Системы первого приближения

Системы первого приближения. Произведем замену масштаба в окрестности точки срыва. Коэффициенты растяжения и размеры окрестности зависят от параметра е системы (2) так, что при стремлении параметра к нулю образ окрестности при растяжении содержит любой компакт, начиная с достаточно малого (зависящего от компакта) значения параметра. Цель этого построения состоит в том, чтобы, проведя в системе (2) замену переменных, времени и параметра, получить в пределе при е->0 систему, в которой все движения происходят в одном масштабе времени (так называемую систему первого приближения). [c.184]

Соответствующая система первого приближения имеет вид. [c.185]

Предложение 2. Типичная система (2) с одной быстрой и двумя медленными переменными расслоенным диффеоморфизмом окрестности точки срыва на складке медленной поверхности может быть приведена в такую, которая при линейной замене координат /ц, замене времени и замене-параметра e = e(fi) переходит в систему, совпадающую с точностью до членов порядка 0( л) с системой первого приближения в кубе a i <1, i/i [c.185]

Переходя к пределу при ц->0, получаем системы первого приближения из предложения 2. [c.188]

Рис. 71. Фазовые кривые системы первого приближения в случае одной быстрой и одной медленной переменной. Приближающая фазовая кривая выделена

Рис. 71. <a href="/info/10552">Фазовые кривые</a> системы первого приближения в случае одной быстрой и одной <a href="/info/241499">медленной переменной</a>. Приближающая <a href="/info/10552">фазовая кривая</a> выделена

Признаки устойчивости или неустойчивости движения, в зависимости от знаков корней характеристического уравнения нормальной системы первого приближения, составляют содержание теорем Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению. [c.74]

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет вид [c.41]

Систему (69) можно назвать по аналогии с (38) усредненной системой первого приближения, хотя, согласно методу Крыло- [c.34]

Решение системы первого приближения (2.142) может быть представлено как [c.88]

В качестве системы первого приближения для исходной нелинейной системы (2.2.13) выберем не линейную часть этой системы, а нелинейную подсистему вида [c.112]

А. М. Ляпуновым критическими. Решение задачи об устойчивости было дано Ляпуновым для установившихся движений в случаях, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет 1) один нулевой корень, 2) пару чисто мнимых корней, 3) два нулевых корня с одной группой решений для системы второго порядка (а также для системы (п + 2)-го порядка, как выяснилось в 1963 г. при изучении архива [c.55]

Вопрос об устойчивости линейной системы (7) решается непосредственно на основе изучения характеристических чисел этой системы (а иногда еш,е и структуры элементарных делителей фундаментальной интегральной матрицы решений системы). Но, как видно, и для нелинейной системы вопрос об устойчивости получает полное решение, если все характеристические числа % отрицательные (а система первого приближения правильная или неправильная, но обладает дополнительными свойствами) или если есть хотя бы одно ки > 0. Мы видим, таким образом, что первый метод позволяет не только решать задачу об устойчивости нулевого решения (безусловной или условной), но и получать уравнения интегральных кривых. Вместе с тем, пользуясь этим представлением решений, можно получить различные дополнительные сведения о поведении решений рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Выделяя главную часть этих представлений, можно получить решение с необходимой точностью в виде элементарных функций. При этом мы увидим различное влияние на происходящий процесс параметров, входящих в правую часть рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, если имеет место асимптотическая устойчивость, то можно видеть, как эти параметры влияют на скорость приближения точки ( 1 ( ),. . Хп ( )) к началу координат при - оо. [c.71]

Н. Н. Боголюбов показал, что при выполнении некоторых обш,их условий ограниченности и гладкости правых частей решения системы первого приближения отличаются от решений (3) сколь угодно мало на интервале t 1/е, если в начальный момент они совпадают. При некоторых дополнительных ограничениях разность ж ( ) — х (t) имеет порядок малости е при 1 1/е. Далее было обнаружено, что если уравнение первого приближения имеет асимптотически устойчивое положение равновесия, то решения исходной системы, начинающиеся достаточно близко к этой точке, притягиваются к окрестности этой точки при i оо. Наконец, [c.119]

Тогда, как показано в 3 главы I, характеристичное уравнение системы первого приближения есть всегда возвратное, так что каждому корню р этого уравнения соответствует корень р-. Отсюда сейчас же следует, что невозмущенное периодическое движение почти всегда неустойчиво и что устойчивость возможна только в том случае, когда все корни характеристичного уравнения равны единице по модулю, т. е. когда все характеристические показатели имеют равные нулю вещественные части. А все эти случаи и относятся к категории особенных, в которых решение задачи требует вообще рассмотрения членов высших порядков в уравнениях (2.51). [c.113]

Тогда определяющее уравнение системы первого приближения имеет две пары чисто мнимых корней [c.317]

Пусть рассматривается система с собственным вырождением— невозмущенный гамильтониан не зависит от некоторых переменных действие . Тогда среди фаз есть медленные и быстрые, а описанная процедура позволяет формально исключить 113 гамильтониана быстрые фазы. Система первого приближения для новых переменных совпадает с усредненной по быстрым фазам системой. [c.193]

Характеристическое уравнение системы первого приближения (3.4) для треугольных точек либрации и тоже распадается на квадратное, соответствующее переменной и имеющее два чисто мнимых корня г, и биквадратное [c.26]

Централизованная система первого приближения принимает вид [c.226]

Далее, по аналогии с тем, как это сделано выше для соответствующей системы первого приближения, [c.233]

Теорема об устойчивости по первому приближению. Если все корни характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) имеют отрицательные вещественные части (в частности, они вещественны и отрицательны), то система, описываемая полными уравнениями (4.9), устойчива. [c.206]

Теорема о неустойчивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) встречается хотя бы один вещественный или хотя бы одна [c.206]

Теорема об особенных случаях. Если среди корней характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) встречаются хотя бы один нулевой или одна пара чисто мнимых корней, то по уравнениям первого приближения невозможно сделать заключение об устойчивости или неустойчивости исходной системы (4.9). [c.207]

Пример. Характеристическое уравнение некоторой системы первого приближения имеет вид [c.216]

Теорема 2.2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дяффереттпиальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Теорема 2.3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то Щ1ены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так. чтобы получить по желанию как устойчивость, тате и неустойчивость. [c.83]

При помощи процедуры HAMLDET1, написанной на языке REDU E, получим характеристическое уравнение системы первого приближения, определяемой гамильтонианом Яг в разложении (2.50) [c.98]

Исследование систем первого приближения. Фазовая кривая у системы первого приближения называется приближающей, если она обладает следующим свсйстбом. Пусть / — семейство сжатий, обратных растяжениям, с помощью которых из быстро медленной системы получилась система первого приближения. Тогда существует такая окрестнссть нуля, пересечение которой с кривой при стремится к дуге регулярной фазовой кривей соответствующей вырожденной системы. [c.188]

Замечания. 1. Система первого приближения в случае 2 не имеет приближающей фазсвой кривой, однако имеет семейство отрицательных полу траекторий, получаемых друг из друга сдвигом вдоль оси , которые под действием сжатия стремятся [c.190]

Развитие и применение аналитического аппарата для построения замен переменных ( 40) и (45) в прикладных задачах становятся эффективными и математически обосноваппыми, если удается получить оценки для нормы Hz(i, д,) —z(i, ц)И, где z t,n)—решение первоначальной стандартной вистомы (36), г (i, ц) — ронтенио усредненной системы первого приближения (39) или усредненной системы любого конечного тп-го приближения [c.30]

Если к правым частям системы (151) примепея оператор усреднения (168), то усредненная система первого приближения для (151) принимает вид [c.59]

Перейдем к основному объекту наших исследований. Обычно сильно нелинейными называют системы [3, 4], если характер поведения их траекторий в малой окрестности положения равновесия не определяется исключительно системой первого приближения. В соответствии с этой терминологией системы, обладаюш,ие неэкспоненциальными асимптотическими траекториями, т. е. стремяш,имися к положению равновесия при i +ос или t —ос, но неэкспонен- [c.91]

Пусть у = (у1, У2 5 У3 5 У4) — фазовый вектор нормализованной системы. Диагонализируемая часть матрицы системы первого приближения может быть представлена в виде [c.100]

Более того, предположим, что характеристическое уравнение для системы (43) имеет лишь нулевые корни. Для этого достаточно частного случая мы найдем достаточные условия неустойчивости при помощи построения частного решения (43) х 1) О при — ос. Поскольку характеристическое уравнение не имеет корней с положительной или отрицательной вещественной частью, можно предположить, что существует конечномерное центральное многообразие, притягивающее решения (43) суперэкспоненциально (на этот факт обратил внимание авторов Дж. Хейл, см. также [17]). С другой стороны, после проекции на указанное центральное многообразие редуцированная конечномерная система имеет только нулевые корни характеристического уравнения системы первого приближения, и мы можем [c.105]

В ТОМ случае, когда система первого приближения (7) правильная, но в не-которых случаях и тогда, кагда эта система не является правильной. Он показал также, что если есть хоть одно >- О, то устойчивости (не условной) нулевого решения мы не имеем. [c.71]

Действительно, в этом случае определяющее уравнение системы первого приближения (2.46 ) обязательно имеет корни, вещественные части которых положительны. Если эти корни таковы, что определитель О2 0)ф0, то существует единственная квадратичная форма У (го), удовлетворяющая уравнению (2.49), и эта форма, наверное, не будет знакопостоянной отрицательной. Производная V" в силу уравнений (2.48) опять определится формулой (2.49 ) и есть знакоопределенная положительная функция в некоторой окрестности начала координат. [c.111]

Пусть теперь задано г независимых резонансных соотношений между невозмущенными частотами. Преобразуем фазы так, чтобы при выполнении этих соотношений первые г фаз были полубыстрыми, а последние п—г — быстрыми. Тогда описанная процедура позволяет формально исключить из гамильтониана быстрые фазы. Система первого приближения для новых переменных совпадает с частично усредненной с учетом заданных резонансов системой. Практически здесь можно не вводить в качестве переменных резонансные комбинации фаз, а аействовать в исходных переменных. Прн этом в формулах (27) усролиение по быстрым фазам заменяется следующей опе- [c.193]

Необходимыми и достаточными условия й1 отрицательности действительных частей корней алгебраического уравнения являются условия Рауса —Гурвица, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения системы первого приближения. В случае двухмодовой цепочки (4) коэффициенты этого уравнения-(Я 4-с 1/= Я4-2 = 0) удовлетворяют указанным условиям при всех значениях параметров с > О и <7 > 0. Для трехмодовой цепочки (п = 2) характеристическое уравнение принимает вид [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...