Группа монодромии

Группы монодромии гамильтоновых систем [c.357]

Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами [c.357]

Оказывается, множество матриц О = Ту , отвечающих всевозможным замкнутым путям у на. X, образует группу по умножению. Эта группа называется группой монодромии линейной системы (5.3). [c.358]

Отметим, что на самом деле матрицы Т еО зависят от выбора точки 0 так что группу монодромии следовало бы обозначать С 1о). Однако при всех значениях X группы С( о) изоморфны. [c.358]

Пусть E t) — решение матричного уравнения S = A t)E с начальным условием H(io) = Е. Продолжим аналитически функцию 5i(i) в окрестность точки to вдоль пути Л, соединяющего точки to и ti. Положим Л = S(ii). Пусть 7 = A i7A — путь с началом в точке ti и Ту—соответствующая матрица из группы G ti). Нетрудно проверить, что Ту = ЛТ Л 1, где Ту G G to) (ср. с 8 гл. IV). Это соотношение устанавливает изоморфизм групп G to) и G ti). В частности, спектр матриц из группы монодромии G t) не меняется при варьировании t X. [c.359]

В 8 гл. IV рассматривались вещественные системы, у которых X совпадает с обычной окружностью Tri X) — бесконечная циклическая группа, а группа монодромии состоит из целочисленных степеней матрицы монодромии соответствующего периодического решения. [c.359]

Рассмотрим вектор-функцию щ Ь) = у го ь)). Она голоморфна на римановой поверхности X и удовлетворяет уравнению в вариациях (5.3). Следовательно, Тщ Ь) = щ Ь), где Т — любая матрица из группы монодромии Таким образом, если v o) ф О, то хотя бы одно собственное значение матрицы Т равно единице. [c.360]

Наличие у всех матриц из группы монодромии собственного значения, равного единице, создает затруднения технического характера при решении задач об интегралах и группах симметрий. Поэтому полезно понизить число независимых переменных в уравнениях (5.3). С этой целью в окрестности комплексной кривой Г = z = zo(i), t е X введем координаты i,..., п-ь п так, чтобы координатные линии переменных. .., n-i были трансверсальны Г, а кривая Г локально задавалась уравнениями =. .. = = = 0. Линеаризуя исходные дифференциальные уравнения [c.360]

Пусть Г — интеграл уравнений (5.1), голоморфный в окрестности комплексной кривой Г. Разложим эту функцию в ряд по степеням переменных 1,..., -1 его коэффициенты — голоморфные функции от I е X. Ясно, что первая нетривиальная однородная форма этого ряда является интегралом приведенной линейной системы уравнений в вариациях. Следовательно, найдется однородная форма от 71 — 1 переменных, инвариантная относительно действия приведенной группы монодромии. [c.361]

Пусть Т — некоторая матрица из приведенной группы монодромии, имеющая тг — 1 различное собственное направление, В подходящих координатах преобразование монодромии —у принимает вид (5.7). Положим и = аи = т. После обхода соответствующей замкнутой кривой на X j-я компонента поля и станет равной [c.362]

Предложение 2. Если имеется поле симметрий системы уравнений (5.1) с голоморфными коэффициентами, независимое с полем V, то собственные значения любой матрицы из приведенной группы монодромии удовлетворяют соотношению вида (5.14). [c.363]

Теорема 1 [64]. Предположим, что приведенная группа монодромии частного решения го(-) гамильтоновой системы [c.365]

Найдем собственные значения отображения из группы монодромии, порожденного обходом вокруг полюса функции f. Пусть (для простоты записи) полюсом является точка = 0. Ряд Лорана [c.366]

Группа монодромии голоморфного слоения состоит из ростков голоморфных отображений (в смысле естественной комплексной структуры на локальной трансверсали, то есть на локальном многообразии листов). [c.103]

Теорема Римана—Фукса. Решения уравненнй класса Фукса продолжаются на универсальную накрывающую над комплексной осью t с выколотыми полюсами коэффициентов,, задают группу монодромии и регулярны (растут не быстрее некоторой степени расстояния до особой точки в любом секторе с вершиной в этой точке). Оказывается, эти свойства присущи, только решениям уравнений класса Фукса. [c.131]

Теорема ([56]). Пусть росток голоморфной вектор-функции <р голоморфно продолжается на универсальную накрывающую над сферой Римана с выколотыми точками. .., От, и определитель Вронского продолженной вектор-функции (обозначаемой также ф) нигде не обращается в нуль. Пусть росток ф задает группу монодромии при продолжении над каждой петлей, принадлежащей проколотой сфере Римана, линейное пространство, порожденное компонентами ростка, испытывает линейный автоморфизм. Пусть это продолжение регулярно когда t стремится к выколотой точке а, оставаясь внутри некоторого сектора с вершиной а, модуль ф(0 растет не быстрее некоторой степени расстояния до а на сфере Римана. Тогда существует уравнение класса Фукса, -для которого ф — росток фундаментальной системы решений. [c.131]

Краевая задача (2.IS) впервые была сформулирована в 1857 г. Б.Ринаном в связи с задачей отыскания дифференциального уравнения, интегралы которого при обходе особых точек претерпевают заданную линейную подставовку (уравнение с заданной группой монодромии). [c.23]

Здесь FjTj — однородная форма переменных однозначная на римановой поверхности X частного решения zo t), причем Fo t) = = f zo) = onst. Ряд (5.4) — интеграл уравнений (5.2). Очевидно, что первая ненулевая форма Г пг 1) является интегралом линейных уравнений в вариациях (5.3). Так как функция jF постоянна на решениях (5.3), то при каждом to X однородная форма Fm( , to) инвариантна относительно действия группы монодромии Fm(T ,io) = Fm h), Т е G. Это свойство налагает жесткие ограничения на вид первых интегралов если группа G достаточно [c.359]

Предложение 1. Если уравнения (5.1) допускают непостоянный голоморфный интеграл, то собственные значения Л1,..., Лп 1 каждой матрицы из приведенной группы монодромии удовлетворяют соотношению вида [c.361]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Группы монодромии гамильтоновых систеж [c.365]

Среди собственных значений Г имеется число Х = А — 1. Соответствующее уравнение системы (5,25) имеет частное решение = = Ф, однозначное на римановой поверхности (5,24), Поэтому первые п-1 уравнений (5,25) составляют приведенную систему уравнений в вариациях. Матрицы из приведенной группы монодромии имеют вид Т = с11ад[Т(А1),,,,, Т(А 1)], где Т(А,) — (2х2)-матрицы с единичным определителем. Уравнения (5.25) преобразуются в гипергеометрическое уравнение Гаусса, которое позволяет вычислить матрицы Т(А,), [c.369]

В работе X. Иошиды [237] предложены некоторые общие соображения для исследования интегрируемости обратимых систем с неоднородными потенциалами. Они основаны на изучении группы монодромии при /1— 0 или /I — оо, где к — постоянная интеграла энергии, В качестве приложения рассмотрена задача о наличии дополнительного интеграла системы с гамильтонианом [c.370]

Гамильтоново векторное поле 20, 22 Геодезически выпуклая область 142 Геодезический поток 150 Г простат 42 Группа монодромии 358 -- приведенная 360 [c.427]

Возникающее представление фундаментальной группы листа в группу ростков диффеоморфизмов трансверсали называется группой монодромии (или группой голономии) слоения. [c.103]

При продолжении решений над петлей, не проходящей через полюса коэффициентов, пространство ростков решений в начальной точке петли переходит в себя. Этот автоморфизм линеен и называется преобразованием монодромии. Последова/-тельному обходу петель соответствует произведение преобразований монодромии. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы области голоморфности коэффициентов в подгруппу группы ОЬ(/1, С). Этот гомоморфизм называется монодромией уравнения или системы оператор, соответствующий петле зависит только от гомотопического класса петли и обозначается Г,,. Образ гомоморфизма называют группой монодромии. [c.130]

Аналитические функции от матриц. И. А. Лаппо-Дани-левскнй применил к вычислению групп монодромии линейных дифференциальных уравнений и к восстановлению уравнения по группе монодромии теорию аналитических функций от матриц. [c.132]

Исследования Лаппо—Данилевского относятся в основном к фуксовым системам. Рассмотрим систему (8). Фиксируем петли Yl. ч Ym с общим началом, каждая из которых обходит (одащ раз) ровно один полюс коэффициентов. Соответствующие матрицы монодромии Tj—Tyy порождают всю группу монодромии системы (8). При фиксированных полюсах Оу матрицы монодромна зависят только от матриц-вычетов Aj. [c.132]

Связь с теорией клейновых групп. Пространство рост- ков мероморфных и голоморфных решений уравнения Риккати в точке, отличной от полюса коэффициентов и от бесконечности, изоморфно СР. При продолжении над петлей, обходящей полюса коэффициентов, это пространство переходит в себя и испытывает дробно-линейное преобразование. Группа всех так построенных преобразований называется группой монодромии уравнения Риккати. Рассмотрим дифференциальное уравнение класса Фукса порядка 2. Группа монодромии этого уравнения— подгруппа группы GL(2, С). Отобразим фазовое пространство С на СР (Zi, Z2) - (21 22). Исходное уравнение перейдет в уравнение Риккати, его группа монодромии превратится в группу монодромии уравнения Риккати. Группа, состоящая из дробно-линейных преобразований СР - -СР, назы- [c.132]

Теорема Хованского ([35], [68]). Если группа монодромии фуксовой системы обладает разрешимым нормальным делителем конечного индекса, то эта система интегрируется квадратурах. Если группа монодромии этим свойством не обладает, то система не интегрируется даже в обобщенных квадратурах . Это значит, что общее решение системы ие выражается через коэффициенты с помощью рещения алгебраических уравнений, интегрирования - и -сулерпозиций. с целыми функциями любого числа переменных. [c.133]

Группа монодромии уравнейия Гаусса. Группа-монодро-цъя. гипер геометрического уравнения с вещественными а, , 7 связана с треугольником, ограниченным дугами окруждостей с углами лЛ, л(А, —V) — ) v =(q— ) [c.134]

Предположим, что Х (0, 1), р, (0, 1), v (0, 1). rpynriai порожденная отражениями относительно сторон треугольника, содержит подгруппу индекса 2, состоящую из дробно линейных преобразований обозначим ее G. Стандартное проектирование переводит группу монодромии гипер геометрического уравнения, удовлетворяющего предыдущим ограничениям, а группу G. Если сумма Л+jx+y Мёньщ 1 (равнХ 1, бр [c.134]

Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и заданной группой монодромии . В этом состоит 21-я проблема Гильберта [53]. Она допускает различные обобщения. [c.134]

B. Фуксовой системы z=llA t—имеющих любой наперед заданный набор особых точек и заданную группу монодромии. [c.135]

Проблема В, важная для приложений [57], до сих пор не решена, вопреки многочисленным утверждениям, распространенным в литературе ([41], [57], [103, 85]). Ниже намечено решение проблемы Б, основанное на идеях Биркгофа и Рёрля (Н. К6Ьг1) (оно, очевидно, влечет решение проблемы А), а также яроблемы В при дополнительных ограничениях на группу монодромии (см. [65 58], [78]). [c.135]

Проблема Римана—Гильберта для круга. Если в предыдущих проблемах сферу заменить на круг, то они решаются следующим образом. Строится матричная функция на универсальной накрывающей над кругом с выколотыми особыми точками, имеющая заданную группу монодромии и регулярные особые точки. Затем проверяется, что она удовлетворяет фуксовой системе уравнений. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...