственно первая критическая сила. [c.420]

Рассмотрим задачу об устойчивости кольца, сжатого радиальной равномерно распределенной нз1 рузкой интенсивпостн т/ (рис. 508). При некотором значении этой нагрузки круговая форма кольца становится неустойчивой, и кольцо изгибаемся, припимая примерно эллиптическую < )орму (рис. 508). [c.437]

Таким образом, знакомая формула устойчивости исчезает, а лакмусовый метод малых проб, при помощи которою определяется устойчивость или неустойчивость, теряет свою простоту и очевидность. Нужна какая-то новая форму.-1нро 1ка или, во всяком случае, должна быть исправлена или расширена старая с тем, чтобы задача об устойчивости пластически деформируемой системы И1)иобрела ту же строгость и четкость постановки, как и упруго дсф<1рмируемой. [c.453]

Если рассматривать 1елииейиую задачу, учитывая члены с х,1 и Хк в степени выше первой, то можно обнаружить систематические уходы гироскопа, т. е. появление в решении членов, пропорциональных времени. Эта неустойчивость гироскопа была впервые обнаружена Е. Я- Николаи. По, 1роб ости исследования этого вопроса можно найти в книге Я. Л. Л у и ц, Ошибки гироскопических приборов, Судостроение, 1968. [c.264]

Сложность записи в явном виде (20.10) или лодобных выражений для других характеристических функций заключается в необходимости учесть все возможные в этой системе в принципе фазы и составляющие вещества, причем их свойства yJ должны быть заданы во всем интересующем интервале изменения переменных, поскольку заранее, до решения задачи, не ясно, какие части системы из всего виртуального набора их будут при данных условиях устойчивыми, а какие неустойчивыми. При последующем расчете эта исходная максимально сложная модель внутреннего строения системы может только упрощаться. Если же какая-либо из возможных фаз или составляющее не учтены в начале расчетов, то они не будут лредставленньши и в конечном результате, что может явиться причиной плохого соответствия между реальной равновесной системой и ее термодинамическим образом. Значения термодинамических функций составляющих (обычно требуются энтальпии ь энтропии их образования) находят в справочной литературе, в периодических изданиях, оценивают приближенными методами или получают в результате специально поставленных экспериментов. [c.172]

Пусть при некотором значении ро<Рт процесс нагружения был остановлен. После этого начинается второй этап медленной затухающей ползучести из точки М в точку М. Такой процесс выпучивания устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Если рт <Ро<Рт (точка N на рис. 15.5), то, несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучивание конструкции не прекратится вплоть до достижения мерой выпучивания f некоторого критического значения, после чего происходит выщелкивание элемента конструкции, которое называют иногда локальной катастрофой. Локальная катастрофа в квазистатической постановке представляет собой во времени разрывную бифуркацию. Если материал обладает неограниченной ползучестью, то постановка задачи об устойчивости на неограниченном интервале времени не имеет места. Всякий процесс выпучивания при неограниченной ползучести является неустойчивым (рис. 15.6). При некотором конечном значении времени / скорость выпучивания [c.324]

А. М. Ляпунов, О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция сил не есть maximum. Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935, стр. 353. [c.216]

Различие между нейтральными кривыми на рис. 29, а и 29,6 имеет принципиальный характер. Тот факт, что на верхней ветви частота стремится при Rg- oo к отличному от нуля пределу, означает, что движение остается неустойчивым при сколь угодно малой вязкости, между тем как в случае кривой типа рис. 23, а при v O возмущения с любой конечной частотой затухают. Это различие обусловлено именно наличием или отсутствием точки перегиба в профиле скоростей Vx = v(y). Его происхождение можно проследить с математической точки зрения, рассмотрев задачу об устойчивости в рамках гидродинамики идеальной жидкости (Rayleigh, 1880). [c.241]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством при выполнении условий (90,12) или (90,13) решение п дродинами-ческих уравнений оказывается неоднозначным (С. 5. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, I w 2, связа иых друг с другом соотношениями (85,1—3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду из состояния I ъ 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90,12) или (90,13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения (см. ниже 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении в ударной волне энтропия увеличивается от si до некоторого значения S3 < S2, а дальнейшее увеличение от ss до заданного S2 происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78, б предполагается выполненным неравенство (86,2)) ). [c.478]

В. Томсону (Кельвину 1824—1907), гласит, что в гироскопически стабилизуемой системе число неустойчивых координат должно быть четно. При нечетном числе неустойчивых координат гироскопическая стабилизация невозможна. Другой пример применения теоремы Томсона мы имели в задаче о спящем волчке ( 196). [c.637]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...