Формула квадратурные

Показатель степени шага h в оценке погрешности называют порядком точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности для функций, имеющих вторую производную, т. е. R = О (Л ). Заметим, что порядок точности обеих формул одинаков, хотя в одной использована интерполяция линейными функциями, а в другой — кусочно-постоянными. [c.62]

Используя квадратурную формулу Симпсона, вычислим значение интеграла, разбивая пластину в каждом направлении на шесть равных частей. В результате найдем приближенное значение предельной нагрузки пред = 9,26 которое является оценкой несущей спо- [c.340]

Однако, даже если условия разрешимости тем или иным образом установлены, численная реализация метода последовательных приближений оказывается, вообще говоря, связанной с некоторыми трудностями. Дело в том, что погрешность реализации (погрешность квадратурных формул), как правило, ведет к нарушению условия (2.25) и дополнительных условий (2.25 ). Устранить вызванную этим явлением неустойчивость (вернее, расходимость) было бы очень просто, если бы наряду с собственными функциями союзного уравнения были бы известны собственные функции исходного уравнения. Тогда надо просто перейти к уравнению (2.24) и решать его, не пренебрегая малыми добавками, которые будут вноситься слагаемыми Ф (л ) ф ( ). Строго говоря, эти добавки равны нулю, но из-за погрешности квадратурных формул они будут отличны от нуля и приводить к сходящемуся процессу. Переход за счет тех или иных слагаемых к уравнениям, не расположенным на спектре и эквивалентным исходным, при условии (2.10) может осуществляться с помощью других искусственных приемов. [c.46]

Введение процесса ортогонального проектирования (осуществляемого формулами (2.32 )) приводит к тому, что в рамках используемых квадратурных формул все итерации фя, а следовательно, и само рещение ф будут удовлетворять условиям [c.46]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Эта формула справедлива, когда /г = а + р, равно 1, 0 или — 1. Имеются и другие квадратурные формулы, построенные на иной основе. Сказанное выше позволяет так или иначе получить систему алгебраических уравнений для коэффициентов ряда. [c.57]

Коэффициенты квадратурной формулы имеют вид Ло=Лг = = (Ь—а)/6, Ai = 4(b—а)/6. Таким образом, [c.10]

Для построения дивергентных схем можно использовать интегральные соотношения (законы сохранения). Интегральные соотношения записываются по контуру, составляемому из отрезков, которые соединяют узлы сетки. Аппроксимируя интегралы но отрезкам с помощью тех или иных квадратурных формул, получаем сеточные уравнения. Подбирая соответствующим образом схемы и параметры, управляющие диссипацией, удается сократить ширину переходной зоны до 3—5 расчетных интервалов при достаточно высокой точности расчета (погрешность порядка 1%). [c.159]

При практическом вычислении интеграла (6.1.1) с использованием экспериментально полученной функции y t) следует пользоваться какой-нибудь квадратурной формулой. Общий вид квадратурной формулы для вычисления интеграла от некоторой функции f t) следующий () dt = Aif ti), где Л, —коэффициен- [c.266]

В некоторых случаях появляется необходимость сократить число узлов квадратурной формулы. Например, если определение значений выходной кривой y ti) требует трудоемкого и длительного эксперимента или если определение значений теоретической кривой A(ai, ап) (О требует большого объема сложных вычислений, то использование квадратурных формул с большим числом узлов нецелесообразно. В этом случае следует применять формулы наивысшей алгебраической степени точности, в которых коэффициенты Ai и узлы ti определяются по специальным таблицам [14]. Применение формул наивысшей степени точности позволяет значительно сократить число узлов. Заметим, что вопрос о выборе квадратурной формулы должен быть решен до проведения опыта с тем, чтобы измерять значения y(i) в узлах квадратурной формулы. После того как выбрана квадратурная формула, проводят опыт и решают задачу определения минимума функции Ф(аь. .., a,i). Описание методов минимизации функций выходит за рамки данной книги достаточно подробно эти методы изложены в работе [15]. [c.266]

Удельная поверхность насадки 13, 14 Узлы квадратурной формулы 266 Универсальная газовая постоянная 35 Уравнение(я) [c.303]

В последнее время в связи с внедрением в расчеты вычислительной техники вычисление интегралов Мора часто производят с помощью квадратурных формул численного анализа — общих формул вычисления определенных интегралов. [c.101]

Особенно удобна для этого формула Симпсона — одна из самых распространенных квадратурных формул, которая известна студентам еще из курса математики. [c.101]

Здесь оценки производной вычисляются 4 раза в точке х , дважды Б точке Xj + Ах/2 и в точке x +i, а для вычисления интеграла используется квадратурная формула Симпсона. [c.33]

Эти расчеты проводят по так называемым квадратурным формулам, в которые входят значения подынтегральной функции f (х) в конечном числе узлов, расположенных на отрезке [а, Ь]. [c.58]

Простейшая из квадратурных формул — формула прямоугольников. При ее построении отрезок интегрирования [а, Ь] разбивается на N элементарных интервалов [xi, t = 1,. .., N, х =--= a, xn+1 = b, и на каждом из них функция f (х) заменяется постоянным значением (рис. 2.8) [c.58]

Задача построения квадратурной формулы состоит в выборе расположения узлов Xi и значений весовых коэффициентов С . Довольно часто функция f (х) бывает задана в табличном виде и поэтому узлы Xi оказываются фиксированными. [c.59]

Перейдем к рассмотрению наиболее употребительных квадратурных формул. [c.60]

Увеличивая число узлов т в интервалах разбиения й применяя для интерполяции подынтегральной функции полиномы более высоких степеней, можно получить еще ряд других квадратурных формул. Однако на практике они применяются редко. [c.61]

Теперь рассмотрим случай, когда узлы Xi не фиксированы, и таким образом в квадратурной формуле (2.22) можно выбирать не только весовые коэффициенты i, но и расположение узлов Xi, в которых вычисляется подынтегральная функция. Использование этих дополнительных степеней свободы позволяет повысить точность квадратурных формул. [c.61]

Формулы Гаусса. Если на отрезке интегрирования в качестве искомых параметров квадратурной формулы рассматривать (7V + 1) коэффициенте,- и (jV + 1) узел Xi, то получим 2N + 2) неизвестных. Эти параметры можно выбрать так, чтобы квадратурная формула была точна для любого многочлена степени не выше (2N + 1). Решение такой задачи известно расположение узлов J вычисляется с по-мощ,ью корней полиномов Лежандра. Узлы х, и весовые коэффициенты i для различных N приведены в [2]. Построенные таким образом квадратурные формулы называют формулами Гаусса или формулами наивысшей алгебраической точности. Для гладких функций эти формулы дают очень высокую точность. [c.61]

Оценка погрешности численного интегрирования. Различают два вида оценок априорные и апостериорные. Априорную оценку получают заранее, до проведения расчетов, на основе теоретического анализа квадратурной формулы. Апостериорную оценку определяют после вычислений на основе сопоставления результатов расчетов, проведенных при разных числах отрезков разбиения. [c.61]

Априорную оценку погрешности квадратурных формул проводят путем анализа их остаточных членов [c.61]

В некоторых случаях вопрос выбора квадратурной формулы и [c.63]

Здесь (5/ — ошибка аппроксимации квадратурной формулы. Квадратурная формула (1.27) при выборе коффициентов в виде [c.160]

Графическое и численное интегрирование. Этот прием применяется в тех случаях, когда функцию нельзя проинтегрировать в аналитической форме или это связано с большим объемом работы. Численное интегрирование ведется по квадратурным формулам Ньюто-на Котеса (правило трапеций, правило Симпсона, правило Уэддля, формула Грегори), формулам Гаусса и Чебышева. [c.111]

Заметим, что в постановке приближенЕюй задачи (4.172) содержится предположение о том, что формы а и, о) и (/, о) на элементах из У ft вычисляются точно, т. е. здесь игнорируется ошибка, возникающая при использовании квадратурных (кубатурных) формул и из-за ограниченности разрядной сетки ЭВМ. (Исследование влияния данного типа ошибок выходит за рамки настоящего пособия.) [c.192]

Одно из возможных обобщений наложенной методики состоит в использовании более точных — по сравнению с (5.155) — квадратурных формул, например формулы трапеций (для простоты Aii - Дт = onst) [c.248]

Опишем еще один способ численного решения интегральных уравнени Фредгольма. Очевидно, что входящий в (2.1) интеграл можно приближенно заменить конечной суммой, если воспользоваться той или иной квадратурной формулой. Разобьем отрезок [а,Ь] на п частей точками а = хо, ац, х ,. .., Хп-, Хп = Ь. Тогда интеграл в (2.1) можно представить, например, в виде [c.47]

Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74]

Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382]

Легко показать, что равенство нулю второго слагаемого есть условие равенства нулю главного вектор-момента внешних сил (подробно об этом сказано далее). Сделаем одно общее замечание. При непосредственном вычислении интеграла требуемое условие может оказаться нарушенным из-за погрешности квадратурной формулы, что, вообще говоря, может привести к неразре-щимости уравнения (4.45). Естественно, что мнимая часть справа должна оказаться малой величиной и ею следует пренебречь. [c.398]

В процессе решения задачи находят относительную погрешность массы бт, относительное содержание массы в центральном интервале Ьша , относительную погрешность энергии бе, относительное содержание кинетической и потенциальной энергии ieog, в центральном интервале. При вычислении интегралов используют квадратурную формулу Симпсона. Величины косвенно характеризуют возможную погрешность методики, связанную с приближенным представлением решения в Со. Оценка точности результатов проводится также с помощью вариаций шагов пространственной сетки и расчетов с разными числами Куранта и разными значениями параметров сглаживания. [c.111]

Введем импульсно в аппарат вместе с входным потоком жидкости некоторое количество индикатора, причем количество введенного индикатора необязательно должно быть известно. Измерим концентрацию 0вых(О индикатора на выходе из аппарата и вычислим по каким-либо квадратурным формулам моменты [c.291]

Порядок точности разностной схемы можно повысить, если использовать более сложные квадратурные формулы, в которых производная / (т, Г) вычисляется не в одной, а в нескольких точках отрезка Itj, Tj+,1. При таком подходе возникает задача определения приближений / и соответственно решения и в этих промежуточных точках. Эти приближения вычисляются последовательно по мере продвижения по отрезку [Tj, Tj+,] от точки Tj к точке Tj+i. Так как при этом согласно (1.29) функция/(т, Т) равна производной от решения Т (т), то приближения для решения и строятся на основе оценок значений его производной — значений функции / (т, и). Поэтому в окончательных формулах приближение для / (т. Г) в определенной точке выражается через приближения / (т, Т) в предыду1цих точках, см. ниже формулы (1.47), (1.48). [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...