Фундаментальная система решений линейных уравнений

Пусть У(, уз — фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения [c.221]

Пусть 3 ], — фундаментальная система решений линейного однородного дг >ференциального уравнения [c.221]

Предположим, что известны фундаментальные системы решений (7/у(х) (/==1, т) обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [c.96]

Фундаментальная система решений системы линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. ДАН СССР 71, № 3 (1950), 433—436. [c.645]

Из теоремы п. 3.2 следует, что пространство решений уравнения х = Ах, хвУ, линейно и изоморфно У. Базис в этом пространстве называется фундаментальной системой решений Переход от уравнения [c.24]

Теорема ([56]). Пусть росток голоморфной вектор-функции <р голоморфно продолжается на универсальную накрывающую над сферой Римана с выколотыми точками. .., От, и определитель Вронского продолженной вектор-функции (обозначаемой также ф) нигде не обращается в нуль. Пусть росток ф задает группу монодромии при продолжении над каждой петлей, принадлежащей проколотой сфере Римана, линейное пространство, порожденное компонентами ростка, испытывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регулярно когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внутри некоторого сектора с вершиной а, модуль ф(0 растет не быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана. Тогда существует уравнение класса Фукса, -для которого ф — росток фундаментальной системы решений. [c.131]

Если а/ > 1, то фундаментальная система решений может быть составлена из решений невязких уравнений VIу, Т ] = аФ, 01 и двух линейно независимых вязких решений вихревых (К] , Г, = /3, афз, 3 и тепловых Ухх, У[у, Т1 = /5, ф5, 5 [6, 9], где использованы общепринятые обозначения. [c.84]

Определение фундаментальной матрицы решений К(е) методом итераций (методом Пикара). Общее решение системы линейных неоднородных уравнений имеет вид (2.6) Y(e) =К(е) +Yi(е), где матрица К.(е) удовлетворяет однородному уравнению [c.72]

Если У1,У2<---<Уп суть частные решения однородного уравнения, то и функция у — = С У + + С уп будет его решением, причём j,..., — произвольные постоянные. При 1,..., — линейно независимых функция j = С, V) + С у представляет общее решение уравнения. Система решений ",, называется в этом случае фундаментальной. Зная общее решение, всегда можно определить постоянные j,..., так, чтобы полученное частное решение удовлетворяло начальным условиям [c.229]

Система уравнений (2.77) и (2.84) решается методом последовательных приближений (см. с. 50). В каждом линейном приближении фундаментальные функции-решения обозначим Ф. [c.47]

Для реализации метода граничных элементов необходима матрица фундаментальных решений исходной системы уравнений. В линейных задачах теории упругости и теории пластин фундаментальные решения имеют простой вид, и поэтому метод здесь получил широкое распространение. Для пологих оболочек матрица фундаментальных решений определяется сложными громоздкими выражениями, а для пологой сферической оболочки выражается через специальные функции. Поэтому исследований по решению задач теории пологих оболочек методом граничных элементов мало. В связи с этим актуальной темой исследования является разработка методов граничных интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанных на применении фундаментальных решений, которые определяются простыми аналитическими выражениями. [c.4]

Если этот вектор подается обратно на вход системы в качестве нового значения x( -f-l) для выполнения k итерации, то итерационная процедура оказывается выполненной полностью и ее результатом в установившемся состоянии будет вектор х = А Х ХЬ, который является решением системы линейных уравнений вида А-х = Ь. Решение этой системы является фундаментальной проблемой, возникающей в большинстве задач обработки информации, в особенности при их численном решении. [c.301]

Для интегрирования системы линейных уравнений (12.90 ), 1де й=1, 2,. .., нужно прежде всего, как хорошо известно, найти фундаментальную систему решений соответствующих однородных уравнений, которые получаются нз системы (12.90 ) заменой всех правых частей нулями. [c.631]

Пространство решений уравнения (6), определенных на общем интервале непрерывности коэффициентов, линейно и п-мерно. Базис в этом пространстве называется фундаментальной системой реш.ений. [c.27]

В резонансном случае выражение для фундаментальной матрицы решений сложнее, но формальная нормальная форма, линейной системы с регулярной особой точкой всегда интегрируется. На этом основан метод Фробениуса, позволяющий интегрировать уравнение (5) с регулярной особой точкой с помощью рядов [37], независимо от наличия резонансов. [c.126]

Фундаментальная матрица Коши и матрица перехода. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений (3) с периодической матрицей коэффициентов С (i). Совокупность N = 2/г независимых решений системы (3) образует фундаментальною матрицу [c.117]

Решение сформулированной задачи Коши не вызывает затруднений. Вначале заметим, что фундаментальной матрицей Ф(х х , z) [150] линейной однородной системы дифференциальных уравнений [c.43]

Линейность системы дифференциальных уравнений (4.4.14) и независимость ее коэффициентов от переменной интегрирования <р позволяют установить аналитическое представление се общего решения. Требуемое для этого частное решение неоднородной системы (4.4.14) эффективно вычисляется методом неопределенных коэффициентов, а вычисление фундаментальной матрицы [150] соответствующей однородной системы [c.120]

Чтобы распространить теперь изложенные представления на задачи, отличные от задач для уравнения Лапласа, заметим, что в предыдущем изложении мы опирались на (а) линейность и эллиптичность уравнения Лапласа (б) существование фундаментального решения 1/г, подстановка которого совместно с функцией ф во вторую формулу Грина (в) приводила к основному тождеству (3). Таким образом, естественно рассматривать задачи, которые описываются линейной эллиптической системой дифференциальных уравнений [c.15]

Нормальные фундаментальные решения системы линейных Дифференциальных уравнений эллиптического типа. ДАН СССР 78, № 5 (1951), 865—867. [c.645]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Построение матриц жесткости кольцевых элементов. Матрицу жесткости отдельного кольцевого элемента, деформирование которого описывается системой дифференциальных уравнений (4.9), можно получить с использованием матрицы фундаментальных решений [1]. В силу линейности исходной задачи компоненты вектора состояния (обобщенные перемещения Хп и внутренние силовые факторы Х.п) в сечении а—Оа можно связать с компонентами вектора состояния в сечении а— 1 следующим образом [c.379]

Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид Xi t) = Ф (i) exp(Aii), где Фi(i) — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты exp(Aii) называют ляпунов-скими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а Ф ( ) — функциями Флоке. [c.219]

Пусть матрица четвертого порядка Ш(5) является фундаментальной матрицей канонической системы (2.16), рассматриваемой на к-й стороне при й 1 й, к = 1, 2,. .., Ы, т. е. столбцы ее представляют линейно независимые решения системы уравнений (2.16). [c.274]

Фрикционные колебания 106, 131—136 Фроуда маятник 131—136 Фундаментальная система решений линейных уравнений 246 Функция Дирака см. Дирака функция [c.298]

Совокупность п решений линейного однородного уравнения п-го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке (а, Ь), называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка у" + х)1 + а (х)у = а фундаментальная система систоит из двух линейно независимых его решений yj (х) и y ix), его общее решение находится по ( юрмуле у = с у (л ) + + (х). Если для такого уравнения известно одно частное решение у (х), то второе его peujenne, линейно независимое от первого, можно найти по формуле [c.50]

Область фундаментальных систем и бифуркационное тожество. Рассмотрим функциональное пространство наборов [3 п вещественных функций на вещественной прямой. Наборы,, вляющиеся фундаментальными системами решений линейных, быкновенных дифференциальных уравнений, образуют область Ьундаментальных систем. [c.143]

Среды с непрерывно<лоистой стратификацией скорости звука, плотности и скорости течения, допускающие точные решения. До сих пор в этом параграфе мы рассматривали неподвижные среды с постоянной плотностью. Теперь мы откажемся от этого ограничения и будем задавать плотность функцией р = р г) и скоростью течения функцией Уо = Уо( ). Вьпие была достаточно подробно проиллюстрирована схема нахождения коэффициента отражения по известной фундаментальной системе решений дифференциального уравнения, которому подчиняется вертикальная зависимость звукового поля. Поэтому теперь для решаемых профилей мы будем ограничиваться указанием соответствующих линейно-независимых решений, не выписьшая формулы для коэффициентов отражения. [c.81]

Метод вариации произвольных тхто-янных есть общий метод, пригодньш для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения н-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего неоднородного уравнения. Пусть фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения будет у , у2,. .., у а- Частное решение однородного уравнения U (х) ищем в виде U (х) = = l(-V)l/l + 2(x)i/2+--.-l- (х)1/ . Функции [c.50]

Формулы (7.4) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между векторами г из и из Ф°. Поскольку соотношения (7.4) линейны, то при этом соответствии сохраняются линейные операции. Отсюда следует, что пространства и Ф° изоморфны. Итак, пространство Ф° решений однородной системы 5 уравнений равновесия (7.1) с р неизвестными и с рангом Со=5< изоморфно пространству Фр .5. Изоморфизм пространств Фр г и Ф позволяет заключить, что размерность пространства Ф° равна р—5. Любая система—5 линейно-незавпси-мых решений (7.1) является базисом в пространстве Ф° и называется фундаментальной системой решений. На основании изоморфизма пространств и Ф любой базис пространства Фр г переходит в соответствующий базис [c.149]

Сходимость решения любой системы уравнений в первую очередь определяется соотношением коэффициентов диагонального и др. [24]. Специальный прием формирования фундаментальных хщклов, позволяющий разместить неизвестные с наибольшими коэффициентами на диагонали матрицы инццценций В В , улучшает сходимость вычислений по первому и третьему методам примерно в 2 раза. Для второго метода система фундаментальных циклов может быть сформирована на каждой итерации ньютоновского процесса, т.е. перед решением линейной системы (3.5). В отличие от (3.7) дерево минимальной длины строится для произведений [c.91]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

Если имеется одна зависимая переменная, которая определяется линейным дифференциальным уравнением и-го порядка, то, как известно, если фундаментальное уравнение имеет кратные корни, в решение входят члены, которые умножаются на независимую переменную и в силу этого неограниченно возрастают. Наоборот, если дана система совместных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то двойному корню фундаментального уравнения не всегда соответствует такой член, который пропорционален независимой переменной (Зеелигер доказал, что для случая, когда число планет равно [c.313]

Пусть дня некоторой функции g(v) известна фундаментальная система рещений уравнения (3.7), т.е. какая-либо пара его линейно независимых рещений. Выясним, для каких законов изменения скорости звука (z) рещения уравнения (3.3) можно выразить через решения уравнения (3.7) при помощи преобразования зависимой и независимой переменных в ис> ходном уравнении [c.49]

При численной реализации процедур заполнения матрицы фундаментальных решений в ряде случаев (например, для моментных оболочечных элементов или балочных на упругом основании) участки выбирают достаточно короткими, если не применяют приемы ортогон а лизацни [7, 15, 21]. Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных уравнений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке интегрирования, если не применяются специальные приемы, векторы решений в ш при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или будут вычисляться недостаточно точно. По этой причине метод начальных параметров, который часто используется при расчете стержней, для моментных оболочек применяется редко. Длину участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные значения матрицы разрешающей системы А. [c.33]

В современной теории дифференциальных уравнений фундаментальные решения рассматриваются как линейные непрерывные функционалы, определенные на некотором множестве основных функций и удовлетворяюш.ие неоднородному дифференциальному уравнению с правой частью, равной функции Дирака. Такая точка зрения позволяет применить к рассматриваемому уравнению преобразование Фурье и привести построение преобразования Фурье от фундаментального решения к алгебраической задаче (к решению системы алгебраических уравнений), которая в случае дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами разрешима всегда (см. Hormander [1]) после этого обратное преобразование Фурье восстанавливает искомое фундаментальное решение. [c.83]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

До1 устим, что мы сумели проинтегрировать систему (26). Из теории линейных диференциальных уравнений нам известно, что система (26) всегда имеет п независимых частных решений, образук) Цих фундаментальную систему. Пусть чти частные решения будут [c.456]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...