Устойчивость Солнечной системы

Особой задачей из рассматривавшихся Лапласом и Лагранжем, не имеющей непосредственного практического приложения, но играющей важную роль в развитии материалистического миросозерцания, является знаменитая задача об устойчивости солнечной системы, решенная этими учеными в первом приближении и до сих пор остающаяся не решенной окончательно в строго математической постановке. [c.323]

Мы уже упоминали о проблеме устойчивости Солнечной системы, поставленной Лагранжем и Лапласом, которые пытались ее решать анализом тех же приближенных формул, которые выводились для составления числовых таблиц. [c.329]

И тот и другой имели в виду разрешение вопроса об устойчивости Солнечной системы, но не решив этой важной проблемы, пришли зато к совершенно общим методам качественного анализа форм и свойств движения путем исследования свойств функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, хотя и не имея решения этих уравнений ни в конечной, ни в бесконечной форме. [c.330]

Метод интегральных инвариантов, разработанный Пуанкаре специально для задач небесной механики, точнее говоря, для класса задач, приводящих к гамильтоновым системам, в действительности ничего существенного для астрономии не дал, но также оказался полезным и эффективным в других областях, например, в статистической физике. Задача об устойчивости Солнечной системы, несмотря на все старания Пуанкаре, так и осталась неразрешенной, так же как и более простая задача об устойчивости кольца Сатурна, которой посвящала свое внимание наша знаменитая соотечественница С. В. Ковалевская. [c.330]

Качественное направление поднимает вопрос об изучении общих свойств движения, имея своей главной целью окончательное решение вопроса об устойчивости Солнечной системы и систем ей подобных. [c.333]

Теорема Лапласа об устойчивости солнечной системы [c.678]

НОЙ системы будет всегда оставаться неизменным и таким же, каким оно является в настоящее время. Это утверждение и составляет знаменитую теорему Лапласа об устойчивости солнечной системы, которую мы рассмотрим в этом параграфе, хотя она имеет, как следует из сказанного, только условное значение. [c.679]

Важный вопрос, на который не смогла ответить ранняя теория возмущений, был вопрос о длительной устойчивости Солнечной системы. Преобладало мнение, что движение планет является регулярным (квазипериодическим) и в конечном счете может быть вычислено при помощи новых математических методов. Это мнение подкреплялось известными решениями задачи двух тел и других простых механических задач, а также интерпретацией палеонтологических данных, которые наводили на мысль о регулярности движения Земли вокруг Солнца в течение сотен миллионов лет. [c.14]

Весьма интересный аспект проблемы длительной устойчивости Солнечной системы связан с учетом ее многомерности, вследствие чего инвариантные поверхности не являются изолирующими. Возможно, что этим же объясняются и щели в кольцах Сатурна вблизи резонансов с его внутренними спутниками. Чириков [68] изучал подобную возможность для родственной проблемы люков в поясе астероидов вблизи их резонансов с движением Юпитера ). Его предварительное заключение сводится к тому, что скорость диффузии Арнольда достаточна для того, чтобы очистить люки за время жизни Солнечной системы. [c.488]

В этом заключается теорема Лагранжа о неизменяемости больших осей, чрезвычайно важная с точки зрения устойчивости солнечной системы. [c.115]

Значение этого результата весьма велико. Действительно, мы видели, что, пренебрегая высшими степенями эксцентриситетов и наклонностей, Лагранж и Лаплас показали, что эксцентриситеты и наклонности будут всегда оставаться весьма малыми, откуда следует устойчивость солнечной системы. [c.204]

Д V б о ш и н Г. Н., Об устойчивости солнечной системы. Успехи астрон. наук, [c.510]

Главные трудности, возникающие в уяснении теории возмущений, происходят от большого числа переменных, которыми необходимо пользоваться, и от очень длинных преобразований, необходимых для того, чтобы придать уравнениям форму, удобную для числовых вычислений. Здесь аа недостатком места невозможно полностью вывести выражения, приспособленные для вычисления, и, конечно, нежелательно выделять эту часть, потому что гораздо важнее получить точное понятие о сущности проблемы, математические особенности применяемых методов, необходимые ограничения, точные места, где введены приближения, если они введены вообще, и их характер, происхождение различных видов членов и основания, на которых покоятся знаменитые теоремы, касающиеся устойчивости солнечной системы. [c.320]

Сходимости таких рядов и применению их при исследовании устойчивости Солнечной системы было посвящено большое число работ. [c.205]

Устойчивость солнечной системы. Этот вопрос тесно связан с наличием вековых членов в больших полуосях, эксцентриситетах и наклонах планетных орбит. Методами небесной механики вопрос об устойчивости солнечной системы не может быть полностью решен, так как ряды небесной механики являются расходящимися и пригодны для ограниченного интервала времени. Кроме того, уравнения небесной механики не содержат малые диссипативные факторы (например, непрерывная потеря Солнцем его массы), которые могут играть существенную роль на больших интервалах времени. [c.8]

Слабое взаимодействие обусловливает силы, действующие между легкими частицами (лептонами электронами, нейтрино и мюонами) и между лептонами и более тяжелыми частицами. Слабое взаимодействие, проявляющееся при бета-распаде радиоактивных ядер, имеет очень малую дальность. Слабое взаимодействие не способно создавать устойчивые состояния вещества в том смысле, в каком сила тяготения поддерживает существование Солнечной системы. [c.440]

Таким образом, доказано, что нельзя пользоваться моделью Томсона (положительная сфера имеет размеры атома) и надо представлять себе атом, содержащий 2 электронов, как систему зарядов, в центре которой находится положительно заряженное ядро с зарядом 1е, а вокруг ядра расположены электроны, распределенные по всему объему, занимаемому атомом. Лучше сказать, что размерами атома мы считаем размеры области, где расположены принадлежащие атому электроны. Такая система зарядов не может находиться в устойчивом равновесии, если заряды неподвижны (общее положение электростатики). Поэтому необходимо предположить, что электроны движутся вокруг центрального ядра наподобие планет Солнечной системы, описывая около него замкнутые траектории. Так возникла ядерная модель атома Резерфорда, сохранившая свое значение и до настоящего времени, хотя в рамках современных представлений мы не можем говорить столь определенно ни о локализации зарядов, ни об их траекториях. [c.720]

МЕРКУРИЙ — ближайшая к Солнцу большая планета Солнечной системы. Ср. расстояние от Солнца 0,387 а. е. (57,9 млн. км). Эксцентриситет орбиты 0,2056 (расстояние в перигелии 46 млн. км, в афелии 70 млн. км). Наклон плоскости орбиты к эклиптике V. Период обращения М. вокруг Солнца (меркурианский год) 87 сут 23 ч 16 мин. Фигура М. близка к шару с радиусом на экваторе (2440 2) км. Масса М. 3,31 10 кг (0,054 массы Земли). Ср. плотность 5440 кг/м . Ускорение свободного падения на поверхности М. 3,7 м/с . Первая космическая скорость на М. 3 км/с, вторая — 4,3 км/с. Период вращения М. вокруг своей оси равен 58,6461 0,0005 сут. Он соответствует устойчивому режиму, при к-ром период вращения равен /д периода орбитального обращения (58,6462 сут). В этом случае малая ось эллипсоида инерции планеты при прохождении ею перигелия совпадает с направлением на Солнце. Это — вариант резонанса, вызванного действием солнечного притяжения на планету, распределение массы внутри к-рой не является строго концентрическим. Определяемая совокупным действием вращения и обращения по орбите длительность солнечных суток на М, равна трём звёздным меркурианским суткам, или двум меркурианским годам, и составляет 175,92 ср. земных суток. Наклон экватора к плоскости орбиты незначителен (яиЗ°), поэтому сезонные изменения практически отсутствуют. [c.97]

Доляпуновский период в развитии теории устойчивости заканчивается замечательными исследованиями А. Пункаре по качественной теории дифференциальных уравнений (1881—1886) . На прямое отношение рассматриваемых им вопросов к теории устойчивости указал и сам Пуанкаре нельзя читать две первые части настоящего мемуара, писал он в 1885 г., не поражаясь тому, насколько сходны различные трактуемые в них вопросы с великой задачей астрономии об устойчивости Солнечной системы. Впрочем, в основном сам Пуанкаре имеет в виду здесь (и во многих других случаях) устойчивость в смысле Пуассона — термин, позже им же введенный. Так, [c.122]

Устойчивость солнечной системы. Говоря об эволюции движения гравитирующих тел, невозможно не упомянуть о блестящих достижениях А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда [15], [16] по теории динамических систем. С помощью этих, весьма общих, результатов останавливаться на которых здесь не место, Арнольду удалось доказать следующее нусть отношения масс планет к массе центрального тела достаточно малы пусть малы эксцентриситеты орбит и их на-клонносги. Тогда эксцентриситеты и наклонности вечно останутся малыми, а большие полуоси орбит вечно останутся вблизи своих начальных значений. Это верно для почти всех начальных условий. (Однако существует множество малой меры начальных условий, при которых такой устойчивости может и не быть). [c.44]

Значение этого результата трудно переоценить. Вопросами устойчивости солнечной системы занимались многие выдающиеся матема-. тики в течение примерно двухсот лет. Однако их усилия не приводили к цели. Вот что писал об этой проблеме еще совсем недавно, в 1961 г., известный астроном Юсуко Хагихара [17]. Проблема может быть сформулирована следующим образом. Каков тот интервал времени, по истечении которого данная конфигурация отклонится от современной на заданную малую величину Современная математика едва ли позволяет дать удовлетворительный ответ на этот вопрос в отношении реальной солнечной системы . Между тем уже в том же 1961 г. [c.44]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Было доказано, что такая система оказывается устойчивой, по крайней мере при достаточно малых значениях возмущающих масс и почти при всех начальных условиях. Этот важный результат значительно продвигает вперед задачу об устойчивости Солнечной системы или хотя бы системы точек, массы которых близки к массам планет. Однако пределы для масс, обеспечивающих сходимость рядов, возникающих в процессе последовательных преобразований, оказываются весьма малыми и поэтому весьма интересная математическая работа В. И. Арнольда неприменима еще непосредственно к Солнечной системе, вотгрос об устойчивости которой продолжает пока оставаться открытым. [c.357]

Лаплас (Lapla e) Пьер Симон (1749-1827) — видный французский математик, астроном, физик. Автор классических работ по математической физике, по теории вероятностей и небесной механике. Основные труды Аналитическая теория вероятностей (1812 г.), Трактат о небесной механике (182.5 г.). Один из создателей математической теории вероятностей, доказал первые предельные теоремы, развил теорию ошибок и метод наименьших квадратов. Завершил создание небесной механики на основе закона Ньютона. Доказал устойчивость Солнечной системы. [c.117]

Устойчивость Солнечной системы. Решение этой задачи тесно связано с вопросом о наличии вековых членов в разложениях больших полуосей, эксцоптриситетов и наклонов планетных орбит. Методами Н. м. вопрос об устойчивости Солнечной спстемы по может быть решен, т. к. ряды, применяемые в Н. м., являются расходящи.мпся и пригодны только для ограпичепных интервалов времени. [c.365]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Теорема Пуассона. Мы знаем, что Лагранж доказал теорему онеизменност и больших осей, в силу которой разложения больших осей не содержат вековых членов, если пренебречь в них квадратами масс, т. е. пренебречь членами порядка ц. Доказательство этой теоремы было изложено в 105. Она весьма важна с точки зрения устойчивости солнечной системы. [c.259]

Приведенные рассуждения не являются строгими. В последнее время существенный прогресс в решении проблемы устойчивости солнечной системы был достигнут В. И. Арнольдом [27], который доказал теорему Если масса, эксцентриситеты и наклонности планет достаточно малы, то для большинства начальных условий истинное движение условно периодично и мало отличается от лагранжева движения с подходящими нaчaльны ш условиями в течение всего бесконечного промежутка времени — оо<(<4-оо . Однако и сейчас еще нельзя утверждать справедливость теоремы. Лапласа. (Прим. перев.) [c.224]

Пример 13. (Теорема Лагранжа —Лапласа об устойчивости Солнечной системы). Рассмотрим задачу п тел в предположении, что масса одного тела (Солнца) много больше масс остальных тел (планет). Невозмущенной будем называть систему, в которой планеты не взаимодействуют друг с другом, а Солнце неподвижно. Невозмущенная система распадается иа п—1 задач Кеплера. Предположим, что невозмущеиные орбиты планет —кеплеровские эллипсы, и введем для описания каждого из них канонические элементы Пуанкаре [24]. В ре- [c.185]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Один из первых результатов в этой области был получен Лапласом и Лагранжем, которые доказали, что в первом приближении (т.е. если пренебречь членами, содержащими квадраты отношений масс планет к массе Солнца) движение планет может быть описано чисто тригонометрическими рядами [9]. Этот результат был истолкован как доказательство устойчивости Солнечной системы с ним же связано происхождение понятия устойчивости в смысле Лагранжа в общей теории динамических систем. К сожалению, надежды на справедливость аналогичного утверждения в следующих приближениях теории возмущений не оправдались, и в настоящее время вопрос об устойчивости как реальной Солнечной системы, так и вообще планетарных систем гравитирующих точек остается открытым мы еще вернемся к этому вопросу далее. [c.39]

Более того, следует помнить, что при использовании метода вариации параметров применение рядов Тейлора было оправдано предположением о малости возмущений первого порядка ДхЙ, и т. д., так что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно пренебречь. Однако наличие вековых членов означает, что полученные ряды обеспечивают достаточную то 1ность только на определенном интервале времени и пе позволяют сделать никакого заключения об устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем мы вернемся к этому вопросу. Тем не менее метод вариации параметров общей теории возмущений является очень полезным при определении вариаций орбит планет или искусственных спутников на значительных интервалах времени. [c.206]

На первый взгляд кажется, что устойчивость солнечной системы не является гарантированной. Однако такое заключение было бы поспешным— мы забыли бы о предположении, сделанном относи" етьно ряда Тейлора для возмущающей функции, а именно что Д р, Д р,, Д а являются столь малыми величинами, что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно пренебречь. Но вследствие появления вековых членов в Д 2, Д е.....Д f это ограничение только [c.127]

Отсюда вытекает, что солнечная система устойчива, если учитывать лишь вековые возмущения. (Устойчивость солнечной системы в предположения, что учитываются лишь линейные вековые возмущения, была показана Лагранжем (и Лапласом). Вывод, что в силу теоремы Миндинга (Я Дирихле) эти результаты можно обобщить на случай учета всех нелинейных вековых возмущений, был сделан Брунсом.) [c.123]

Дубошни Г. Н. Об устойчивости солнечной системы. Усп. астр, наук, 2, 1941. [c.357]

Указанные соотношения обеспечивают резонанс планет Солнечной системы, ее устойчивость [5]. К. Бутусов установил также, что ряд параметров планет (масса, объем, орбитальный момент, ускорение силы тяжести) пропорциональны числам Фибоначчи или производным им числам Люка. [c.165]

Здесь а наверное полоасительная величина, так как U по своей природе положительна. Если бы теперь 2// было положительным, a + тоже было бы положительным и, таким образом, В при возрастании t возрастало бы бесконечно, т. е. солнечная система не была бы устойчива итак, 2hf должно [c.26]

ВОДА — простейшее устойчивое хим. соед1П1ение водорода и кислорода окись водорода — Н О), при нормальных условиях — бесцветная голубоватая в толстых слоях) прозрачная жидкость без запаха. Одно из самых распространённых соединений в природе, играющее исключительно важную роль в процессах, происходящих на Земле, Молекулы В. зарегистрированы также в межзвёздном пространстве, она входит в состав комет, больших планет Солнечно системы и их спутников, обнаружена на Марсе и Венере. [c.294]

Правильный учёт вековых возмущений и либрации позволяет с хорошей точностью аппроксимировать ре-шение задачи трёх тел в небесной механике тригономет- q рпч. рядами, что соответствует периодич. движению. Погрешность, даваемая такими рядами за промежутки времени 1000 лет, меньше точности астр, наблюдений. Существование таких решений гарантирует устойчивость планетно11 системы для промежутков времени 5 10 лет. Но точное (при всех временах) представление решения в виде тригонометрич. рядов невозможно [А. Пуанкаре (И. Poin are), 1892]. Поэтому неизвестно, насколько сильно изменится Солнечная система за времена лет, в частности не окажутся ли пла- [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...