Устойчивость движения невозмущенного

Возможны и другие определения устойчивости движения. В частности, во многих задачах современной техники важно обеспечить малые отклонения в решении дифференциальных уравнений возмущенного движения от решения невозмущенного движения на конечном интервале времени. [c.646]

Из уравнения (12) следует, что расстояние а обращается в нуль при ф О с отрицательной стороны. Таким образом, в это.м случае обе траектории невозмущенного движения (рис. г) сливаются в одну прямую Ах, углы 4 1 и ф-2 обращаются соответственно в нуль. В этом случае следует судить об устойчивости движения по прямой Ах на основании знака возмущения. Если начальное отклонение находится в первой четверти, то точка В будет отклоняться все дальше от прямой Ах и совпадет с точкой А при ф -> 0 с отрицательной стороны. Если начальное отклонение лежит в четвертой четверти, то точка В будет приближаться к прямой Ах, угол будет стремиться к нулю. В этом случае движение устойчиво в большом. [c.650]

С древних времен в механике нашли отражение две элементарные концепции понятия устойчивости. Первая отождествляет понятие устойчивости основного (невозмущенного) состояния движения равновесия со свойством возмущенных состояний возвращаться к своему исходному состоянию. Вторая — отождествляет понятие устойчивости невозмущенного состояния со свойством возмущенных состояний пребывать в окрестности невозмущенного состояния. [c.318]

Указанные выще два способа исследования проблемы устойчивости движения А. М. Ляпунов применил к исследованию общего случая невозмущенного движения. Но особое внимание А. М. Ляпунов обратил на случаи-стационарного и периодического невозмущенных движений, выделив задачи, в которых уравнения первого приближения не могут дать ответ на вопрос об устойчивости движения. Для решения этих задач А. М. Ляпунов применил весьма тонкие и сложные соображения. [c.332]

Если интенсивность воздействия случайных факторов невелика, то возмущенная траектория мало отличается от невозмущенной. Это позволяет использовать уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений возмущенных параметров от невозмущенных (метод малых возмущений). Рассмотрим вид этих уравнений и их общие решения, с тем чтобы выявить роль и место аэродинамических характеристик (производных устойчивости) в обеспечении устойчивости движения летательного аппарата. [c.39]

Устройства стабилизации летательного аппарата реагируют на его угловые отклонения и обеспечивают устойчивость заданного невозмущенного движения. В условиях непрерывно действующих возмущений это устройство должно выдерживать с необходимой точностью заданный режим полета. При полете в плотных слоях атмосферы продольная и боковая стабилизация беспилотных летательных аппаратов может осуществляться и без специальных устройств путем обеспечения у аппаратов статической устойчивости при помощи аэродинамических средств. В некоторых случаях такая аэродинамическая стабилизация может обеспечиваться и по крену, однако для большей части летательных аппаратов предусматриваются специальные системы автоматической стабилизации. [c.49]

Для координаты p = ot+ 2, кроме этого условия, условия устойчивости движения. Рассмотрение второго слагаемого в правой части выражения для Щ2 показывает, что оно с изменением времени i возрастает, а потому отклонения величины ф-Ыг от значений, соответствующих невозмущенному движению, становятся все более и более значительными, т. е. движение является неустойчивым. [c.233]

Распространим теперь понятие асимптотической устойчивости, введенное нами в 19.5, на случай возмущенного движения. Невозмущенную траекторию ж it) будем называть асимптотически устойчивой, если существует такое положительное число и, что для всех значений 6, лежащих в области [c.473]

Существует еще много других определений устойчивости движения. Можно, например, принять определение, аналогичное орбитальной устойчивости, но связанное не с фазовым пространством, а с траекторией в -нро-странстве. Согласно этому определению движение является устойчивым, если траектория в g -пространстве, соответствующая слегка измененным начальным условиям, располагается вблизи от невозмущенной траектории. Наглядный пример орбитальной устойчивости такого типа приведен в 17.5, п. 1 невозмущенное движение в этом примере представляет движение по замкнутой кривой х = а, причем ф (а) < 0. Некоторые другие определения устойчивости приводились нами в 17.5 и в 22.7. [c.479]

Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Свойства устойчивости движения связаны с множителем если < О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима. Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. [c.155]

Устойчивость движения. Если движение системы, определяемое решением дифференциальных уравнений при некоторых определенных начальных условиях, принять за основное или невозмущенное, например в обобщенных координатах [c.402]

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37]

Пусть поставлена задача об устойчивости движения системы, которому отвечает решение уравнения (7.1.1) с начальным условием и( о) = Но е 7). Назовем это движение невозмущенным. Ему соответствует некоторая траектория и(0 в расширенном фазовом пространстве 2)х/ (пространстве событий). В частном случае равновесия невозмущенному состоянию соответствует точка ио . Движение, описываемое уравнением (7.1.1) при малых изменениях начальных условий и (или) правых частей, назовем возмущенным движением. Будем обозначать возмущенное решение и(/). Близость решений й( ) и и( ) будем оценивать по какой-либо норме в пространстве Д например, по норме, порождаемой евклидовой метрикой [c.457]

До сих пор рассматривалась устойчивость по отношению к начальным возмущениям. Многие практические задачи приводят к анализу устойчивости движения по отношению к дополнительным воздействиям, например, возмущающим силам, появляющимся в процессе движения. Обычно можно считать, что эти воздействия достаточно малы, а для невозмущенного движения равны нулю. В этом случае говорят об устойчивости (неустойчивости) по отношению к постоянно действующим возмущениям. Термин не вполне удачен, поскольку возмущения могут изменяться во времени, в частности, исчезать на некоторых участках фазовых траекторий. [c.458]

Общим методом исследования устойчивости является изучение возмущенного движения в окрестности невозмущенного. Этот метод (динамический критерий устойчивости) для консервативных механических систем был впервые применен Лагран-жем. А. М.Ляпунов построил строгую математическую теорию устойчивости движения [64]. [c.37]

Для введения понятия динамической устойчивости рассматривают невозмущенное и возмущенное движение летательного аппарата. [c.14]

После небольшого размышления можно видеть, что большая часть неясностей в этом вопросе обусловлена тем, что не существует достаточно строгого математического определения для понятия устойчивость . Возникает в еще большей степени та же трудность, если перейти к вопросу об устойчивости движения. Определения, предложенные различными авторами, были подвергнуты критическому разбору Клейном и Зоммерфельдом в их книге по теории волчка ). Отвергая прежние определения, они основывают свой критерий на виде изменений, вызываемых малыми произвольными возмущающими импульсами в траектории системы. Если невозмущенная траектория представляет предельное положение возмущенных траекторий при [c.447]

В 1892 г. вышла в свет классическая работа А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения , в которой был установлен ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой работе А. М. Ляпунов связал сам факт устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения и тем самым положения равновесия с наличием функции V (л ,. ....х , производная которой по времени, взятая согласно системе дифференциальных уравнений, обладает определенными свойствами. [c.34]

Введение системы уравнений возмущенного движения (1.2.1) позволяет в ЧУ-теории рассматривать обладающую большой общностью единообразную задачу о у-устойчивости нулевого положения равновесия (невозмущенного движения X = 0) этой системы при достаточно общих предположениях относительно её правой части. Разумеется, система (1.2.1) составляется (всякий раз заново) для каждого конкретного исследуемого на устойчивость движения (процесса) исходной системы. [c.43]

Указанное сведение позволяет применять при решении задач устойчивости движения тел с полостями, наполненными жидкостью, хорошо разработанные методы теории устойчивости, особенно метод функций Ляпунова. Заметим, что при этом отклонения возмущенных движений от невозмущенных могут быть измерены в конкретных случаях не только посредством соответствующих разностей величин Я, 4 и рл, но и посредством некоторых непрерывных функций этих величин. [c.185]

Устойчивость есть свойство движения (в частном случае — равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим некоторую механическую, электрическую, термодинамическую, биологическую и т. п. систему. Допустим, что известно некоторое движение этой системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь представим себе, что упомянутые параметры (все или их часть) получили небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится. Весьма важный вопрос состоит в том, насколько велики будут эти изменения, т. е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного. Если малые воздействия будут вызывать малые отклонения от невозмущенного движения, то возмущенные движения будут более или менее [c.328]

Отметим четыре элемента, которые должны войти в любое определение устойчивости. Во-первых, это указание на невозмущенное движение (равновесие), устойчивость которого исследуется. Нельзя говорить об устойчивости системы вообще, можно говорить лишь об устойчивости определенного движения (равновесия) этой системы. Во-вторых, определение устойчивости должно содержать указание на то, по отношению к каким параметрам движения исследуется устойчивость. Движение может быть устойчивым по отношению к одной группе параметров и неустойчивым по отношению к другой. Третьим элементом определения является указание на класс возмущающих воздействий, вызывающих отклонения от невозмущенного движения. Четвертый элемент — указание на интервал времени, в течение которого требуется близость невозмущенного и возмущенного движений. [c.329]

Обобщением определения Ляпунова на конечный интервал времени является определение устойчивости Каменкова невозмущенный процесс движения является устойчивым по мере f на конечном интервале времени Т, если при достаточно малом числе е>0 мера /Се на интервале Т, включая начальный момент to. [c.320]

Некоторое вполне определенное двингение системы, подлежащее исследованию па устойчивость, называется невозмущенным движением. Иевозмущенному движению системы отвечает определепное частное решение [c.13]

При любых, но постоянных и положительных коэффициентах а и Р невозмущенное двиясение х = 0, х =- О асимптотически устойчиво. Если же оти коэффициенты, оставаясь положительными, изменяются, то существуют режимы их изменения, при которых движение становится неустойчивым. В тех случаях, когда закон изменения коэффициентов а и известен, можно применить тот или иной метод и исследовать устойчивость движения. Однако в приложениях встречаются случаи, когда характер функций а и Р не определен и известны только границы их изменения в области (7.24) [c.225]

Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этой теоремы Ляпунов дал в сочинении Общая задача об устойчивости движения (стр. 61) ). [c.237]

Таким образом, при достаточно большой скорости поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся профилем, можно условно разделить на две статистически устойчивые области течения (рис. 5.15). Границей между ними можно назначить линию тока а—а, проходящую через точку отрыва А. Ниже линии а—а располагается область отрывного течения — область АВСО. Внутри этой области осреднениые во времени линии тока представляют собой замкнутые кривые движение в целом носит циркуляционный характер. В верхней части области отрывного течения направление векторов скорости совпадает с направлением движения невозмущенного потока, в нижней ее части жидкость или газ перемещается в обратном направлении. Выще линии тока а—а располагается невозмущенный поток, который можно считать безвихревым, или потенциальным. Так как в потенциальном потоке перенос количества движения поперек линий отсутствует (см. гл. 2), то любую линию тока можно условно заменить твердой границей. Напомним, что и в том и другом случае частная производная скорости по нормали к линии тока равна нулю, т. е. дп1дп = 0. Предполагая, что твердая граница совпадает с линией тока а—о, получим картину обтекания потенциальным потоком твердого тела АВСО. [c.250]

Условие устойчивости движений. Предположим, что под действием внешних сил звенья механизма совершают некоторое движение, которое будем называть невозмущенным. Значения обобщенных координат механизма, найденные решением уравнений движения для невозмущенного движения, обозначим через уг(П. где г=1.... 5. Если в некоторый момент времени происходит внезап- [c.85]

Условие устойчивости движений. Предположим, что под действием внешних сил звенья механизма совершают некоторое движение, которое будем называть невозмущенным. Значения обобщенных координат механнз1 а, найденные путем решения уравнений движения для невозмущенного движения, обозначим [c.180]

Дадим теперь определение устойчивости движения движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия но минимуму потенциальной энергии. [c.160]

Устойчивость есть свойство движения (в частном случае - равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим механическую, электрическую, термодинамическую, биологическую и т.п. системы. Допустим, что известно движение этой системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь представим себе, что эти параметры (все или их часть) получили небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится. Возникает вопрос о том, насколько велики будут эти изменения, т.е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного движения. Если малые воздействия вызывают малые отклонения от невозмущенного движения, то возмущенные движения более или менее плотно группируются около иевозмущенного движения. В этом случае невозмущенное движение называют устойчивым. Если же малые воздействия вызывают большие отклонения системы от невозмущенного движения, то движение называют неустойчивым. Таким [c.455]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

В условиях ползучести система под действием нагрузки находится в движении. При описании этого медленного движения обычно можно пренебрегать инерцией (квазистатиче-. ский. подход). При постановке вопроса об устойчивости такого движения естественно обратиться к известному понятию устойчивости движения. Существо этого понятия состоит в том, что для суждения об устойчивости некоторого движения (равновесия) рассматривается действие малых возмущений того или иного класса на невозмущенное (основное) движение. Если малые возмущения вызывают малые отклонения параметров движения системы от параметров невозмущенного движения, то основное движение (равновесие) устой чиво. , [c.246]

Динамическ ая устойчивость — это способность самолета, находясь в состоянии возмущенного движения, без вмешательства пилота возвращаться к исходному невозмущенному режиму полета через некоторое время после прекращения действия возмущения. Устойчивость движения, с точки зрения ее физической проявляемости, наиболее полно выражается динамической устойчивостью и поэтому ее принято называть действительной устойчивостью. [c.37]

Этот факт, учитывая экспоненциальный характер асимптотической устойчивости по отношению к х, можно автоматически использовать [Галиуллин и др., 1971 Румянцев, Озиранер, 1987] для заключения об устойчивости неасимптотической) невозмущенного движения X = X = О и по отношению к х по отношению к координатам). [c.39]

Замечания. 1°. В ЧУ-задаче, в отличие от задачи устойчивости по отношению ко всем переменным, г-продолжимость решений системы (1.2.1) не является, вообще говоря, следствием у-устойчивости ее невозмущенного движения х = 0 см. раздел 2.3. Данное обстоятельство следует иметь в виду при постановке и исследовании ЧУ-задач. [c.44]

Не имея возможности рассмотреть в рамках этой книги основные результаты теории устойчивости движения и отсылая читателя к обширной литературе по этому вопросу, мы остановимся на одном частном случае — именно, на вопросе об устойчивости равновесия материальной системы в этом случае невозмущенное движение соответствует тривиальному реигению [c.428]

А. М. Ляпунов дал математически строгое общее определение устойчивости движения по отношению к некоторым данным непрерывным функциям Qs времени t, координат и скоростей системы, обобщившее многочисленные определения устойчивости, существовавшие ранее. В частности, выбирая надлежащим образом функции Qs, в ляпуновское определение устойчивости можно включить определение орбитальной устойчивости, исследовавшейся в первом приближении Н. Е. Жуковским. Для невозмущенного движения функции Qs обращаются в некоторые известные функции Рд времени t. Решение вопроса об устойчивости Ляпунов приводит к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения [c.8]

Эта теорема позволяет сделать вывод, что для устойчивого невозмущенного движения консервативной голономной системы в соответствующих переменных бесконечно малые возмущенные движения системы аналогичны движениям вблизи устойчивого положения равновесия консервативной голономной системы. Тем самым выявляется колебательный, волновой характер движения механических систем вблизи их устойчивых ведущих движений. Отсюда следует, что задача Коши о развитии открытой Гамильтоном аналогии между динамикой консервативных механических систем и оптикой Гюйгенса тесно связана с некоторой задачей об устойчивости движения. Если существует аналогия между динамикой и математической теорией света Коши, то эту аналогию следует искать в возмущенных движениях вблизи устойчивых движений гол ономных консервативных систем. [c.16]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

XI ( ) регулируемой величины х ( ), отсчитываемых от заданного движения,, которое в координатах Хг 1) описывается, следовательно, равенствами ( ) = О (г = 1,. . ., п). Исследование качества переходного процесса на основе оценки вида (4.1) восходит к работам А. А. Харкевича, опубликованным в 1937 г. Затем оценки такого типа были изучены Н. Д. Моисеевым и его сотрудниками в связи с их исследованиями по теории устойчивости движения. Теория качества переходных процессов, базирующаяся на квадратичных оценках (4.1), получила существенное развитие в работах Б. В. Раушенбаха (1941), А. А. Фельдбаума (1948) и А. А. Красовского (1949). Подчеркнем, что здесь речь шла главным образом о выборе числовых значений параметров объекта и регулятора из заданного класса,, но не формулировалась еще общая задача о синтезе оптимальной системы, который определялся бы из условия минимума величины I (4.1) при любых возможных начальных условиях х ( о) = ж . Естественно, что параметры регулятора, подобранные из условия экстремума величины I при некотором типичном наборе начальных условий х , могли оказаться не экстремальными при других начальных данных х ( о). В связи с этим обстоятельством Н. Г. Четаев (1949) предложил и оценил другую важную количественную характеристику переходного процесса. Именно, он оценил сверху время Т, по истечении которого возмущенное движение х ( ) линейной системы, начавшееся в сфере а ( о) <й, оказывается и остается затем в 8-окрестности ) невозмущенного движения а ( ) = 0. Это- [c.184]

Вторую группу работ, относящихся к теории динамического программирования, составляют исследования конкретных классов задач. При этом речь идет прежде всего о выделении таких классов этих задач, для которых метод динамического программирования позволяет находить оптимальное управление [t, х в замкнутой форме или по крайней мере позволяет указать эффективно реализуемую вычислительную процедуру. Важный круг таких задач определился в результате исследований, начатых А. М. Летовым (1960), где была сформулирована задача об аналитическом конструировании оптимальных регуляторов. Первоначально эта задача была сформулирована как проблема стабилизации невозмущенного программного движения х (t) О за счет управляющего воздействия и [д ], которое обеспечивает асимптотическую устойчивость движения д (г) = О относительно возмущений х (i), описываемых в линейном приближении уравнениями [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...