Вопросы сходимости

В процессе численного решения как прямой, так и обратной задач возникает вопрос сходимости приближений. Опыт выполненных расчетов и анализ сходимости предложенных методов позволили дать рекомендации [7, 11, 27] по выбору расчетных сеток и коэффициентов релаксации, введение которых ускоряет расчетный процесс, а во многих случаях оказывается необходимым для достижения сходимости. [c.204]

В главе 2 изложены методы и алгоритмы оптимизации параметров и профиля теплоэнергетических установок. Здесь дано описание алгоритма оптимизации непрерывно изменяющихся параметров, использующего идеи градиентного метода алгоритма направленного дискретного спуска, сочетающего возможности метода покоординатного спуска и метода случайного поиска метода динамического программирования в применении к оптимизации компоновки парогенератора. Обсуждаются вопросы сходимости предложенных алгоритмов, а также даны примеры их практического использование . [c.3]

Вопрос сходимости указанного процесса последовательных приближений теоретически не исследован. В силу единственности решения задачи можно лишь утверждать, что если приближения сходятся, то они сходятся к искомому решению. Примеры расчетов (один из которых приводится ниже) показывают, что даже при весьма грубом задании исходного распределения скорости процесс сходится очень быстро и уже третье приближение практически не отличается от второго. [c.158]

Обоснованию этих методов, их классификации и исследованию посвящено большое число работ как в нашей стране, так и за рубежом. По методу МКЭ наиболее фундаментальными являются работы [7—10]. В [11] дан обзор по теории МКЭ и обсуждены основные его аспекты — способы дискретизации, формы перемеш епий, построение матриц жесткости, вопросы сходимости. ВРМ получил развитие в работах [12-16]. [c.103]

Выясним, каким видом разложения в ряд эйконала дифрагированной волны Фт предпочтительно пользоваться в дальнейшем. Критерии решения этого вопроса — сходимость и удобство того или иного вида разложения. Ясно, что осевое разложение применимо только при r lz <, но сходимость получаемого ряда определяется последовательностью и в пер- [c.21]

Перейдем к вопросу сходимости решения (5.4.3) при /г О к решению предельной системы [c.242]

Целью исследований являлось построение гибридных численно-аналитических методик, поэтому вопросы сходимости и нелокальности считались второстепенными (достаточна машинная сходимость ) важно локализовать особенность и выявить естественный для решаемой задачи класс представлений с тем, чтобы затем немного отступить от особенности и проводить серийный счет решений стандартными численными методиками. Можно отметить близость развитого подхода к асимптотическим методам. [c.9]

Тем самым при численном моделировании процессов деформирования реальной среды может быть допущена двойная погрешность первая и весьма трудно устанавливаемая погрешность допускается при моделировании реальной среды (физически всегда дискретной, хотя и достаточно мелких масштабов) в виде континуальной модели вторая — на этапе численной дискретизации построенной континуальной модели (не говоря о других погрешностях при численной реализации, вопросах сходимости и т. д.). В связи с этим перспективным и методически оправданным является использование дискретных подходов на более ранних этапах моделирования задач механики сплошных сред, особенно задач с высокими градиентами скоростей, разрывами и поверхностями раздела, ударными волнами, разрушением, неоднородностью, сложной пространственной или физической структурой. Эту тенденцию не следует понимать буквально как полный отказ от континуальных представлений, но в то же время целесообразны дальнейшая разработка и создание механики дискретных систем или дискретных сред, являющейся промежуточным звеном между механикой материальных точек со связями [135] и континуальной механикой сплошных сред. Главное при этом — задание характерных масштабов усреднения определяющих параметров процесса по пространству и времени, например характерного размера выделенных дискретных элементов или объемов среды, для которых массу можно полагать сосредоточенной в точке, т. е. использовать для этих элементов средние значения сил инерции, количества движения или среднее значение внутренней энергии. [c.84]

Вопросы сходимости метода Ньютона-Канторовича при решении краевых задач для квазилинейных систем уравнений эллиптического типа, к которым (при определенных ограничениях) относятся рассматриваемые задачи о концентрации напряжений, исследованы, в частности, в работе А.И. Кошелева 44]. В более поздней работе того же автора [45] отмечено, однако, что численная оценка сходимости метода затруднительна из-за сложности оценки нормы оператора, обратного оператору линеаризованной задачи. [c.95]

Разработанные общие принципы математического моделирования пожаров на уровне усредненных термодинамических характеристик позволили спользовать методы численного эксперимента для задач прогнозирования динамики пожаров в помещениях различного назначения. Вопросы сходимости результатов численных экспериментов с изучаемым физическим процессом рассмотрены в разд. 5.4. Методы численных экспериментов для данных задач имеют целый ряд преимуществ по сравнению с физическим экспериментом. Численные эксперименты, основанные на научно обоснованной математической модели, позволяют получать достоверные научные данные с меньшими затратами в кратчайшие сроки. Для решения целого ряда задач, связанных с разработкой мероприятий пожарной профилактики в помещениях большого объема, численный эксперимент [c.263]

При переходе от точной задачи (6.1) к приближенной (6.2) возникают вопросы сходимости приближенных решений к точным и устойчивости приближенных схем. [c.137]

Более подробно этот метод рассмотрен в работах [394, 439, 464], где обсуждаются и вопросы сходимости, устойчивости и точности этого метода, [c.157]

Чтобы понять возникающую здесь физическую ситуацию, полезно рассмотреть решение уравнения (6.15) методом итераций, не интересуясь пока вопросами сходимости получающегося решения [c.148]

Важно четко понимать, какой смысл для данного состояния имеют векторы и Раут- Мы ожидаем, что в экспериментах по рассеянию вектор Рин (О будет описывать так или иначе коллимированный пучок. Конечно, по математическим соображениям этот пучок не должен браться монохроматическим. В противном случае возникли бы трудности в вопросах сходимости. Весьма желательно, чтобы пучок представлял собой волновой пакет. Вместе с тем этот волновой пакет содержит всю информацию о том, каким образом был создан волновой пакет в далеком прошлом, т. е. о том, были ли частицы посланы в сторону мишени вдоль заданного направления, скажем с (приблизительно) заданным импульсом р и спином вдоль оси х, или же была создана схо-дяш,аяся сферическая волна с угловым моментом и т. п. Все эти характеристики должны содержаться в наборе квантовых чисел, или собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с гамильтонианом //о и, таким образом, могут быть точно определены в состоянии системы свободных частиц о- Соответствующее состояние полной системы взаимодействующих частиц обозначают посредством 4 + (а, 1) и снабжают теми же квантовыми числами, что и ин- Другими словами (а, /) представляет собой состояние полной системы взаимодействующих частиц, которое в далеком прошлом совпадало с состоянием системы свободных частиц ин (а, t), причем а — полный набор собственных значений динамических переменных, которые коммутируют с Яо (но не обязательно с Я). Вектор состояния (а, 1) является решением уравнения [c.150]

В нестационарной теории, как уже было отмечено в предыдущей главе, многие этапы необходимых математических расчетов требуют использования волновых пакетов для обеспечения сходимости соответствующих выражений. В стационарной теории невозможно использовать волновые пакеты, не вводя сложных весовых функций и очень громоздких интегрирований по энергии. Без этого же в стационарной теории неизбежны трудности, связанные с вопросами сходимости. [c.171]

Если самосопряженный оператор А неограничен, как это почти всегда имеет место для гамильтонианов физических систем, то интегралы по к являются несобственными, причем нижний предел интегрирования обычно является конечным, а верхний — бесконечным. Это приводит к дополнительным трудностям в вопросах сходимости, которых можно избежать, рассматривая унитарное преобразование Кели оператора Л [c.198]

Укажем на одно свойство, имеющее непосредственное отно-щение к вопросам сходимости рядов Фурье. Пусть функция /(0) непрерывна, причем / (0)=/(2л), и имеет непрерывные производные вплоть до порядка V— 1, а производная порядка V удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда для коэффициентов ряда Фурье являются справедливыми следующие оценки [c.12]

Начиная с поля нулевого порядка, каждое поле более высокого порядка можно последовательно получить путем удовлетворения соответствующим граничным условиям на поверхности недефор-мированной сферы. Так как для осуществления этой программы развиты общие методы (разд. 3.2), задача может быть в принципе решена вплоть до любого порядка по е, но на практике, конечно, число алгебраических операций резко возрастает. Мы ограничимся поэтому вычислением только поправки первого порядка к закону Стокса. Более того, здесь не делается попытка обоснования предложенного метода возмущений. Вопросы сходимости также слишком сложны, чтобы быть исследованными здесь. [c.243]

Остановимся подробнее на вопросе сходимости итерационного процесса (5.16), Пользуясь ювестными теоремами линейной алгебры [5.2], можно показать, что существует невырожденная матрица Н, такая, что [c.95]

Истолкование рассмотренных выше итерационных процессов как процессов совместного решения основной оютемы уравнений с дополнительным уравнением позволяет рассматривать их с обшей точки зрения на метод Ньютона — Рафсона, которая подробно развивается во многих монографиях ([366,35,481,212] и др.). В них детально об< ждены вопросы сходимости ь№тода. Мы только отметим, что для сходимости итерационного процесса метода Ньютона — Рафсона начальное прибдижение обычно не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В построенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага t по параметру продолжения X. [c.40]

Во второй части, являющейся центральной, излагается собственно метод конечных элементов. Показана его связь.с методом Ритца (гл. 4), описаны некоторые конечные элементы сплошной среды (гл. 5), рассмотрены вопросы сходимости приближенного решения к точному (гл. 6). Для более глубокого понимания существа метода конечных элементов необходимо иметь хотя бы общую ориентировку в вопросах его сходимости. Именно такую ориентировку дает гл.6, не претендующая на математическую строгость, но содержащая зато доступное для инженера изложение этой темы. [c.7]

Рассмотрим вопросы сходимости рядов (6)— (10). Ввиду того, что эти ряды ыосят характер степенных, в случае гидродинамической задачи для внешности шара с радиусом Во ряды при п>0 сходятся всюду в области В > Во, если опи сходятся при В = Во. Таким образом, если с помощью представлений (6) —(10) оказывается возможным удовлетворить граничным условиям иа сфере В == Во, то указанные представления будут решениями уравнений Павье — Стокса везде в рассматриваемой области. Остается выяснить, существует ли ненулевой радиус сходимости рядов. Пусть Вп, Сп, Оп — интенсивности соответствующих мультиполей, причем Вп, Сп, Дп1<С /ге , а>1, 0<С<°о, а расход для простоты положим равным нулю. Случай с ненулевым расходом, когда присутствуют члены с 1н/ , монсет быть рассмотрен аналогичным образом. [c.292]

В [1-3] было показано, что проблемы математической совместности, унитарности, а также ряд вопросов динамического описания могут быть решены в НТП положительным образом. К числу оставшихся нерешенными относятся вопросы сходимости и макроскопической причинности (а также градиентной инвариантности в электродинамике). Как было показано еще Блохом [4], в НТП с жестким форм-фактором в вершинной части лагранжиана взаимодействия появляются специфические расходимости по углам псевдоевклидова пространства, связанные с нарушением правил обхода Фейнмана из-за акаузальности теории. Другими словами, расходимости связаны с большими значениями пространственных и временных компонент виртуальных импульсов при небольшой величине их четырехмерного квадрата. Анализ, основанный на сформулированной в [3 диаграммной технике, показывает, что форм-фактор устраняет лишь логарифмические расходимости локальной теории (в частности, расходимости собственной энергии фермиона, см. также [5]). Квадратично же расходившиеся матричные элементы остаются расходящимися и в НТП при этом дело не сводится к появлению бесконечной константы, а расходимость возникает лишь при определенных (пространственноподобных) импульсах диаграммы. Таким образом, рассматриваемый вариант НТП оказывается во всяком случае неприменимым к весьма актуальному случаю неперенормируемой теории. [c.143]

Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. VI, укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся. Теорема 2 сначала была доказана Рюссманом [228] для п= 2, а затем Веем [234] в многомерном случае. [c.127]

Мы не останавливаемся на рассмотрении вопросов сходимости. Метод в ряде случаев не утрачивает значения, когда описанный процесс—расходящийся. Свидетельством служит практика астрономических вычислений. См. Г- Н Дубошин, Ввел1ение в небесную механику, ОНТИ, 1938, стр. 256. [c.563]

Вопросы сходимости решений, получаемых методами Ритца и Галеркина, и оценок даваемых ими приближений рассматриваются в многочисленных работах и монографиях. См. книги Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, Гостехиздат, 1949 и С. Г. М и X л и н, Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950. [c.697]

Здесь коэффициенты у также могут быть последовательно вычислены как частные региения некоторых линейных систем диффе-эенциальных уравнений с постоянными коэффициентами и полиномиальными правыми частями. Вопрос сходимости или асимптотичности рядов (62) нетривиален. Для того чтобы доказать, что частная сумма эяда (62) является хорогиим приближением для инвариантной кривой частично нормализованного отображения, мы также должны применить абстрактную теорему о неявной функции, но в более сложном варианте, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.111]

В заключение отметим, что вопросы сходимости (точнее, расходимости) рядов Лпндштедта в ограниченной задаче трех тел изучены исчерпывающим образом Г. А. Мерманом [44]. [c.825]

При рассмотрении того или иного метода численного обращения необходимо кратко оговаривать вопросы сходимости последовательности приближенных решений к действительным распределениям. Как и ранее, не будем прибегать к излишнему формализму, который во многих случаях весьма тривиален, особенно если предполагать, что искомая функция so r) в операторном уравнении Ks=p и алгоритмически получаемая последовательность приближенных решений принадлежат одному и тому же компакту. Практически, однако, подобное предположение часто нарушается, в чем нетрудно убедиться на примере обратной задачи светорассеяния. [c.58]

На точность метода влияет величина выбранного шага интегрирования. Клифтон [20] на примере упругих волн показал, сколь значительно влияние на погрешность решения имеет выбор шага интегрирования. Если шаг интегрирования выбрать так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения, ошибка растет линейно. В случае нарушения этого условия ошибка растет чрезвычайно быстро. Для случая системы почти линейных уравнений вопросы сходимости решения и вопросы устойчивости метода не исследовались. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...