Биквадратные уравнения

Корни этого биквадратного уравнения, соответствующие квадратам частот, определим по формулам [c.328]

В момент, соответствующий наибольшему смещению а, скорость груза равна нулю. Поэтому подставим в уравнение (3) лг = гг, л = 0. Получим биквадратное уравнение относительно искомого смещения а [c.39]

Из этого биквадратного уравнения определяются собственные частоты системы [c.600]

Оно распадается на квадратное, соответствующее переменной и имеющее два чисто мнимых корня /, и биквадратное уравнение [c.99]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), то эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы оба решения для были действительными и положительными. Только для действительных и положительных значений обобщенные координаты qx и <72 выражаются синусоидальной зависимостью от времени. Для значений , не удовлетворяющих этим условиям, движение системы не является колебательным. [c.436]

Решаем биквадратное уравнение обозначая к = г имеем [c.520]

Уравнение частот, как биквадратное уравнение, в общем случае имеет два значения для квадрата частоты /г . Для системы с двумя степенями свободы, если квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий удовлетворяют условиям определенной положительности (59) и (61), эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы [c.459]

Подставляя теперь эти выражения в уравнение (129,6) и вводя вместо потока / скорость vi = jVi, получаем после простого приведения следующее биквадратное уравнение для v . [c.675]

Корни этого биквадратного уравнения [c.153]

Решение этого биквадратного уравнения дает две возможные частоты колебаний системы сОх и (о. [c.241]

Мы не будем рассматривать приложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями. Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как это описано в 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного уравнения, отделяя в них действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде [c.132]

Это биквадратное уравнение, корни могут быть либо действительными, ли- о комплексными. В первом случае действительные корни Pi и Pj, поэтому [c.407]

Может случиться, что биквадратное уравнение имеет два двойных корня р. Для изотропного материала, например, Р = 1. Случай изотропного материала будет специально рассмотрен в следующем параграфе. [c.407]

Решая это биквадратное уравнение, можно определить значение г, которому соответствует экстремум изгибающего момента Мг. [c.177]

Биквадратное уравнение (7.64) имеет четыре корня, но лишь один из них 5о = 0,5324 обладает физическим смыслом для макрочастицы потока, движущейся на расстоянии = 0,53246 от стенки, [c.190]

Отсюда, исключая Xj и Xj, получим биквадратное уравнение [c.297]

Можно заметить, что биквадратное уравнение для гЗ получается, если приравнять нулю дискриминант формы Ur-S. [c.299]

Элементарные преобразования этого выражения приводят к биквадратному уравнению [c.24]

Решения приведенных выше биквадратных уравнений имеют вид [c.213]

По этим формулам для балки № 2 подсчитаны первые три частоты и сопоставлены с частотами, полученными по точным формулам, найденным из биквадратных уравнений. Результаты приведены в таблице 17.26. [c.216]

Решение уравнения (3.27) при граничных условиях, отличных от условий шарнирного опирания, приводит к аналогичным результатам, но технически более громоздко. В общем случае решение этого однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами следует искать в виде v(x) = Ле", что приводит к характеристическому уравнению EJr -j- Pr k = 0. Четыре корня этого биквадратного уравнения дают возможность представить общее решение исходного уравнения в виде суммы четырех функций с произвольными постоянными Л - [c.102]

Решая полученное биквадратное уравнение, находим собственные частоты [c.127]

Можно показать [181, что при определении условий управляемости замыкающего устройства следует рассмотреть три характерные области, разделенные на графике а (z) граничными кривыми 1 и 2 (рис. 81). Эти условия, полученные на основании зависимостей (6.62), (6.63) и (5.185), могут быть записаны следующим образом для области 1 z z для области II 2 Z Z+ для области III г -э г+. Здесь 2 и 2+ — соответственно меньший и больший корень биквадратного уравнения [c.275]

Таким образом, получим биквадратное уравнение относительно о>, которое дает две различные критические угловые скорости вращения и две различные формы прогибов вращающегося вала (форму колебаний мы получим из любого из уравнений (2.61), ес- [c.58]

Это выражение является биквадратным уравнением относительно V, (В, решение которого позволяет вычислить два действительных значения собственных частот колебаний вокруг осей [c.204]

Величины Z будут корнями биквадратного уравнения [c.106]

График решений биквадратного уравнения (14) для ряда значений безразмерной плош,ади йк показан на рие. 2. На рисунке видно, что в предельном случае при -fl-j = 1, т. е. при течении по трубе, Мк = Мв- В дальнейшем по мере сокращения к значения Мк быстро сокращаются относительно М . Так, например, при О к = 0,1, что соответствует отношению диаметров входа и камеры d /d — 0,3, предельной величине Мв = 1 соответствует лишь М = 0,1. Это значит, что давление h будет лишь на 2—3% меньше соответствующего параметра торможения (при озк = 0). Отсюда следует важный вывод о том, что скорость в камере надлежит практически учитывать лишь при йц>0,1. При учете местных сопротивлений это требование еще ниже. В других случаях влиянием скорости на давление в камере можно пренебречь, а термодинамический процесс в ней считать близким к изотермическому. [c.79]

Оставшиеся неизвестными и легко находятся из совместного решения (11) и (76), откуда для Mi имеем биквадратное уравнение (78), график которого приведен на рис. 4. Критическая величина входного давления р рассчитывается по (И). Аналогичный алгоритм может быть, очевидно, применен для поиска методом итерации любого неизвестного значения < 1, удовлетворяющего заданному поминальному перепаду давлений входа и выхода pj и р . [c.258]

Решив это биквадратное уравнение, получим два действительных корня для [c.169]

Решив это биквадратное уравнение, получим окончательное выражение для амплитуд колебаний [c.227]

В некоторых частных случаях из уравнения (IV.47) может быть сразу получено решение. При п = 2 соотношение (IV.47) приводится к биквадратному уравнению, из которого получим [c.227]

Биквадратное уравнение (в узком смысле слова) ах + Ьх + с = 0 имеет корни [c.120]

Биквадратное уравнение ах - -Ьх - -4-с = 0 имеет корни [c.121]

Примем, что нам заданы параметры воздействия его амплитуда Р = onst и частота р = onst. Будем менять в системе собственную частоту контура а о. Для нахождения аналитического выражения запишем следующее биквадратное уравнение [c.119]

Поучительно обратить внимание на следующий факт. Уравнения (17.316) и (17.317) были получены С. П. Тимощенко. Однако он предложил упростить их, исходя из того, что удельный вес члена, содержащего мал. Упрощение состояло в переходе от биквадратных уравнений к квадратным. Покажем эту оценку и упрощенное решение, а далее обсудим последствия такого упрощения. [c.215]

Отыщем значения Oiкo отвечающие экстремальным значениям коэффициента динамичности. Продифференцировав выражение (26) по и приравнивая нулю эту производную, получим биквадратное уравнение вида [c.75]

Решение в графическом виде изображено на фиг. 3. 20, где представлена зависимость х = г (и). На графике можно видеть изображения парной критической скорости — абсциссы точек пересечения ветвей кривых с осью со, для которых fx = 0. Заштрихованная область, расположенная между двумя критическими скоростями, является областью неустойчивости , что видно из графика, так как при скорости враш,ения, значение которой лежит между oi = Y jm и (Hg = Y jm, пропадают два периодических колебания (в верхней и нижней полуплоскости), вместо которых, очевидно, должны суш,ествовать два непериодических колебания — одно затухающее, а другое нарастающее во времени. Аналитическим условием неустойчивости в этом случае будет отрицательное значение свободного члена биквадратного уравнения при Oi < со < СОз. [c.139]

Полученное биквадратное уравнение устанавливает важную связь между числом Mi входа и числом М в потоке адиабатически дросселируемого газа в зависимости от величины безразмерной площади 0 j2 и параметра 6 ,0. [c.207]

Рассмотрим детальнее практически важный случай критического расхода газа через дроссель и укажем на этом примере численный метод решения задачи, не прибегая к помош и ЭЦВМ. В работе [3] доказано, что при критическом расходе адиабатически дросселируемого газа число — 1. Поэтому неизвестное давление и число определяются из совместного решения (206) и (207), что по аналогии с (85) позволяет получить биквадратное уравнение, определяющее число М . [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...