Гаусса квадратурная формула

Наиболее часто встречающийся в приложениях случай постоянного на конечном интервале 1а, Ь] веса приводит к известной квадратурной формуле Гаусса. Квадратурные формулы с таким весом имеют наилучшую точность для интегрирования функций, не имеющих особенностей на [а, Ь]. Для упрощения квадратурных формул линейным преобразованием независимой переменной интервал интегрирования [а, Ь] преобразуется в [—1, 1]. Ортогональную систему многочленов с постоянным весом-на [—1, 1 ] образуют многочлены Лежандра [339] [c.150]

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

Для вычисления интеграла в (35) воспользуемся квадратурной формулой Гаусса с весом xt [14] [c.173]

Анализ точности квадратурных методов содержится в [Л. 117]. Естественно, что чем больше выбрано фиксированных точек Mi(i=l,2,... п), тем точнее окончательный результат. Однако, как и в случае зонального метода, увеличение числа точек ведет к прогрессивному усложнению системы (8-81), что соответственно затрудняет ее решение. Преимуществом квадратурного метода по сравнению с зональным является отсутствие в нем коэффициентов облученности и коэффициентов распределения тепловых и оптических характеристик по зонам, для определения которых приходится затрачивать много времени и усилий. Наиболее трудным местом квадратурного метода является оптимальный выбор матрицы коэффициентов Сц для произвольных трехмерных излучающих систем. Коэффициенты Сц зависят от вида выбранной квадратурной формулы, оптико-геомет-рических особенностей исследуемой излучающей системы и расположения рассматриваемой Mi и текущей Mj точек. Достаточно простой матрица коэффициентов Сц оказывается для одномерных задач. В этом случае могут быть использованы классические квадратуры прямоугольников, трапеций, парабол, квадратура Гаусса и пр. [c.253]

Квадратурные формулы Гаусса — это формулы [c.138]

Для квадратурной формулы Гаусса справедлива оценка погрешности [Лд, (/)i < N b- [c.138]

В табл. 5.1 приведены значения узлов и весов а,- (1 [c.138]

Таблица 5.1, Узлы и веса квадратурных формул Гаусса

Таблица 5.1, Узлы и <a href="/info/371112">веса квадратурных</a> формул Гаусса

Выберем в точках интегрирования Гаусса вде q= ,...,n, п - порядок точности квадратурной формулы Гаусса. [c.236]

При вычислении одномерных интегралов удобно пользоваться квадратурными формулами Гаусса [c.271]

Значения аргументов и весовых коэффициентов V для квадратурных формул Гаусса [c.271]

Составим подпрограмму вычисления весовых коэффициентов и значений аргумента в точках интегрирования для квадратурной формулы Гаусса (П1.1), [c.272]

Первый интеграл имеет особую точку при г=Гт, и для его вычисления используется квадратурная формула Гаусса [c.168]

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА. Поставим теперь задачу по-другому. А именно значения функции будем вычислять не в априорно заданных точках, а так, чтобы достигалась наивысшая возможная для данного количества точек точность. Пол,ожив [c.230]

Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса. Пусть функция y=f %) задана на стандартном промежутке [—1, +1]- Общий случай легко свести к рассмотренному,с помощью линейной замены переменных. [c.231]

В табл. 3 приведены абсциссы и весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса для и=1, 2,. .., 8. На рис, 74 указаны точки интегрирования квадратуры Гаусса при и=2 и п = 3. Очевидно, применение формулы Гаусса [c.232]

Какая основная задача ставится при выводе квадратурной формулы Гаусса [c.236]

Этот интеграл вычисляется с помощью квадратурной формулы Гаусса [c.312]

Численное решение уравнения (11.48) получим с помощью квадратурных формул Гаусса. Для сингулярного интеграла имеем 1299] [c.53]

Обычная квадратурная формула Гаусса для функции (11.51) имеет вид (см., например, [981, с. 132). [c.53]

Применив к интегральным уравнениям (11.66) и условию (11.68) квадратурные формулы Гаусса — Чебышева (11.55) и (11.56), придем. к системе 2п — 1 алгебраических уравнений для определения 2п неизвестных и и (В/ ) (k = 1, 2,. .., п), где I,, даются соотношением (11.53). Чтобы получить замкнутую систему, прибавим сюда одно из уравнений [c.61]

Предложенная упрощенная схема численного решения интегральных уравнений (11.66) эффективна лишь в том случае, когда не требуется определять распределение напряжений в окрестности угловой точки. Если необходимо исследовать концентрацию напряжений вблизи точки излома треш,ины, то решение следует искать в виде (11.69), использовав при этом более сложные квадратурные формулы (например, формулы Гаусса — Якоби), верно отражаюш.ие особенности решения в угловой точке [420]. [c.62]

Графическое и численное интегрирование. Этот прием применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме или это связано с большим объемом работы. Численное интегрирование ведется по квадратурным формулам Ньюто-на Котеса (правило трапеций, правило Симпсона, правило Уэддля, формула Грегори), формулам Гаусса и Чебышева. [c.111]

Для решения системы интегральных уравнений принят метод коллокации [6] при помощи квадратурной формулы Гаусса по Чебы-шевским узлам интерполяции. Процесс вложенных итераций строится путем изменения столбца правых частей, процесс продолжается до требуемой точности. Удовлетворение условию т (х) fp (х) производится путем увеличения коэффициента контактной податливости в местах нарушения условия кулонова трения. [c.349]

Интегрирование по толщине оболочки при вычислении коэффициентов матриц Я, Р, Z, V проводим приближенно по 6-узловой, а по радиусу при вычислении коэффициентов систем Ритца — по 12-узловой квадратурным формулам Гаусса. [c.50]

Первый сингулярный интеграл в (1.10.13) имеет особенность типа Коши и вычисляется на каждом элементе численно или аналитически. При этом на элементах, где j, интеграл не имеет особенностей и интегрирование выполняется по восьмиузловой формуле Гаусса. На элементе, где г -> О (при i = j), интегралы вычисляются аналитически или численно по шестнадцатиузловой формуле Гаусса. На возможность вычисления интеграла типа Коши по квадратурной формуле Гаусса указано в работе [33]. [c.37]

Критическую нагрузку сжатой усеченной оболочки определяли с помощью программы, составленной на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Интегралы вычисляли по восьмиточечной квадратурной формуле Гаусса. [c.102]

При численной реализации подобных элементов, как правило, приходится прибегать к приближенному вычислению интегралов, вида (1.58), (1.64) посредством той или другой квадратурной формулы. Обычно используют квадратурную формулу Гаусса-Лежендра, дащую наивысшую точность для полинома при минимальном числе точек. В зтом случае задача сводится к необходимости вычисления потанциальной энергии деформации в некоторой системе точек и дальнейпаго их суммирования. [c.82]

Исключая из уравнения (2.2.80) и (2.2.82) величину силы Р, придем к соотношению, которое позволяет определить длину пластической зоны в зависимости от приложенной внш1ней нагрузки. После замены интегралов квадратурными формулами Гаусса и перехода к безразмерным переменным это уравнение будет иметь вид [c.105]

Здесь 0 ( ) непрерывна по Гельдеру на [—1, 1], причем функция 0 (т ) заменяется интерполяционным полиномом, построенным по чебы-шевским узлам. С помощью квадратурных формул Гаусса будем иметь [c.232]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

При составлении подпрограммы вычисления матрицы жесткости К используем подпрограмму численного нитегрировання KSIW1 (Приложение 1). Поскольку подынтегральные функции в (3.80) содержат полиномы, степени которых не выше четвертой, то достаточно применить квадратурную формулу Гаусса при п = 3. [c.155]

Для интегрирования по координате х выражений (3.99) удобно воспользоваться квадратурными формулами и подпрограммой KSIW1 (приложение 1). Поскольку подынтегральные выражения (3.99) содержат полиномы не выше третьей степени, то для получения точного результата по квадратурным формулам Гаусса достаточно взять две точки интегрирования. [c.168]

S — площадь треугольника n — число точек, в которых вычисляются значения подынтегральной функции Xh, Ук — значения переменных х, у л k-й точке Гаусса Wk — весовой коэффициент квадратурной формулы (П1.2) X(i), У(п — координаты х, у, t-й вершины треугольника (i=l, 2, 3). Нумерация вершин треугольника проводитой против часовой стрелки. В табл. П1.2 [c.273]

Для численного интегрирования величины [L] [В] det [/] при Построении матрицы жесткостг по алгоритму, блок-схема которого приведена на рис. 92, применялась квадратурная формула Гаусса—Лежандра, причем по обеим переменным использовалась трехточечная схема, обеспечивающая получение точных результатов для полиномов для пятого порядка включительно (рис. 93). [c.290]

В [9] предполагается лигаь, что индикатриса представлена в виде ряда Фурье по азимутальному углу. Приближенная формула для члена рассеяния в инте-гродифференциальном уравнении, которому удовлетворяет нулевая азимутальная гармоника интенсивности, строится с использованием квадратурных формул Мелера-Чебыгаева и Гаусса. [c.772]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...