Устойчивость линейной системы

Критерий Найквиста устойчивости линейной системы [c.290]

Для устойчивости линейной системы необходимо, чтобы все корни этого уравнения лежали в левой полуплоскости. Тогда и их сумма, и сумма тройных произведений (равная коэффициенту при Я с обратным знаком) должны быть неположительны. Последняя, однако, равна — 2с/С>0, что и доказывает неустойчивость. [c.37]

Устойчивость линейной системы. Разыскивая решение уравнений (18.146) в виде [c.432]

Динамические системы с замкнутой цепью передачи воздействий, образованные из устойчивых элементов, могут находиться а неустойчивом состоянии, (Постановку задачи исследования устойчивости по Ляпунову см, п. 4.4.4 кн. 1 данной серии.) Устойчивость линейной системы определяется [c.449]

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все действительные корни (6.13) были отрицательны, а сопряженные комплексные имели отрицательную действительную часть [511. Если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, система называется нейтральной. Система находится на границе устойчивости, если среди корней (6.13) имеется сопряженная пара мнимых корней. Для исследования устойчивости не требуется вычислять корни (6.13), а достаточно [c.449]

В ЭТОМ случае на выходе устойчивой линейной системы получим вынужденные синусоидальные колебания той же частоты, но отличающиеся от колебаний воздействия амплитудой и сдвигом по фазе [c.49]

В соответствии со значением передаточной функции по управляющему воздействию (45) уравнение свободного движения, определяющее устойчивость линейной системы, записывается в следующем виде [c.25]

Линейные модели широко используют при расчетах и проектировании технических объектов. В условиях применимости теоремы об устойчивости по первому приближению анализ устойчивости линейной системы позволяет делать выводы об устойчивости соответствующей нелинейной системы. [c.462]

Оценивая каждый из сомножителей этого выражения с учетом ранее сделанных замечаний, можно сделать вывод о том, что энергетические затраты линейных систем больше нелинейных (% > 1). Заметим, что соотношение (4. 92) не зависит от времени работы и может варьироваться в зависимости от выбора передаточных коэффициентов кь и кь в пределах области устойчивости линейной системы. [c.169]

Динамические системы с замкнутой цепью передачи воздействий, образованные из устойчивых элементов, могут находиться в неустойчивом состоянии. Устойчивость линейной системы определяется характером ее свободного движения и зависит от вида корней характеристического уравнения (см. разд. 4, п. 4.5.2 книги 1 настоящей серии) [c.532]

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все действительные корни (7.23) были отрицательны, а сопряженные комплексные имели отрицательную действительную [c.532]

Устойчивость линейной системы 531 Устройство обдувочное 107 [c.614]

Таким образом, чтобы установить асимптотическую устойчивость линейной системы, достаточно убедиться, что все корни ее характеристического уравнения (иногда его называют вековым) [c.159]

Теорема об устойчивости линейной системы. 1. Если вещественные части Re всех характеристических чисел Ху, Xi,. .., Х матрицы А отрицательны, то нулевое решение z = О уравнения (14) асимптотически устойчиво. [c.423]

Пусть q Е д = (д ),г = 1,...,5. В силу асимптотической устойчивости линейной системы (3.11) qi = q2 =0. [c.275]

Д. Р. Меркин (1956) исследовал устойчивость линейной системы, находящейся под действием только гироскопических сил. Рассмотрением характеристического уравнения он доказал, что для устойчивости равновесия такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы гироскопических коэффициентов 0. Показано также, что если на систему помимо гироскопических действуют и диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия всегда устойчиво в первом приближении. В. В. Румянцев (1957) показал, что положение равновесия нелинейной системы при указанных условиях асимптотически устойчиво по отношению к скоростям q i. В. М. Матросов (1959) обобщил эти результаты, доказав, что положение равновесия нелинейной системы устойчиво относительно qi и а всякое возмущенное движение асимптотически приближается к одному из положений равновесия qi = i, q = О, причем устойчивость сохраняется и при параметрических возмущениях. [c.38]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Вычисления показывают, что условие (1.2) нарушается в нашей задаче в области устойчивости линейной системы О <27ц (1 — [c.133]

В плоскости коэффициентов а , а область устойчивости линейной системы задается системой неравенств [48] [c.163]

В этом параграфе исследуется устойчивость линейной системы с функцией Гамильтона (6.5). [c.221]

Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических движений пространственной задачи определители D3 и Di ни при каких значениях а одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех нерезонансных значениях параметров JA, 8 из области устойчивости линейной системы все периодические движения пространственной задачи будут устойчивы для большинства начальных условий. [c.233]

Рис. 5.1. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой линейной системы на комплексной плоскости

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Следствие 8.10.3. Если все корни характеристического уравнения различные и мнимые, то движение линейной системы с гироскопическими силами в окрестности стационарной точки будет устойчивым. [c.595]

Заметим, что если характеристическое уравнение линейной системы с гироскопическими силами имеет кратные корни, то даже в том случае, когда все они мнимые, нельзя утверждать, что система будет устойчивой. Сказанное проиллюстрируем примером. [c.596]

Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны. [c.624]

Доказательство. При отсутствии диссипативных сил ij = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. [c.201]

Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [431 получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т. е. па языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной части системы. [c.286]

Частотный критерий (9.14) гарантирует абсолютную устойчивость системы (9.12) в том смысле, что начало координат устойчиво в целом, какова бы ни была непрерывная функция ф (а), график которой заключен в сектор (9.13). В частности, будет устойчива в целом любая линейная система, получающаяся из (9.12) при ф (а) = h[c.294]

Особое поведение линейных систем по отношению к внешней силе, изменяющейся по гармоническому закону, выражается в том, что возникшие в линейной системе вынужденные колебания, после того как они установились, также оказываются гармоническими если же форма колебаний внешней силы отличается от гармонической, то форма колебаний смещения отличается от формы внешней силы. Иначе говоря, вынужденные колебания в линейной системе воспроизводят без искажений только гармоническую фор.му колебаний внешней силы, вызвавшей вынужденные колебания если же форма внешней силы отлична от гармонической, то вынужденные колебания воспроизводят эту форму непременно с искажениями. Эта устойчивость формы гармонических колебаний, проявляющаяся при их воспроизведении во всех линейных системах ), и придает гармоническим колебаниям исключительно важное значение. [c.620]

Здесь, однако, уместно сделать качественный комментарий мы видим, что если на колебательное движение наложить вязкое трение, то вместо ограниченных колебаний будем иметь асимптотическое стремление к нулю всех решений. Другими словами, устойчивая линейная система превращается в асиптотически устойчивую. Заметим (но это выходит за рамки настоящих лекций), что сделанное частное наблюдение может быть расширено до одной общей теоремы из теории устойчивости. [c.18]

Дпя устойчивости линейной системы диффе-оенциальных уравнений (7.2.1) при любом р( необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение х( М) соответствующей однородной системы (7.2.2). [c.462]

Значительное продвижение теории силовых гиростабилизаторов с разгрузочным двигателем достигнуто в работах Я. Н. Ройтенберга. Им учтено запаздывание сигнала в цепи усилителя, обусловленное индуктивностью, и уточнены в связи с этим условия устойчивости линейной системы. Исследованы также устойчивость и автоколебания гиростабилизатора с нелинейными характеристиками и предложены методы обеспечения устойчивости при больших возмуш ениях 2. Совместно с Б. Б. Булгаковым Я. Н. Ройтенберг построил теорию двухосного гироскопического стабилизатора с коррекцией, об-ладаюш его свойствами невозмуш аемой гировертикали з. Изучению автоколебательных режимов гиростабилизаторов способствовали работы Н. В. Бутенина (1942, 1950) по автоколебаниям в системах с гироскопическими силами и ра-176 боты Б. А. Рябова (1950—1964), посвяш енные исследованию автоколебаний в сервосистемах. [c.176]

В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] нри исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с номогцью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей на-эаметрического резонанса в случае периодической системы (1). [c.124]

Из оценки (5.5) и асимптотической устойчивости линейной системы (5.3) следует диссипативность системы (3.11), (3.12). [c.277]

Во второй части мы уже познакомились с приемом понижения порядка динамических систем при ис Следовании их устойчивости с помощью ортогона Лилля. Там было показано, что для любой устойчивой линейной системы (а также и для ряда неустойчивых систем) сколь угодно высокого порядка может быть получен ортогон Лилля, соответствующий системе третьего или четвертого порядка, по которому можно судить об устойчивости исходной системы. Таким образом, рассматриваемый прием может быть назван эквивалентированием динамических систем по устойчивости. [c.268]

В приложении к линейным стационарным системам автоматического регулирования условие устойчивости сводится к тому, чтобы все корни А.1, А.2,. .., К характеристического уравнения, полученного по дифференциальному уравнению этой системы, имели отрицательные вещественные части или, что одно и то же, располагались на комплексной плоскости слева от мнимой оси (рис. 5.1). При выполнении условия устойчивости линейная система автоматического регулирования будет устойчива асимптотически, что непосредственно следует из решения ее дифференциального уравнения. Это решение х (/), определяющее значение регулируе- [c.87]

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], О Браейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. [c.27]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Заключение об устойчивости системы можно сделать такж из анализа фазовых траекторий. В простейшем случае для одно переменной фазовая траектория может быть построена на плоскости в прямоугольных координатах (у=х, х), которые называются фазовыми. Если фазовые траектории линейной системы нрп неограниченном возрастании времегги астгптотическя приближаются к началу координат, то такая система устойчива fi HMii io-тически. [c.296]

Теорема. Для достаточно малых е линейная система с функцией Гамильтона (29) устойчива тогда и только тогда, когда величины Oj пе связаны соотношенилми [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...