Уравнения линеаризованные

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Следуя общей методике, заменим уравнение (5.358) уравнением, линеаризованным по t, из которого вытекает, что [c.291]

Если интенсивность воздействия случайных факторов невелика, то возмущенная траектория мало отличается от невозмущенной. Это позволяет использовать уравнения, линеаризованные относительно малых отклонений возмущенных параметров от невозмущенных (метод малых возмущений). Рассмотрим вид этих уравнений и их общие решения, с тем чтобы выявить роль и место аэродинамических характеристик (производных устойчивости) в обеспечении устойчивости движения летательного аппарата. [c.39]

Остановимся вкратце на случае, когда среда несжимаема (о = 0,5). Будем рассматривать этот вопрос только с позиций интегральных уравнений. Дело здесь усложняется тем, что значение а = 0,5 является вырожденным для дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения теории упругости для несжимаемой среды совпадают (с точностью до физического смысла) с уравнениями линеаризованного течения вязкой жидкости [230]. Эти уравнения являются регулярными, и в дополнение к полюсу резольвенты в точке к = —1 возникает еще полюс в точке Я. = 1. Это обстоятельство очевидно, поскольку для несжимаемой среды постановка задачи 1+ возможна лишь при условии [c.565]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то равновесие нелинейной системы устойчиво. [c.433]

Если вещественная часть хотя бы одного из корней характеристического уравнения линеаризованной системы положительна, то равновесие нелинейной системы неустойчиво. [c.433]

В случае, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы встречаются чисто мнимые, тогда как остальные имеют отрицательные вещественные части, равновесие истинной нелинейной системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и для решения вопроса об устойчивости уравнений первого приближения недостаточно. [c.433]

Сохраняя при этом в левых частях уравнений линеаризованные выражения для Мс Ц) и M o(uo, ф, получаем систему уравнений улучшенного первого приближения [c.83]

Условно уравнение линеаризованной характеристики реле может быть записано [c.229]

С учетом изменения знак сигнала после реле и обозначений, принятых на рис. VI. 1, уравнение линеаризованной системы запишется [c.229]

После преобразований имеем уравнение линеаризованной замкнутой системы [c.229]

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные действительные части, то исходная система, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями, будет устойчивой. [c.212]

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеаризованной системы имеется хотя бы один корень с положительной действительной частью, то исходная система, описываемая нелинейными уравнениями, будет неустойчивой. [c.213]

Будем предполагать существование первоначального положения равновесия при критической нагрузке и получим уравнения линеаризованной теории, из которой определяется вид возмущенной конфигурации. Обозначим напряжения, перемещения и внешние нагрузки исходного и смежного положений равновесия через [c.99]

Выведем для этой задачи уравнения линеаризованной теории тонких оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа—Лява. Принцип виртуальной работы для этой задачи записывается следующим образом (см. уравнение (4.84)) [c.269]

Для анализа и синтеза СП необходимо располагать зависимостью между угловой 1 скоростью вала исполнительного двигателя и воздействиями, приложенными к силовой части СП. Этими воздействиями являются сигнал gy, поступающий на вход усилителя (преобразователя) мощности, и момент нагрузки Мн.д на валу исполнительного двигателя (ИД). Статические характеристики усилителя мощности я исполнительного двигателя, как правило, нелинейны, поэтому указанная зависимость имеет нелинейный характер. Однако во многих случаях нелинейности статических характеристик таковы, что при малых отклонениях от положения равновесия эта зависимость может быть линеаризована. Бели статические характеристики отдельных элементов являются существенно нелинейными, оказывается удобным представлять нелинейную систему в виде последовательного соединения линеаризованной части с нелинейным элементом. Ниже рассматриваются обобщенные (не зависящие от типа силовых элементов) уравнения линеаризованной модели силовой части, следящего привода. [c.8]

Заметим, что изложенное выше суждение о возможности оценки устойчивости СП по его линеаризованным уравнениям может быть использовано и при оценке устойчивости СП, когда на входе СП имеются управляющие воздействия некоторых других видов. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты уравнения линеаризованного СП при изменении управляющего воздействия СП существенно не изменялись. [c.426]

Чтобы вычислить критические показатели, необходимо найти наибольшее собственное значение РГ-уравнения, линеаризованного относительно седловой неподвижной точки. [c.394]

Больцмана уравнение линеаризованное 184, 185, 190, 191, 194, 204, 214, 225—227, 239, 242, 244—246, 250, 261, 268, 278, 279, 285, 336, 371, 376—378, 382—384, 393, 436—438, 445, 446, 448, 466, 467 [c.487]

В более общем случае характеристические уравнения линеаризованных систем первого типа содержат не один, а несколько коэффициентов, зависящих от амплитуды колебаний или отклонения х. [c.14]

Одной из особенностей нелинейных автоматических систем второго типа является то, что характеристические-уравнения линеаризованных систем могут содержать несколько коэффициентов, зависящих от амплитуды колебаний переменной величины или ее скорости. [c.15]

Характеристические уравнения линеаризованных систе№ третьего типа содержат коэффициенты, зависящие от амплитуды и от частоты колебаний. [c.15]

Сущность метода гармонической линеаризации состоит в том, что исходная нелинейная система при помощи гар монической линеаризации заменяется линейной, ряд коэф фициентов которой зависит от амплитуды колебаний. Да лее эти коэффициенты считаются условно постоянными и исследование устойчивости производится, по существу при помощи линейного математического аппарата — со ставляется характеристическое уравнение линеаризованной системы и определяется условие существования и подавления режима автоколебаний. [c.43]

Таким образом, при выполнении условий, указанных выше, характеристическое уравнение линеаризованной системы будет иметь все корни отрицательными при Д 1 > О, либо среди них пару чисто мнимых корней при А 1 = О, либо среди них пару комплексно-сопряженных корней с положительными вещественными частями при [c.68]

Замечание 4-5. Характеристическое уравнение (56) инвариантно (с точностью до постоянного множителя) относительно выбора переменных, определяющих состояние системы. Поэтому при исследовании устойчивости установившихся движений неголономных систем с помощью теоремы 4.1 уравнения движения этих систем можно брать в любом виде (приводить их к виду (52) не обязательно). В частности, характеристическое уравнение линеаризованной в окрестности решения (48) системы (43), эквивалентное уравнению (56), имеет вид [c.447]

Аналогично исследуется асимптотика изменения параметров в хвосте волпы при приближении к конечному равновесному состоянию, т. е. для зоны, где отклонения переменных V, а, р, р2, ги от их значений в конечном состоянии (у = е, а = йе, Р Рг — ре, ю = 0) достаточно малы. Для этой зоны из (6.3.13) получим систему уравнений, линеаризованных относительно конечного состояния. [c.30]

Характеристическое уравнение линеаризованной системы [c.181]

Характеристическое уравнение линеаризованной системы D [X) — [X) = О с действительными коэффициентами содержит параметр р. Степень многочлена D X) выше степени многочлена К Х). Какой смысл имеют граничные точки Р интервалов на оси 3, в пределах которых число корней уравнения с отрицательной действительной частью не меняется [c.181]

Характеристическое уравнение линеаризованной системы 0 Х) — = О содержит параметр Р 0 Х) и К (X) — заданные многочлены степени п и т < п соответственно, причем у полинома 0 Х) коэффициент нри равен 1. Как разбить ось Р на интервалы, в пределах которых число корней характеристического уравнения с отрицательной действительной частью не меняется [c.182]

Очевидно, Га зависит от значений и, около которых произведена линеаризация системы уравнений, и от W. Из нижней полуплоскости к будут стремиться к нулю 1а = Па — Га корней при и> 0. Таким образом, в верхней полуплоскости при а = О останется р — Га, а в нижней д — 1а корней А дисперсионного уравнения линеаризованной полной системы уравнений (1.66). [c.106]

Уравнения, линеаризованные относительно ферромагнитной фазы 373 [c.373]

Устойчивость установившихся режимов работы привода определяется видом характеристического уравнения линеаризованной системы (9). Спектр собственных частот системы зависит от упруго-массовых параметров привода и от параметров МВН — его жесткости, массы и передаточного отношения рычажной системы. Для оценки влияния каждого из этих факторов использовался численный метод решения с последовательной вариацией конструктивно реализуемых параметров МВН. Установлено, что, изменяя параметры МВН, можно управлять спектром собственных частот привода, смещая последние из опасных резонансных зон. Идеальный безмассовый МВН с абсолютно жесткими связями играет роль безынерционной следящей системы и не влияет на собственные частоты привода. Все корни xapaKTepn TH4e Kofo определителя в исследованном диапазоне изменения параметров МВН являются действительными положительными числами. Значит, в рамках принятых допущений о малости отклонений система привода с МВН устойчива. Вопрос об устойчивости больших отклонений решался путем моделирования неустановившихся режимов работы приводов на АВМ. [c.108]

Характеристическое уравнение линеаризованной системы f X) = D X) — = О содержит параметр р. Многочлены D X) и К [X) имеют степени п и т < п соответственно. При р = О все п корней многочлена f X) лежат слева от мнимой оси. При каких условиях многочлен f X) будет гурвицевым для Р = — 1 (Критерий Найквиста.) [c.181]

Краевой эффект в оболочках. Если напряженное состояние в оболочке является в основном бёзмоментным и интенсивность напряжений достаточно велика, напряженное состояние краевого эффекта вблизи закрепленного края может рассчитываться, как поправка к основному напряженному состоянию. Эта идея была реализована И. Г, Терегуловым, который использовал в зоне краевого эффекта уравнения, линеаризованные около основного напряженного состояния, которое считается без-момертным и, следовательно, известным. Теория краевого эффекта при этих предположениях оказывается подобной теории краевого эффекта в упругих оболочках, В качестве иллюстрации была рассмотрена задача о краевом эффекте в цилиндрической круговой оболочке, сжатой в осевом направлении. Краевой эффект в цилиндрической оболочке рассматривался также И, В, Стасенко (1962, 1963). [c.138]

Оценим число корней k - ui) дисперсионного уравнения линеаризованной системы (1.66), имеющих ImA > О при w = 0. Если о -> О, так что Imw > О, то некоторые из корней к дисперсионного уравнения также будут стремиться к нулю из верхней полуплоскости к ив пределе обратятся в нуль. Найдем число таких корней. Заметим прежде всего, что если и> и к одновременно стремятся к нулю, то для соответствующего решения временной и пространственный масштабы стремятся к бесконечности. Поэтому соответствующее экспоненциальное решение должно описываться упрощенной системой уравнений (1.63), и> = ш + Wk и к = к должны удовлетворять дисперсионному уравнению системы, которая получается линеаризацией уравнений (1.63). Поскольку система эта гипреболическая и не содержит членов без производных, то решение дисперсионного уравнения имеет вид [c.105]

Уравнения линеаризованной теории упругости для однородного изотропного материала, отсчётная конфигурация которого соответствует естественному состоянию, при дополнительном предположении, что Uq = o ( 6.2) [c.36]

Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. В 1964 году было проведено численное исследование в работе Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегрирования исследовано характеристическое уравнение линеаризованной системы и в плоскости 1, е получены области устойчивости и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены [c.148]

Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет две пары чисто мнимых корней i ui, i u2- Чтобы сделать заключения о суш ествовании периодических движений, надо проверить только выполнимость условия а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле, т. е. требования отсутствия резонансных соотношений вида [c.208]

Формулировка в 6.6 системы уравнений, линеаризованных относительно типичной однодоменной ферромагнитной фазы, вводит читателя в круг исследований взаимосвязанных магнитоупругих волн в непроводящих ферромагнетиках. Эффекты магнитоакустического резонанса, магнитоакустический эффект Фарадея и явление затухания магнитоупругих волн в упругих ферромагнетиках рассматриваются в 6.7—6.9 соответственно. Эти эффекты исследуются аналитически, в качестве иллюстраций приведены также графики, полученные численно. Они привлекают особенно большое внимание с точки зрения приложений в технике к таковым относятся сверхзвуковые генераторы, высокочастотные магнитострикционные преобразователи, усиление волн при помощи нелинейных взаимодействий, разработка волновых фильтров и линий задержки, анализ и синтез внутреннего магнитного поля и т. д. Еще более удивительно и загадочно поведение соответствующих поверхностных магнитоакустических волн, демонстрирующих отсутствие взаимности при распространении вдоль двух противоположных направлений ( 6.10 и 6.11), а также возможность представления движущихся ферромагнитных стенок в многодоменном упругом кристалле магнитоакустическими солитонными волнами ( 6.12 и 6.13). [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...