Несогласованные элементы

Для треугольного несогласованного элемента [c.124]

Треугольный плоский несогласованный элемент комбинированного типа. [c.145]

Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости элемента как присущее конструкции свойство без учета условий, которые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характеризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уверенности в том, что при решении будет достигнут нижний предел. На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что они проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при измельчении сетки правильное решение [6.5]. Примеры таких элементов даны в последующих главах. [c.172]

Сходимость при использовании несогласованных элементов [c.204]

Во-вторых, тогда как решения, полученные при использовании согласованных элементов, всегда сходятся к точному снизу, так как в соответствии с теоремами гл. 2 они позволяют оценить нижнюю границу, решения, полученные при использовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака. [c.223]

Все элементы относятся к описанному в гл. Ю типу. Интересно отметить, что при выполнении требование непрерывности углов наклона для параметра выпучивания всегда получаются оценки сверху. При использовании несогласованных элементов в этом случае получаются оценки снизу, хотя в общем случае справедливость этой оценки пока не установлена. [c.451]

Построение конечноэлементной аппроксимации для задач с интерполированными граничными условиями — как это только что было — это одно из основных нарушений вариационных принципов (Стренг, 1972), на которые приходится, постоянно идти при решении практических задач. Другие нарушения таковы (I) искажение положения границы (И) использование численного интегрирования для вычисления скалярных произведений и (III) применение несогласованных элементов. Несогласованные элементы будут детально рассмотрены в разд. 7.2. Если применяется любой из этих приемов, то приближенное решение не лежит более в Кы а не удовлетворяет условию [c.126]

Е) Несогласованные ЭЛЕМЕНТЫ Определим билинейную форму [c.151]

Упражнение 26. Покажите, что (5.51) выполняется для кусочно-линейных несогласованных элементов, описанных выще. [c.152]

Поскольку инженеры в меньшей степени по сравнению с математиками избегают применения на практике теоретически не обоснованных приемов, нет ничего удивительного в том, что несогласованные элементы были впервые предложены именно инженерами. Ими было предложено также так называемое кусочное тестирование для выбора таких несогласован- [c.180]

Хотя математическая проверка несогласованных элементов кусочным тестированием привлекательна сама по себе, с практической точки зрения достаточно осуществить такую проверку на вычислительной машине. Элементы считаются выдержавшими кусочное тестирование, если численное решение воспроизводит заранее известный ответ с учетом, конечно, влияния ошибок округления. [c.185]

Необходимое и достаточное условие сходимости построенной на несогласованных элементах аппроксимации, которое эквивалентно кусочному тестированию, в обозначениях разд. 5.4 (Е) имеет вид равенства [c.185]

Иногда можно нарушить этн условия н все же получить решение, которое не только дает удовлетворительную аппроксимацию точного решения, но и сходится к нему, когда размер элемента стремится к нулю (см. подраздел в разд, 8.4, посвященный несогласованным элементам). [c.165]

Указанные выше трудности не означают, что не следует применять несогласованные и/илн неполные элементы. Бывают полезные несогласованные, а в некоторых случаях и неполные элементы, которые дают высокую точность и быструю сходимость. Действительно свойства таких элементов могут быть лучше, чем у согласованных полных полиномиальных элементов той же степени. Зенкевич [18] указывает, что в некоторых случаях наилучшими для практического использования являются несогласованные, или несовместные, элементы. Несогласованные элементы, конечно, не следует недооценивать, но и нельзя рекомендовать неопытному вычислителю. [c.176]

Для уравнений четвертого порядка (например, задачи о пла- стине и об оболочке) ситуация гораздо менее удачна. По теории преобразование координат обязательно должно быть класса его первые производные должны быть непрерывны между элементами, иначе пробные функции будут несогласованными. (Сходимость для несогласованных элементов все еще возможна, как [c.194]

Первое нарушается несогласованными элементами в следующем разделе мы покажем, что в этом случае сходимость может быть и может не быть. Совершенно необязательно (и даже не всегда вероятно), что дискретная задача совместима с непрерывной. Наоборот, к пробным функциям применяется кусочное тестирование, которое определяет, согласованно или нет они воспроизводят состояния постоянной деформации. Если да, то процесс сходится внутри каждой элементарной области. [c.203]

НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И КУСОЧНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ [c.205]

Функционал I отличается от / тем, что в / игнорируются особенности на границах элементов, в то время как для несогласованных элементов/(о) = оо. [c.205]

Второй подход к теории несогласованных элементов — вариационный и потому более общий. Мы утверждаем, что вариационный смысл успешного кусочного тестирования таков для каждого полинома Рт и каждой несогласованной) базисной функции Фз [c.207]

Существует второй несогласованный элемент, в равной степени простой и полезный. Он составлен из кусочно линейных функций на треугольниках. Предпочтительнее выбирать узлы не в вершинах, что дает непрерывность на каждой границе между элементами, а помещать их в середины сторон. Поэтому непрерывность между элементами пропадает (за исключением этих середин) и пробное пространство получается большей размерности— грубо говоря, его размерность в три раза больше [c.209]

Мы собираемся доказать, что решения метода конечных элементов, основанные на несогласованных элементах Вильсона, сходятся к и. Скорость сходимости будет минимальной —0(h ) по энергии, хотя это может не дать правильного отражения ее точности при больших h. (Существенная черта метода конечных элементов — успех на грубой сетке даже элементы, не являющиеся сходящимися и не выдерживающие кусочное тестирование, для реальных h могут дать удовлетворительные результаты.) Если элемент к тому же выдерживает тестирование для полиномов более высокой степени то скорость сходимости по энергии должна была бы возрасти до но это не так. [c.210]

Наш план —начать с общей оценки ошибки, пригодной для любого несогласованного элемента, и тем самым выделить величину, которая играет решающую роль в определении ошибки. Это величина А, определяемая формулой [c.210]

Сначала обсудим основную теорему, а потом докажем ее и приведем примеры. Главное условие на квадратурную формулу совпадает с кусочным тестированием для несогласованных элементов сходится к Ф в энергии деформации (т. е. Ц — [c.214]

Влияние на вычисляемые собственные значения других при- ближений — изменение области или коэффициентов, численные квадратуры, несогласованность элементов — сравнимо в методе конечных элементов с влиянием этих возмущений на энергию в стационарных задачах. Предупреждаем лишь, что при замене области Q многоугольником Q ошибка в энергии должна измеряться на Q. Поэтому ее порядок уже не O(li ), как было установлено в разд. 4.4 на многоугольнике если все пробные функции равны нулю на Q —то энергия по этой области полностью теряется соответствующее возмущение, пропорциональное площади этой подобласти, есть 0(h ). [c.269]

При построении несогласованных элементов требовались непрерывность прогиба w во всех точках на границе между элементами и совпадение углов наклона в общих узлах. Это всегда приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ш. Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то появляются интересные возможности. Например, можно показать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести степеней свободы которого приняты значения ш в угловых узлах и значения нормальной производной дт1дп в дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полином. В результате получается простейший возможный элемент для [c.205]

На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании двух простых, но несогласованных элементов, расссмотренных в [c.222]

Отметим, что в разд. 7.2 будет показано, что (5.51) представляет собой кусочное тестирование несогласованных элементов для задач второго порядка. Сьярле (1973) получил аналогичные результаты для элементов, связанных с задачами об изгибе пластины. Сравнительный анализ несогласованных элементов для задач об изгибе пластины имеется у Ласко и Лесена (1975). [c.152]

В конце этой главы мы увидим, как решаются некоторые в основном физические и инженерные задачи методом конеч ных элементов в различных его формах (Ритца, Галеркина наименьших квадратов, колокации). Разнообразные типы ба зисных функций и модификации основного метода будут ис пользованы для того, чтобы подчеркнуть относительные пре имущества тех различных приемов, которые объединяются под общим названием метода конечных элементов. Что касается базисных функций для задач, в которых требуется высокая степень гладкости между элементами (например, решение би-тармонического уравнения в смысле наименьших квадратов должно принадлежать пространству С ), то здесь будут применены несогласованные элементы, и поэтому мы начнем эту главу с краткого описания некоторых используемых на практике несогласованных элементов. [c.180]

До сих пор аппроксимация для всей области в методе конечных элементов строилась в предположении ее некоторой гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках между соседними элементами. Для дифференциального уравнения порядка 2к требовалась сшивка в для методов Ритца и Галеркина или сшивка в для метода наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка в О достигается применением полиномов девятой степени, то нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при к > 1 построение элементов с требуемой степенью гладкости сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому с вычислительной точки зрения желательно научиться использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках, чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы. [c.180]

Более общий подход к сходимости использует запись фуикционала в виде суммы вкладов. В результате производные в функционале вычисляются ие дифференцированием по области а дифференцированием на каждом элементе по отдельности, что позволяет обойти проблему разрыва производных прн пере-, ходе через границу между элементами. Поэтому сходимость даже несогласованных элементов может быть исследована иа основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным способом) к истинному значению по мере стремления к нулю размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным образом формулируется в терминах гильбертовых пространств и энергетических, норм. Оливейра [16] с использованием последнего подхода продемонстрировал, что для класса задач, рассмотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода Ритца, еслн и в пределах элемента аппроксимируется полным полиномом вплоть до порядка р (где р —порядок наивысшей производиои в функционале) прн условии, что требование согласованности. выполняется. То, что полнота ) и согласованность являются достаточными условиями сходимости, было подтверждено Оденом [И] с помощью более общего анализа того же самого класса задач. [c.173]

Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих чертах для задач механики твердого тела. В простейшей форме теста группа элементов, или кусок как минимум с одним невнутренним узлом, полностью окруженным элементами, нагружается на границе силами, соответствующими постоянным деформациям на всем куске. Если метод сходится, то по выборочному тесту вычисленные методом конечных элементов перемещения, деформации и напряжения должны согласовываться с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить также использование приложенных перемещений, соответствующих состоянию постоянной деформации на всем куске. Применимы также выборочные тесты более высокого порядка, требующие на всем куске согласования решения с более -сложными нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не ограничивается полными -или согласованными элементами, а может также применяться для определения того, дают ли сходящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим крите риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый достаточный признак сходимости в следующих случаях а) ког да используются несогласованные элементы б) когда в фор мулы входит численное интегрирование. Как недавно указа/ Оливейра [22], этот признак можно распространить иа задачи отличные от задач механики твердого тела. [c.177]

Отметим, однако, что неточное численное интегрирование иногда может даже улучшить качество решения. Известен один пример (другой — для несогласованных элементов), в котором вычислительные эксперименты приводят к результатам, противоречащим положениям математического анализа, но с вычислительной точки зрения верным и важным. Улучшение для конечного шага Л вытекает отчасти из следующего эффекта точный метод Ритца всегда соответствует слишком жесткой аппроксимации и ошибки квадратурных формул уменьшают эту избыточную жесткость., [c.120]

Теперь из основной оценки (3) следует, что несогласованные элементы Вильсона дают ошибку и — н , = О (/г) в норме энергии деформации. Мы уверены, что эта скорость сходимости верна, но отметим два момента. (1) Из эксперимента ясно, что постоянный множитель перед к намного меньше, чем он был бы без дополнительных несогласованных пробных функций. (2) Не обязательно энергия деформации в меньше, чем в и. Фактически сходимость сверху скорее правило, нежели исключение, как для энергии деформации, так и для перемещений. Доказательство сходимости после удачного кусочного тестирования обсуждается далее в указателе обозначений. Айронс и Раззак в Трудах Балтиморского симпозиума [ ] описали много других элементов, выдерживающих тестирование, в том числе [c.212]

Приведенный список содержит также ряд численно интегрируемых элементов, но мы предпочитаем не рассматривать-численное интегрирование как производящее несогласованные элементы. Влияние такого интегрирования на самом деле состоит в замене истинного ф ункционала /(и) новым, но разность между ними не содержит граничных интегралов. Поэтому численное интегрирование и ошибку, которую оно вносит в аппроксимацию Ф метода конечных элементов, мы изучим отдельно. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...