Нормальные возмущения

В этой главе излагаются общие положения теории конвективной устойчивости, на основе которых в последующих главах проводится решение конкретных задач. Сначала приводятся общие уравнения, описывающие тепловую конвекцию несжимаемой жидкости, и обсуждаются приближения Буссинеска, лежащие в основе этих уравнений. Далее формулируются условия механического равновесия неравномерно нагретой жидкости. В третьем параграфе содержится постановка задачи об устойчивости равновесия подогреваемой жидкости относительно малых нормальных возмущений, формулируется краевая задача для амплитуд и выясняются некоторые общие свойства спектра возмущений. В последнем параграфе этой главы речь идет о нахождении критических (нейтральных) возмущений и критических значений числа Рэлея, определяющих границы устойчивости равновесия. Здесь же обсуждаются варианты метода Бубнова — Галеркина, позволяющего эффективно решать краевые задачи для характеристических возмущений [c.7]

Линейная однородная краевая задача (3.5) —(3.10) есть задача о собственных значениях. Собственными числами являются декременты нормальных возмущений X (характеристические декременты), а собственными функциями — соответствующие амплитуды. Таким образом, сформулированная краевая задача определяет спектр нормальных возмущений равновесия жидкости в полости определенной геометрии. [c.19]

При данной форме полости спектр зависит от четырех параметров, входящих в уравнения и граничные условия чисел Рэлея и Прандтля R и Р, а также отношений теплопроводностей и температуропроводностей к и Эти параметры определяют подобие задачи о нормальных возмущениях равновесия подогреваемой снизу жидкости. [c.19]

Зависимость нормальных возмущений от времени заключена в экспоненциальном множителе ехр(—Если декремент % является вещественным, то возмущение изменяется со временем монотонно при X > О возмущение затухает, а при Я < О — нарастает. Если декремент оказывается комплексным, то его можно представить в виде X = Хг + В этом случае возмущения осциллируют с частотой, равной мнимой части декремента Затухание или нарастание этих осциллирующих возмущений определяется знаком вещественной части Хг. Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы вещественные части декрементов всех нормальных возмущений были положительными. Если же в спектре найдется хотя бы одно возмущение с отрицательным Кг, то это будет означать неустойчивость равновесия по отношению к данному возмущению. [c.20]

В случае замкнутой полости спектр нормальных возмущений оказывается дискретным, т. е. имеется счетная последовательность характеристических декрементов и соответствующих возмущений ). Нахождение этого спектра для полости определенной формы сводится к решению краевой задачи (3.5) —(3.10). Можно, однако, следуя В. С. Сорокину р], установить некоторые важные общие свойства спектра, не зависящие от конкретной формы полости. [c.20]

Пусть жидкость подогревается снизу. В этом случае число Рэлея К положительно, поскольку равновесный градиент температуры Л >0 (см. (2.6)). При этом входящий в (3.13) интеграл существенно положителен. Отсюда следует Я — Я = О, т. е. Я = Я. Таким образом, при подогреве снизу декременты нормальных возмущений вещественны, и следовательно, все нормальные возмущения изменяются со временем — затухают или нарастают — монотонно ( принцип монотонности возмущений ) ). [c.21]

Интегралы, входящие в левую и правую части (3.14), при К <0 существенно положительны, и потому Хг>0. Таким образом, все нормальные возмущения при подогреве сверху затухают, и равновесие устойчиво. [c.22]

Уравнения для амплитуд малых нормальных возмущений получаются обычным образом. После введения безразмерных переменных вместо уравнения (6.9) будем иметь [c.49]

Для амплитуд нормальных возмущений скорости и температуры сохраняют силу уравнения (7.1) — (7.3), причем уравнения (7.1) и (7.2) следует записывать для каждого из слоев жидкости, а уравнение теплопроводности (7.3) —для верхнего и нижнего внешних массивов и для разделяющей слои твердой прослойки. [c.57]

Рассмотрим нормальные возмущения, периодически зависящие от г [c.100]

Рассмотрим плоский слой жидкости между двумя параллельными плоскостями, наклоненными под углом а к вертикали (рис. 33). Рассматривая, как и в предыдущем параграфе, плоские нормальные возмущения, периодические вдоль оси г [c.102]

Эти базисные функции представляют собой амплитуды нормальных возмущений скорости и температуры в плоском слое покоящейся жидкости при К = О, а д,i и Уг — соответствующие декременты этих возмущений. Явный вид базисных функций и соотнощения для определения собственных чисел и V/ приведены в р ] см. также гл. X. [c.106]

Соответствующие распределения скорости находятся из уравнения Навье — Стокса, которое в принятых предположениях оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Интегральные условия метода Галеркина, составленные для уравнения теплопроводности, позволяют определить коэффициенты Ьпт и Ъпт, 3 также декременты малых нормальных возмущений Я=ЦК, k, k , кг). Граница монотонной устойчивости находится из условия Я,=0. Наиболее опасными оказываются возмущения с i=0 и кг ф О (это означает, что стационарные валы неустойчивы относительно трехмерных возмущений). На рис. 56 изображена нейтральная кривая устойчивости равновесия вместе с границей области устойчивости конвективных валов (две ветви, ограничивающие область устойчивости валов, соответствуют критическим модам разной симметрии). Как видно из рисунка, зарождающаяся при критическом числе Рэлея Rm область устойчивости валов оказывается закрытой сверху. [c.153]

Итак, краевая задача для нормальных возмущений равновесия проводящей жидкости в магнитном поле не является самосопряженной. Поэтому определяемые ею собственные числа — декременты возмущений Я — могут быть комплексными, а сами возмущения, вообще говоря, не являются монотонными. [c.181]

Первая задача определяет спектр возмущений скорости и температуры жидкости в отсутствие магнитного поля эти возмущения (при подогреве снизу) монотонно затухают или нарастают в зависимости от значения параметра — числа Рэлея. Вторая задача дает спектр нормальных возмущений магнитного поля в неподвижной проводящей жидкости легко убедиться в том, что все эти возмущения монотонно затухают. При отсутствии внешнего поля оба типа возмущений совершенно независимы. Будем называть первые из этих возмущений конвективными , а вторые — магнитными . Обе задачи являются самосопряженными, и поэтому их решения могут быть выбраны вещественными. [c.183]

Переходя к нормальным возмущениям, пропорциональным ехр[—Xt +j kix + кгу)], получим для амплитуд скорости v z), [c.189]

Далее будем рассматривать плоский горизонтальный слой жидкости 2) и введем нормальные возмущения, пропорциональные ехр[—+ (( х + / у)]. Из (29.4) и уравнения теплопро- [c.209]

Как и в случае проводящей среды в магнитном поле ( 25), характерные особенности явления отчетливо видны из рассмотрения задачи об устойчивости плоского вертикального слоя смеси И. Пусть слой ограничен параллельными плоскостями х= 1 (х — безразмерная Поперечная координата в единицах полуширины слоя Л ось г направлена вертикально вверх). Рассмотрим плоскопараллельные нормальные возмущения с амплитудами [c.227]

Переходя к рассмотрению плоского горизонтального слоя, исключим из (33.3) горизонтальные компоненты скорости и давление и введем нормальные возмущения и Т [c.239]

Для исследования устойчивости [ ] поступаем точно так же как в случае слоя конечной толщины, т. е. из общих уравнений для возмущений исключаем горизонтальные компоненты скорости и давление и вводим нормальные возмущения. Введем единицы расстояния — 1/х (эта величина характеризует глубину проникновения тепловой волны), времени — 1/к температуры — 0, скорости — чу.. Определим число Рэлея через глубину проникновения К= р0/ухк и запишем амплитудные уравнения в безразмерной форме (аналог системы (33.4)) [c.256]

Вводя периодические в плоскости слоя нормальные возмущения скорости и температуры, зависящие от времени и горизонтальных координат по закону ехр [—Xt + i(kiX + / 2I/)], получим амплитудные уравнения (и и 0 — амплитуды вертикальной [c.269]

Из уравнений (38.2) нетрудно видеть, что при к = О члены, содержащие невозмущенную скорость, выпадают, и получается обычная краевая задача для неподвижного слоя с твердыми границами. Случай 1 = 0 означает, что нормальные возмущения не зависят от координаты х, вдоль которой движется жидкость, и представляют собой бесконечные валы, вытянутые вдоль направления скорости Vo ( л -валы ) период этих возмущений вдоль направления оси у, перпендикулярного невозмущенному движению, характеризуется волновым числом / 2- Из того факта, что при к = 0 невозмущенное движение выпадает из уравнений для возмущений, следует, что критическое число Рэлея, определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям типа х-валов , не зависит от скорости продольного течения и совпадает с критическим числом для неподвижного слоя. Следует подчеркнуть, что этот вывод справедлив для любого профиля продольного течения. [c.270]

Таким образом, на однородный поперечный поток накладывается плоскопараллельное вертикальное конвективное возмущение г — вертикальная ось). Для нормальных возмущений, зависящих от времени по закону ехр(—Я/), получим амплитудные уравнения [c.276]

Будем считать, что, как и в более простом случае, когда отсутствуют внутренние источники тепла, кризис равновесия обусловлен монотонными возмущениями. Тогда для безразмерных амплитуд нормальных возмущений на границе устойчивости получим систему уравнений , [c.281]

Переходя к нормальным возмущениям и вводя безразмерные переменные, получим условие на свободной границе для безразмерных амплитуд возмущений [c.287]

Исключая из (42.9) давление и горизонтальные компоненты скорости и вводя нормальные возмущения, получим уравнения для амплитуд [c.295]

Система (43.8) имеет решения в виде нормальных возмущений [c.304]

Исследованию гидродинамической устойчивости изотермических плоскопараллельных стационарных течений посвящена обширная литература (см. [ ]). Обычно интерес исследователей сосредоточен на выяснении вопроса об устойчивости нескольких изотермических течений — Куэтта, Пуазейля и течения, в пограничном слое. Нас в дальнейшем будет интересовать задача исследования спектра нормальных возмущений и определения границы устойчивости конвективного течения. Специфическим свойством этого течения является нечетность профиля. Это обстоятельство, как будет видно, приводит к появлению некоторых характерных особенностей спектра возмущений. Неустойчивость -конвективного течения наступает при числах Рейнольдса, гораздо меньших, чем, например, в случае течения Пуазейля. Это связано со структурой течения — наличием двух встречных потоков, взаимодействие между которыми приводит К потере устойчивости при сравнительно малых скоростях, [c.305]

Основная и сопряженная краевые задачи определяют бесконечные последовательности нормальных возмущений ф , ф)< с декрементами Яр Возмущения ф,- и сопряженные возмущения фй, принадлежащие разным декрементам и в [c.306]

Декременты нормальных возмущений, определяемые краевой задачей (44.1), зависят от двух параметров — числа Рейнольдса и волнового числа. Для выяснения структуры спектра полезно рассмотреть сначала предельный случай малых скоростей течения, т. е. область малых значений числа Рейнольдса. В этой области рещение можно получить методом малого параметра, разлагая собственные функции и собственные числа в ряды по степеням г = (кК [c.307]

Я- ° ,. .. все декременты вещественны и положительны (нормальные возмущения покоящегося слоя жидкости монотонно затухают). [c.308]

Отсюда следует, что при малых числах Рейнольдса (пока справедливы разложения по степеням Н) возмущения потоков с нечетным профилем монотонны фазовые скорости нормальных возмущений обращаются в нуль ( стоячие возмущения). [c.309]

В качестве системы базисных функций выберем амплитуды нормальных возмущений покоящейся жидкости ф определенные соотношениями (44.8) — (44.12) ). Решение краевой задачи [c.312]

Будем исходить из общих уравнений (43.7) и рассмотрим пространственные нормальные возмущения, в которых отличны от нуля все три компоненты скорости Vx,Vy, у ) и все величины периодически меняются вдоль осей у и, г, параллельных границам слоя [c.332]

Таким образом, малые возмущения равцовесия удовлетворяют системе линейных однородных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Эта система имеет частные решения, зависящие от времени по экспоненциальному закону (так называемые нормальные возмущения) [c.19]

Нормальные возмущения вида (5.8) или (5.20) представляют собой простейший вид периодических в горизонтальной плоскости решений, допускающих разделение переменных в уравнениях (5.4), (5.5). Для разделения переменных необходимо выполнение условия = —к 1, где Д1 — плоский лапласиан, а f — скорость или температура. Этому условию удовлетворяет широкий класс возмущений, частным случаем которых являются прямоугольные ячейки (5.20). Возможны структуры и более сложного вида. Среди них наиболее интересны пространственные периодические структуры, при которых ячейки в виде правильных многоугольников целиком заполняют слой. Кроме уже названных квадратных ячеек, к ним относятся также треугольные и гексагональные структуры. Решение, описывающее гексагональную ячейку, построено Кристоферсоном [ ]. В этом случае вертикальная компонента скорости имеет вид [c.39]

Для решения задачи об устойчивости применяётся метод малого параметра, основанный на разложении амплитуд нормальных возмущений и критического числа Рэлея в ряды по степеням безразмерной амплитуды модуляции е = 20г/01. Из симметрии ясно, что разложение критического числа Рэлея будет содержать лишь четные степени е [c.260]

Краевая задача для амплитуд и и 0 в работе Д. Л. Шварцблата [ ] решалась методом Бубнова —Галеркина в качестве базисных функций использовались системы нормальных возмущений скорости и температуры в неподвижном слое жидкости. В результате расчета найдены характеристические значения декрементов X в зависимости от параметров задачи — чисел Рэлея Н, Прандтля Р, Пекле а и волнового числа к. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...