Метод Бетти

Метод Бетти интегрирования дифференциальных уравнений эластостатики ) [c.254]

Метод Бетти интегрирования уравнений эластостатики 257 [c.257]

Ний(е мы дадим применение метода Бетти к решению задачи упругом полупространстве ). Предположим, что в плоско-ти л з ограничивающей упругое полупространство, заданы ремещения щ. Определим сначала дилатацию в точке по формуле (9) [c.258]

Максвелла теорема о взаимности перемещений 143 Маха число 658 Метод Бетти 254 = Колосова 357 [c.861]

Рассмотрим теперь решение пространственных статических задач теории упругости. Здесь не суш,ествует такого эффективного аналитического аппарата, как в теории двумерных задач, однако метод Бетти позволяет построить общую теорию, а теория интегральных преобразований и применение криволинейных координат позволяют создать полезные методы для исследования ограниченного круга частных задач. [c.148]

Метод Бетти. Метод Бетти ) основан на факте, установленном выше в параграфе 56, заключающемся в том, что расширение А является гармонической функцией. Отсюда следует, что [c.164]

Теорема Бетти имеет весьма общий характер. Она позволяет построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина [41, [c.95]

Максвелла—Бетти теорема 77 Малых перемещений теория 49, 117 Маркеров и ячеек метод 436 Маркова принцип 323, 333 Материал жесткопластический 332 [c.533]

Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения фиктивной системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области. [c.50]

Значение теоремы Бетти заключается в том, что с помощью произвольно выбранной системы II получаются соотношения между приложенными силами и перемещениями системы I. Система II, вспомогательная, может быть выбрана очень простой, например, однородное напряженное состояние. Теорема дает тогда объяснение различных свойств решения I. Она также служит исходной для так называемого метода граничных интегральных уравнений. [c.40]

Вообще развитие в XIX в. энергетических методов в теории упругости тесно связано с разработкой методов расчета статически неопределимых систем. Применительно к этим расчетам в конце XIX в. широкое применение получили линии влияния, введенные в строительную механику Э. Винклером и О. Мором в конце 60-х годов. Построение их основано на теореме взаимности, сформулированной в простейшем случае Максвеллом и обобщенной на произвольные условия равновесия Э. Бетти и на колебания упругих систем Рэлеем Последнему принадлежит широкое применение понятия обобщенных сил и перемещений, сыгравшего важную роль в последующем развитии прикладной теории упругости. В частности, В. Л. Кирпичев применил теоремы взаимности, вводя обобщенные силы для расчета неразрезных балок и арок [c.62]

Одной из наиболее интересных теорем теории упругости является теорема взаимности (теорема Бетти). Эта теорема имеет весьма общий характер и дает возможность построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина. Теорема взаимности была обоб- [c.54]

Бельтрами — (Мичелла уравиеиия 118-1]9, 485, 574 Бетти метод 254 [c.860]

Ha основе формулы Бетти в ее втором виде (13) можно в случае, когда даны массовые и поверхностные силы, развить метод приближенного интегрирования уравнений равновесия. Выражаем. для этого перемещения а, V, xi) в виде целых рациональных полиномов от Ху у, Z с неопределенными коэфициентами. Для определения последних подставляем в (13) вместо и/у -г/, w поочередно выражения вида [c.132]

Бетти метод интегрирования —, 244. [c.667]

Рео1ение задачи о плоскости, предложенное Черрути. Для того чтобы проиллюстрировать применение метода Бетти, рассмотрим случай полубесконечного тела z > О, ограниченного плоскостью Z = О, и примем, что перемещения на поверхности известны ). Пусть х, у, ъ — произвольная точка тела, х, у, — z —ее зеркальное отображение относительно границы и пусть [c.168]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо выполнение теоремы Бетти о взаимности работ. По сути дела условие самосопряженности краевой задачи можно трактовать как форму записи этой теоремы. Выйолнение теоремы Бетти гарантируется, если силы консервативны. Поэтому достаточным условием применимости метода Эйлера к решению задачи устойчивости равновесия системы является наличие потенциала внешних сил. Граница между консервативными и неконсервативными силами не совпадает точно с границей применимости метода Эйлера в том смысле, что и некоторые проблемы с неконсервативными силами удается решить методом Эйлера. Однако вопрос, каким дополнительным требованиям должны удовлетворять неконсервативные силы, чтобы задача могла быть решена методом Эйлера, остается открытым. [c.373]

К пп. 2.1—2.4. Решение задачи о действии на упругое полупространство сосредоточенной силы, нормальной к его плоской границе, впервые дано Буссинеком [71]. Более общую задачу о нагружении полупространства системой нормальных и касательных поверхностных сил одновременно с Буссинеком, основываясь на методе интегрирования Бетти, рассмотрел Черрути в мемуаре [c.915]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Одновременно с Буссинеском решение той же задачи в несколько более общем виде, основанное на методе интегрирования Бетти, дал [c.393]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Метод интегрирования Бетти (Beill). Перенесение метода особых точек в область теории упругости принадлежит Бетти ), который для расширения Д и вращения (ш , ш ) развил формулы, аналогичные формуле (7) последние содержат явно напряжение и смещение на граничной поверхности. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...