Дифференциальные уравнения в неоднородные

Из-за большой пространственно-временной неоднородности решения введем следующее преобразование зависимых переменных = 1пр, т] = 1пр. Дифференциальные уравнения в новых переменных имеют следующий вид [c.106]

Математическое описание упругих колебаний тела может быть сделано посредством неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако во многих случаях упругие системы с распределенными параметрами при некоторых условиях могут быть заменены системами с сосредоточенными параметрами, движение которых описывают системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Замена системы с распределенными параметрами системой с параметрами сосредоточенными возможна всегда, если в условиях данной задачи одни части тела можно считать абсолютно жесткими, а другие — упругими, но лишенными массы. Тогда упругая система распадается на совокупность твердых неупругих тел, соединенных упругими связями, не имеющими [c.221]

Изложенный здесь метод получения интеграла обыкновенного неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами называется методом начальных параметров. Подробнее об этом методе говорится в главе XII, где поясняется, что указанный метод есть не что иное, как метод Коши интегрирования дифференциальных уравнений, в которых правая часть (у нас нагрузка) на разных участках рассматриваемого промежутка имеет различные аналитические выражения. [c.141]

Частное решение такого неоднородного дифференциального уравнения в силу его линейности представляет собой сумму частных решений, относящихся к каждому из слагаемых в правой части уравнения (т. е. сумму так называемых парциальных частных решений). [c.126]

Будем искать решение и неоднородного дифференциального уравнения в виде (1), считая при этом, что произвольные постоянные Л[ и Лг являются функциями времени. [c.23]

Задача теории упругости неоднородного тела сводится, как это следует из основных уравнений, к краевой для дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, математические [c.38]

Если расписать (12), то получим однородное дифференциальное уравнение с неоднородными граничными условиями, которые рассматривал А. В. Иванов для определения ядра К (р, i) Однако ядро А(р, t) можно определить и непосредственно, построив для задачи (1), (2) функцию Грина. Последняя имеет вид [c.21]

Некоторые примеры составления замкнутых систем дифференциальных уравнений движения неоднородных сред отнесены нами в последнюю главу курса, где открывается возможность вести изложение для газовых потоков и учитывать не только динамическую, но и термодинамическую стороны дела. [c.361]

Сделанные выше ссылки относятся только к последним публикациям, которые используют МГЭ и на основе которых были получены весьма обш,ие алгоритмы решения задач многие другие исследователи решали частные задачи при помош,и очень сходных методов (см. список дополнительной литературы в конце настоящей главы). Большинство одно-, дву- и трехмерных задач механики сплошной среды (с учетом анизотропии, неоднородности и нелинейности), описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успешно решались при помощи МГЭ. [c.16]

Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10]

Подставляя решение (7.138) в общее уравнение для прогиба (7.133), в начальные (7.134) и граничные (7.137) условия и учитывая квазистатический прогиб (7.139), получим замкнутую начально-краевую задачу для определения динамической части прогиба Wd- Дифференциальное уравнение в частных производных для его определения неоднородное [c.431]

Используя процедуру преобразования неоднородной системы дифференциальных уравнений в однородную, получаем эквивалентную систему однородных уравнений, решением которой является резонансное решение системы [c.106]

Получим в пластической зоне неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных для функции Р г,в) [c.29]

Таким образом, задача о расчете круговой цилиндрической оболочки свелась к решению неоднородного дифференциального уравнения в частных производных десятого порядка. [c.179]

Метод собственных функций может быть применен и при решении неоднородной задачи для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, например решение уравнения [c.12]

Если в (20.7) выполнить дифференцирование, проинтегрировать по частям и использовать дифференциальное уравнение (20.4) совместно с граничными условиями (20.5), то нетрудно убедиться, что I (г, г ) удовлетворяет однородному интегральному уравнению, соответствующему уравнению (20.6). Поскольку мы предполагаем, что неоднородное уравнение (20.6) имеет единственное решение, то соответствующее однородное уравнение может иметь только тривиальное решение. Из этого можно сделать вывод, что (г, г ) = 0. Другими словами, функция К г, г ) подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных [c.561]

Если в (20.47) выполнить дифференцирование, произвести интегрирование по частям и воспользоваться дифференциальным уравнением (20.44) совместно с граничными условиями (20.45), то нетрудно убедиться, что функция (г, г ) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему уравнению (20.46). Поскольку предполагается, что неоднородное уравнение имеет единственное решение, то можно сделать вывод, что I (г, г ) = 0. Другими словами, функция К (г, г ) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных [c.570]

Исследование колебаний неоднородных ограниченных упругих тел приводит к решению дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, что представляет очень большие трудности. Роль приближенных уточненных теорий в связи с этим еще больше возрастает, так как анализ соответствующих им уравнений значительно проще, чем трехмерных уравнений. Кроме того, деформация сдвига при наличии неоднородностей может оказывать существенное влияние на колебания и классическая теория Бернулли—Эйлера будет приводить к большим погрешностям. [c.91]

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка типа [c.148]

Таким образом, нам предстоит решить при начальных условиях (251) и (254) и граничных условиях (255) и (259) следующее неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка [68 [c.143]

В противоположность этому классическому подходу при использовании метода конечных элементов начинают с изучения свойств элементов конечных размеров. При установлении этих свойств могут использоваться уравнения, описываюш ие поведение континуума, но размеры элементов остаются все время конечными, интегрирование заменяется конечным суммированием, а дифференциальные уравнения в частных производных заменяются, скажем, системами алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется, таким образом, дискретной моделью, имеющей конечное число степеней свободы. При этом если удовлетворяются некоторые условия полноты, то с увеличением числа конечных элементов и уменьшением их размеров поведение дискретной системы приближается к поведению непрерывной системы — сплошной среды. Существенной особенностью такого подхода является то, что он в принципе применим к доследованию конечных деформаций физически нелинейных анизотропных неоднородных тел любой геометрической формы при произвольных краевых условиях. [c.11]

Если остановиться на методах расчета распределения потока вдоль каналов с путевым расходом, разработанных в одномерном приближении без учета структурных неоднородностей, вызванных оттоком или притоком массы, то к получаемому при этом уравнению движения различные исследователи приходят двумя основными путями исходя из уравнения импульсов [80, 104] и уравнения энергии [29, 39, 121 ]. В случае изолированных раздающего и соответственно собирающего каналов (см. рис. 10.29, а и б) получается следующее дифференциальное уравнение [73] [c.294]

Продифференцируем (2. 6. 41) по I, затем выразим и подставим в (2. 6. 40). В результате получим последовательность неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функции ( ) [c.58]

Тогда искомое частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (55) при учете обобщенной силы (59) можно представить в виде [c.244]

Дифференциальное уравнение (2), в отличие от дифференциального уравнения (1), является неоднородным. Следовательно, его общее решение имеет вид [c.59]

Общее решение системы (2 ) дифференциальных уравнений складывается из общего решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной системы. Общее решение однородной системы представляет ранее рассмотренные свободные колебания и находится согласно методам, приведенным в 2 и 3 этой главы. Поэтому мы остановимся на определении частного решения этой системы, представляющего вынужденные колебания системы. [c.602]

Общее решение дифференциальных уравнений (4) складывается из общего решения этих уравнений без правой части и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение системы однородных уравнений было найдено в задаче 454. Складывая это решение с частным решением (5) и учитывая (7), находим уравнения движения нижнего конца ротора под действием возмущающей силы вызванной неуравновешенностью [c.618]

Общее решение этой системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений складывается из общего решения системы без правых частей (однородная система уравнений) и частного решения неоднородной системы. Первое решение определяет затухающие свободные колебания системы и было получено в задаче 455. Второе частное решение, определяющее вынужденные колебания системы, будем искать в виде [c.622]

В отличие от только что проинтегрированного дифференциального уравнения (161) это уравнение имеет правую часть и его решение складывается из обш,его решения ( 64), соответствующего однородного уравнения (161) и какого-либо частного решения уравнения (170). Неоднородное уравнение (170) подробно проинтегрировано на с. 273 и его общим решением при р ф k ц nek является [c.201]

В этом равенстве функция II известна, а функция П неизвестна. Поэтому рапонство (6.20) можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно потенциальной энергии П. Как известно, решение уравнения (6.20) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений [c.157]

Интересна и прямо противоположная попытка описания неоднородного псевдоожижения как сугубо детерминированного процесса, лишенно1 о всяких элементов случайности. Такой подход предложен в Л. 120]. Авторы его справедливо подчеркивают привлекательность соединения экспериментальных исследований и аналитического аппарата. Затем, полагая, что профили локальных скоростей газа могут быть получены из эксперимента, они аналитически исследуют движение твердой фазы неоднородного псевдоожиженного слоя. Сделав ряд упрощающих допущений, авторы получают уравнения движения частицы и исследуют их решения с помощью качественной теории дифференциальных уравнений. В результате исследования дается физическая интерпретация, объясняющая возникновение разрывов слоя и статистически стационарных зон повышенной концентрации твердой фазы. [c.13]

Применяя к уравнению (8-5-4) и условиям (8-6-13) —(8-5-15) (последовательно прео бразования (8-5-8) и (8-5-10), найдем обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение в изображениях. Решая его и выполняя обратные интегральные преобразования (8-5-11) И (8-5-9), после некоторых упрощений получим окончательное решение [Л. 18] [c.383]

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, которыми являются осевая координата х и время Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно проинтегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегрировать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод характеристик представляет собой, по существу, строгую математическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифференциальных уравнений, обычно называемых совместными уравнениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхностях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное описание этой процедуры более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фридрихса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41]. [c.340]

Согласно Р. Мпзесу ), составляющие перемещений для плоской пластической деформацпи при неоднородном напряженном состоянии можно определить прп помощи функции тока ф (подобно тому, как это было показано в случае однородного напряженного состояния для составляющих и , Му в прямоугольной системе координат). Функция тока должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа [c.625]

Неизвестные функции этой системы — концентрация дырок и электронов р(х, у, z, t) и п х, у, z, t) и напряженность электрического поля Е(х, у, Z, t). Вместо Е может фигурировать электрический потенциал ф(д , у, z, t), так как Е=—gradf. Краевые условия состоят из начальных условий, характеризующих распределение зависимых переменных по объему кристалла в начальный момент времени, и граничных, задающих значения зависимых переменных на границах рассматриваемой полупроводниковой области. Геометрические размеры и конфигурация диффузионных областей и омических контактов транзистора также учитываются граничными условиями. Параметрами этой модели являются основные электрофизические параметры полупроводника. Дифференциальные уравнения в частных производных можно решать методами конечных разностей либо конечных элементов. С помощью физико-топологической модели можно с высокой степенью точности определить основные статические и динамические характеристики транзистора. Модель не учитывает влияния магнитного поля и возможных неоднородностей полупроводникового материала, что несущественно для моделирования реальных транзисторов, так как большее значение имеет точное определение параметров модели. Применение подобных моделей транзистора в задачах анализа электронных схем практически нереализуемо. Они применяются только для идентификации параметров более простых схемных моделей транзистора. [c.132]

Ерохин И. С. Законы сохранения и инварианты дифференциальных уравнений в некоторых задачах неоднородной среды.— Прикл. Л1ат. и техн. физ., 1970, № 6, с. 9—16. [c.170]

Пели sa начало отсчета выбрать не положение е1а ичеекою равновесия, го ураииение булет иметь постоянную правую часть, г. е. будег неоднородным. 1 ен)ение дифференциального уравнения можно выразить в следующей ([юрме [c.434]

Уравнение (28) есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Как известно, общее решение такого уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и обш1его решения соответствующего однородного уравнения. Будем искать частное решение уравнения (28) в виде [c.368]

Прохождение излучений через защиту с неоднородностями описывается интегро-дифференциальным уравнением переноса излучений, которое для рассматриваемых задач не имеет аналитического решения. Среди возможных численных методов решения подобных задач можно указать на мето.д Монте-Карло и применение многогрупповых методов решения кинетического уравнения к многомерным геометриям. Метод Монте-Карло в принципе пригоден для строгого решения любой задачи прохождения излучений через неоднородности. Основными возможными преградами для его использования являются ограниченное быстродействие и память ЭВМ. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...