Предельные циклы и автоколебания

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И АВТОКОЛЕБАНИЯ [c.325]

При 0> О участки F останутся теми же (F п F m а W зависят), но направление движения изображающих точек по ним изменится на противоположное. Предельного цикла (и автоколебаний) не будет. [c.382]

Вблизи критических условий резания устойчивы оба предельных цикла, и вид автоколебаний зависит от случайного попадания изображающей точки на тот или другой предельный цикл. [c.88]

Новые динамич. свойства систем с О. с. возникают при увеличении числа степеней свободы. Так, для систем, описываемых двумя ур-ниями (1), на фазовой плоскости наряду с особыми точками — состояниями равновесия, могут также возникать особые траектории — предельные циклы, отвечающие автоколебаниям. Примером механич. системы с автоколебаниями являются часы с анкерным устройством, к-рое осуществляет О. с. между источником энергии (пружиной, гирей) и маятником. [c.386]

Что же касается до возможностей, даваемых этим методом, то вопросы, решаемые методом гармонической линеаризации, состоят в исследовании равновесных состояний, предельных циклов и поведения системы вблизи этих состояний и циклов, что, конечно, отнюдь не охватывает всех сторон анализа и синтеза поведения и свойств системы. Необходимо подчеркнуть, что отсюда явствует возможность такого рассмотрения, только в малом . Кроме того, заметим, что устойчивые периодические движения (автоколебания) при отсутствии внешних периодических воздействий в большинстве случаев вредны, и потому необходимо определить условия, при которых автоколебаний не возникает. В тех же случаях, когда автоколебания по- [c.229]

Амплитуда автоколебаний дается радиусом предельного цикла и в размерных единицах, очевидно, равна [c.678]

При боле е детальном рассмотрении [93, 94, 158, 159] хода фазовых траекторий системы (10.15а) вблизи разрывного предельного цикла можно получить асимптотические разложения уравнения предельного цикла, периода автоколебаний и т. д. В частности, для периода автоколебаний получается выражение вида [c.771]

Подробное рассмотрение показывает, что и в этом случае существует устойчивое периодическое движение, состоящее из двух движений с конечной скоростью и двух скачков и устанавливающееся при любых начальных условиях (это утверждение может быть доказано, например, путем построения и исследования соответствующего точечного преобразования). Эти движения представляющей точки по предельному циклу и отображают разрывные автоколебания в мультивибраторе. Амплитуда этих колебаний может быть определена сразу именно, изменения переменного х происходят в пределах от х. до —Xj, т. е. амплитуда автоколебаний переменного х равна х.2 = = 2k — 1 (тогда амплитуда колебаний напряжения и на сетке лампы Л, Ui) = (2k—1) о)- Что же касается периода автоколебаний, то его можно определить, взяв интеграл по t вдоль участков предельного цикла, по которым происходит медленное движение изображающей точки. [c.816]

В гл. 11 было кратко рассказано о расчете автоколебаний на основе теории бифуркаций, сопровождающихся рождением предельных циклов (см. также гл.З). Такие расчеты для многомерных систем весьма трудоемки, и в этом направлении разными авторами получены важные результаты по численному изучению бифуркаций рождения предельного цикла и приложениям к задачам гидродинамики, биофизики и др. [c.262]

Из уравнения Ф(А) = О находим К= К = 2Р/тс Ф ( ) = 1/2- Таким образом, сушествует единственный устойчивый предельный цикл и соответственно автоколебания с амплитудой 2Р/1Г. [c.373]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

ЛР1 говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний, Затягивание и т.д. получили теперь твердую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например, резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д. были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории [189]. [c.344]

Термин автоколебания введен А. А. Андроновым, впервые применившим его в работе Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний , доложенной на IV съезде русских физиков в 1928 г. (см. также Андронов А. А. — Сб. трудов. — М. Изд-во АН СССР, 1956), хотя само явление очень широко распространено и было известным в проявлениях, без уяснения природы, с незапамятных времен (к автоколебательным системам относятся духовые и смычковые музыкальные инструменты, маятниковые часы, ламповые генераторы и др.). [c.225]

Однако характеристику можно определить и при наличии автоколебаний в системе, но при условии, что известно положение предельного цикла. [c.96]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Здесь Xi — клетки, способные делиться х,- ф п) — неделя-щиеся клетки х — старые клетки, способные тормозить деление. Можно рассматривать и непосредственно как ингибитор, выделяемый угнетающими клетками. При кц система (3.74) имеет единственное нетривиальное положение равновесия, где все xj > 0. В весьма широкой области параметров это положение равновесия неустойчиво и окружено предельным циклом. С ростом п область автоколебаний расширяется. Автоколебания существуют и в простейшем случае, когда п =- S, а = 1- [c.81]

Подпространство /"=0 есть линия Х= F. Jiy—v)/k (см. рис. П.101 и П. 102). Рис. П.101 составлен для неустойчивого положения равновесия, и в этом случае существует разрывный предельный цикл AB D, а рис. П. 102 соответствует случаю устойчивого положения равновесия. Здесь предельные циклы (и автоколебания груза) невозможны. Точкой О, обозначено положение равновесия. Участки F и F отределяются по знаку произвоцн й dF/ду = -F . Для F > О получается участок F, а для < О - участок F . На рис. П.101 и П.102 участки F заштрихованы. Направление движения изображающей точки по участку F определяется по равенству х = у. [c.382]

Соотношения (49)—(52) позволяют сценить количественно влияние сопротивления среды и массы частицы на размер предельного цикла и длительность периода автоколебания. [c.188]

Однако достаточно сколь угодно малого случайного толчка, чтобы изображающая точка сошла с предельного цикла и начала от него удаляться. Поскольку в системе всегда имеются флюктуации (случайные возмущения), а также ввиду того что вероятность поместить изображающую точку на предельный цикл бесконечно мала, периодические движения в системе, имеющей один неустойчивый предельный цикл, невозможны. Часто бывают случаи, когда в системе имеется несколько предельных циклов. Например, на рис. ПП.9 приведен случай, когда имеются два предельных цикла — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый. Если соседние траектории навертываются на предельный цикл с одной стороны и свертываются с другой, то предельный цикл называется полуустойчивым (рис. ПП.Ю). Характер нелинейности, при которой в системе могут возникнуть автоколебания, может быть самым различным. Так, например, неустойчивый фокус (или узел) и устойчивый предельный цикл имеют место в системах, описываемых уравнениями 218 [c.228]

Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы [c.504]

На рис. 523 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая жесткого режима возбуждения разрывных автоколебаний, когда на фазовой плоскости наряду с (устойчивым) разрывным предельным циклом АБВГА имеется еще и устойчивое состояние равновесия (на участке линии медленных движений). Замкнутая линия абвга является неустойчивым предельным циклом и делит фазовую плоскость на области притяжения состояния равновесия и предельного цикла АБВГА. Именно, в системе установится состояние равновесия, если изображающая точка находилась в начальный момент времени в области, лежащей внутри кривой абвга если же в начальный момент времени изображающая точка находилась вне этой области, то она придет на разрывный предельный цикл АБВГА, т. е. в системе установятся разрывные автоколебания. [c.762]

Этот предельный цикл и является математическим образом разрывных автоколебаний мультивибратора, при которых медленные движения (с конечными скоростями изменения сеточного напряжения и или д ) периодически чередуются с быстры- д ми , скачкообразными (сх-усо при [X 0). Можно показать, что при малых х на фазовой плоскости также существует предельный цикл (рис. 530), близкий к циклу АВА В А, т. е. стягивающийся к нему при X О (см. предыдущий параграф). Осцилло- -х граммы колебаний переменных лг и у, соответствующих фазовой траектории, начинающейся в точке Ад (рис. 529, б), качественно изображены на рис. 531 колебания переменной х, т. е. сеточного напряжения и, носят разрывный характер колебания переменной у, т. е. напряжения V на конденсаторе С, непрерывны Рис. 531. [c.777]

Вид предельного цикла, а следовательно, и, форма разрывных автоколебаний блокинг-генератора зависят главным образом от вида фазовых траекторий в области (///а), который в свою очередь зависит от величин параметров и b .Wa рис. 575 — 577 приведены предельные циклы и соответствующие им осциллограммы колебаний сеточного и анодного напряжений, а также анодного тока при различных значениях характеристического сопротивления блокинг-генератора p =l/ L рис. 575 —для p>- , (т.е. для случая емкостного восстановления, в котором траектории в области ( lia) [c.842]

Приведенная здесь трактовка схематизированного лампового генератора была дана А. А. Андроновым, открывшим связь между математическим понятием предельного цикла и физическим явлением автоколебаний. Впоследствии А, А, Андронов и его сотрудники (А. Г. Майер, H.H. Баутин) с помош,ью математических методов, элементарное представление о которых дают 2, 3,смогли решить ряд весьма сложных задач теории нелинейных колебаний. Речь идет о теории часов, учитываюш,ей (в отличие от 2) обратное действие маятника на часовой механизм, а также о теории устройств, применяемых в технике для автоматического регулирования,, основанной в 1876 г. И. А. Вышнеградским в получившей мировую известность работе О регуляторах прямого действия ). [c.120]

В данной главе, включая и приводимые ниже задачи, рассматрив-нелинейные модели динамики, не содержащие на фазовой плоско каких-либо предельных циклов и не являющиеся автоколебательны системами. Это не значит, что в ядерных реакторах невозможны авто лебательные режимы, хотя они там достаточно редки и, как прави нежелательны. Причиной возникновения автоколебаний обычно сл транспортные запаздывания, распределенность параметров, нелиней зависимость реактивности от переменных реактора и др. Качественный отчасти количественный) анализ нелинейных моделей динамики реакто с j eTOM некоторых из перечисленных факторов изложен в работах ( 19]. Этот анализ в значительной мере использует теорию рождения пер дических решений и позволяет выявить условия существования автоко бательных режимов в ядерных реакторах. [c.126]

Здесь 0р и с - две произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. В данном случае устойчивый предельный цикл и соответствующие ему автоколебания маятника Фроуда имеют место при а < О, р > О и согласно формулам (8.22) при Т —> оо [c.187]

Наконец, при а <0 на фазовой плоскости имеется единственный устойчивый предельный цикл и неустойчивое положение равновеси = / = О (рис. 8.14). В этом случае устанавливаются автоколебани при любых начальных условиях (мягкий режим). [c.191]

Из рис. 13.10 видно, что колодка совершает автоколебания, так как имеется разрьшный предельный цикл AB D. Автоколебания слагаются из периодически повторяющихся быстрых и медленных движений. Быстрым движениям отвечает прохождение изображающей точкой участков ВС и DA, а медленным - участков АВ и D. [c.254]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории, так как автоколебательную систему можно рассматривать как квазиконсервативную. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами. [c.197]

На фазовой плоскости область жесткого возбуждения для фик-сированнного k i = onst < О представлена двумя предельными циклами-окружностями, один из которых (больший) устойчив и соответствует значениям амплитуд автоколебаний, лежащих в области от Zo3 = y/ e до го1 = 2у/1е другой (меньший) неустойчив и соответствует значениям амплитуд, лежащих в области от 2q2 = 0 до [c.210]

В качестве еще одного примера на рис. 7 дана характеристика смещения (линия /) при точении стали = 70 кПмм твердосплавным резцом Т15К6 при t = 4 мм и S = 0,25 мм1об. На том же рис. 7 линией 2 отмечена характеристика смещения с учетом силы сопротивления, а линией 3— предельный цикл автоколебаний системы. [c.95]

Другая важная особенность автоколебаний состоит в том, что их амплитуда полностью определяется свойствами системы и не зависит от начал1Л1ых условий, тогда как амплитуда свободных колебаний консервативной системы существенно зависит от начальных условий. Таким образом, особенностью предельного цикла является его полная независимость от начальных условий после любого возмущения состояния равновесия система приближается к одному и тому же предельному циклу. Для выявления параметров (частоты, амплитуды) установившихся автоколебаний необходим анализ соответствующей нелинейной задачи. [c.288]

Кривая А несимметрична, причем особенно значительно нарущение симметрии относительно вертикальной оси. Максимальное и минимальное отклонения системы при ее движении по предельному циклу равны соответственно 0,06 и 0,05 см. Таким образом, центр колебаний несколько смещен в направлении оси у и полуразмах колебаний составляет 0,055 см. Наибольшее значение v = 0,055 см, и максимальная скорость Ищах = vp = = 100-0,055 = 5,5 см/с. Эти результаты удовлетворительно согласуются с решением (VI.6), согласно которому амплитуда автоколебаний а = 0,064 см и максимальная скорость ufflax = а.р = 6,4 см/с, В данном случае более точными следует считать результаты графо-аналитического решения при помощи дельта-метода во всяком случае, оно свободно от произвольного предположения о гармоническом характере процесса, которое было принято в аналитическом решении энергетическим методом. [c.294]

После вычисления А о и из (6) матричные выражения и [вх + (а — 62 позволяют построить упругую линию вала ультрацентрифуги при вынужденных колебаниях от дисбаланса ротора и найти все амплитуды, в том числе и центра масс ротора (ei + 0,25 63) Y . Заметим, что величина амплитуды зависит от 10 параметров связанной колебательной системы ультрацентрифуги (см. рис. 1). Задача выбора их оптимальных значений сводится к определению таких величин этих параметров, при которых обеспечивается минимизация амплитуды колебаний во время прохода критических скоростей или при резком увеличении дисбаланса ротора вследствие внезапной разбалансировки в закритиче-ской области. Аналогичные требования могут быть поставлены к амплитудам предельных циклов в зонах автоколебаний. [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...