Дифференциальные уравнения в однородные

Используя процедуру преобразования неоднородной системы дифференциальных уравнений в однородную, получаем эквивалентную систему однородных уравнений, решением которой является резонансное решение системы [c.106]

Тогда, разыскивая решение соответствующей системы однородных дифференциальных уравнений в виде [c.52]

Предложенные уравнения могут служить для исследования установившегося режима работы. Решение этой системы однородных дифференциальных уравнений в конечном виде невозможно. Однако переходом к уравнениям Бернулли и разложением в степенные ряды, как показали расчеты и выкладки, можно найти приближенное решение в квадратурах, [c.202]

Рассмотрим теперь решение уравнения (8-29) при указанных граничных условиях. Уравнение (8-29) является линейным и однородным. Дифференциальные уравнения в частных производных такого типа всегда могут быть решены методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения (8-29) можно представить в виде произведения [c.155]

Процесс конвективного теплообмена описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Для однородной несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими свойствами (исключая плотность) эти уравнения имеют следующий вид [c.157]

При решении задач устойчивости или задач о собственных колебаниях в качестве исходных дифференциальных уравнений используют однородную каноническую систему (3.70) или [c.97]

Приведенные дифференциальные уравнения в частных производных имеют восьмой порядок, поэтому при их решении необходимо задать восемь граничных условий. Если относить к внутренним участкам имеющиеся на концах ротора сосредоточенные массы, жесткости и демпферы, то граничные условия можно привести к однородному виду. В случае свободного конца граничные условия имеют вид(3у =Q = 0 [c.135]

Рассмотрим свободные колебания вращающейся лопасти с частотой V. Тогда в однородном дифференциальном уравнении в частных производных, описывающих изгиб лопасти в отсутствие аэродинамических сил (f2 = 0), можно принять 2 = = т)(г)е /, где т] — форма изгиба. В результате получим [c.357]

Множество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Соответствующее дифференциальное уравнение в системе координат Xi с осями, направленными вдоль главных осей тензора проводимости , в случае однородной среды принимает вид [c.143]

Соответствующая зависимостям (2.25) однородная система сводится к следующему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф [c.103]

Как и в случае автомодельных ламинарных пограничных слоев, возможно преобразование дифференциальных уравнений в частных производных для автомодельных турбулентных пограничных слоев в обыкновенные дифференциальные уравнения с последующим решением их одним из известных методов. Таким путем можно получить надежные данные по геометрическим размерам равновесных пограничных слоев и по распределению касательного напряжения на обтекаемой поверхности. Тот факт, что равновесные пограничные слои возможны только в ограниченных случаях степенного распределения скорости внешнего потока, существенно ограничивает применение автомодельных решений. Однако при многих распределениях давления вдоль обтекаемой поверхности пограничные слои по своим свойствам приближаются к свойствам равновесных слоев и на них могут быть распространены автомодельные решения. Существует по крайней мере две категории таких пограничных слоев. Примером пограничного слоя первой категории является след за цилиндром в однородном потоке, в котором распределения осредненной скорости и рейнольдсовых напряжений имеют выражения [c.343]

Это и есть дифференциальные уравнения качения однородного шара по плоскости. Поскольку моменты нормальной реакции плоскости и силы трения относительно осей Ох, Оу, Ог равны нулю, то в правые части полученных уравнений входят только моменты активных сил. [c.10]

Предложение 1. Система дифференциальных уравнений с однородными правыми частями имеет интегральный инва,-риант в том и только том случае, когда ее фазовый поток сохраняет стандартную меру При этом плотность интегрального инва,-рианта функция /) является ее первым интегралом. [c.31]

Так как напряженное состояние в бесконечно малой области вокруг точки X, у в переменном поле напряжений является однородным (если исключить особенности), то из предыдущего следует, что, как и в случае уравнений (37.53а), дифференциальное уравнение в частных производных [c.625]

Наиболее сложна тепловая модель конструкции, показанная на рис. 7.37, г. Все пространство представляется однородным с распределенным по объему источником энергии Р (х, у, г). Такая модель описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, получаемой на основе фундаментальных уравнений теории теплопроводности. Решение этих уравнений позволяет исследовать температурные поля нагретой зоны конструкции. [c.201]

Подставив сюда значения из закона Гука для однородного изотропного тела, получим основную систему дифференциальных уравнений в смещениях [c.14]

Если в (20.7) выполнить дифференцирование, проинтегрировать по частям и использовать дифференциальное уравнение (20.4) совместно с граничными условиями (20.5), то нетрудно убедиться, что I (г, г ) удовлетворяет однородному интегральному уравнению, соответствующему уравнению (20.6). Поскольку мы предполагаем, что неоднородное уравнение (20.6) имеет единственное решение, то соответствующее однородное уравнение может иметь только тривиальное решение. Из этого можно сделать вывод, что (г, г ) = 0. Другими словами, функция К г, г ) подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных [c.561]

Если в (20.47) выполнить дифференцирование, произвести интегрирование по частям и воспользоваться дифференциальным уравнением (20.44) совместно с граничными условиями (20.45), то нетрудно убедиться, что функция (г, г ) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему уравнению (20.46). Поскольку предполагается, что неоднородное уравнение имеет единственное решение, то можно сделать вывод, что I (г, г ) = 0. Другими словами, функция К (г, г ) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных [c.570]

При изложении теории струн обычно принято начинать с двух частных решений дифференциальных уравнений в частных производных, представляющих распространение волн в положительном и отрицательном направлениях эти решения соединяют так, чтобы приспособиться к случаю конечной струны, концы которой удерживаются в покое ни одно из решений в отдельности не совместимо с существованием узлов или мест постоянного покоя. Эта сторона вопроса очень важна, и мы рассмотрим ее полностью однако, едва ли было бы желательно основывать решение сразу же на таком свойстве, характерном для однородной струны, как невозмущенное распространение в( лн. Мы будем следовать более общему методу, принимая (в согласии с тем, что было доказано в предыдущей главе), что движение может быть разложено на [c.194]

Поскольку L, р и Ь —заданные функции от X, то (14) представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно смещения и. Для однородного тела (14) имеет в компонентной записи такой вид [c.299]

Именно первое направление общей проблемы устойчивости оболочек, т. е. проблема определения критических нагрузок, рассмотрено в настоящей книге. Следует отметить, что большинство опубликованных в настоящее время работ по устойчивости оболочек в той или иной мере затрагивает эту проблему. В подавляющем большинстве случаев задача об определении крити-че ской нагрузки для оболочки сводится к отысканию наименьшего собственного значения системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями или к соответствующей вариационной задаче. [c.6]

В данном параграфе на основе техники фейнмановских диаграмм выводится интегральный, то есть нелокальный, закон Дарси и интегро-дифференциальное уравнение стационарной однородной фильтрации. Ядра этих интегральных уравне- [c.81]

Сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В приближении длинных волн рассматриваются нелинейные осесимметричные колебания идеальной однородной тяжелой жидкости в ограниченном бассейне переменной глубины D, вращающемся с угловой скоростью //2 относительно вертикальной оси z. В цилиндрической системе координат (R, г, ф) не зависящее от азимутального угла ф движение жидкости описывается в безразмерных переменных системой уравнений [ 1 ] [c.159]

Подставляя значения 1, 2,. .., в дифференциальные уравнения в вариациях, преобразуем эти уравнения в систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ехтах, Езтах, Е тах. ИСКЛЮЧИВ ИЗ ЭТИХ уравнений неизвестные Етах (/=1. 2,. .., в), получим ОДНО уравнение, которое называют характеристическим. Это уравнение имеет степень 2з относительно х. Алгебраическое уравнение степени 2з относительно величины х имеет 2з корней, т. е. определяет 25 значений х. Корни х обычно бывают [c.236]

Геометрическая нелинейность, вызванная большими нормальным прогибом, была введена в теорию тонких пластин Карманом [175], который рассматривал однородные изотропные пластины и получил в результате связанную систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в ч астных производных относительно прогиба W и функции напряжений Эри F. [c.189]

Предположим, что можно задать как пробную, так и весовую функции таким образом, что они удовлетворят дифференциальному уравнению точно. В результате погрешность по области будет точно равна нулю. Теперь остается лишь удовлетворить граничным условиям некоторым образом по взвешенным невязкам. Отсюда следует, что в некоторых задачах необходимо лишь дискретизировать границу области. Подобые методы называются методами граничных элементов. Для задач линейной теории упругости известны два метода, которые были изучены достаточно подробно метод интегральных уравнений [57, 58] и метод краевых функций [59]. В первом из них в качестве весовых функций выбираются сингулярные решения определяющего дифференциального уравнения, в то время как во втором весовые функции удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям. [c.203]

Численному исследованию геометрически нелинейных слоистых ортотропных оболочек в классической постановке посвящены работа [1.16, 7.4]. Для решения нормальной системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений в монографии [ 1.16] использован процесс последовательных приближений, основанный на методе квазилинеаризации. Обобщение упомянутых алгоритмов на оболочки вращения типа Тимошенко дано в работах [73, 1.15], где обсуждаются ортотропные оболочки однородные [73] и многослойные [ 1.15]. В математическом плане зти задачи могут быть также сведены к инто-р1фованию нормальной системы шести нелинейных дифференциальных уравнений, [c.127]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Однако отыскание таких резонансных воздействий даже для линейных систем (с переменными коэффициентами) представляет трудности. Поэтому возможность обойти эти трудности при поиске резонансного решения системы представляется заманчивой. Обратимся к построению такого однородного дифференциального уравнения, решением которого является резонансное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим способ преобразования неоднородного диффереп-цнального уравнения в однородное. [c.106]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Согласно Р. Мпзесу ), составляющие перемещений для плоской пластической деформацпи при неоднородном напряженном состоянии можно определить прп помощи функции тока ф (подобно тому, как это было показано в случае однородного напряженного состояния для составляющих и , Му в прямоугольной системе координат). Функция тока должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа [c.625]

Равновесие конечного цилиндра, сплошного и полого, в осесимметричном случае изучалось при помощи однородных решений В. К, Прокоповым (1950, 1958) Г, И, Бухаринов (1956) свел решение задачи об осесимметричной деформации сплошного цилиндра конечной длины к отысканию дополнительной функции, для которой составляется интегро-дифференциальное уравнение. В последние годы появилось много работ, посвященных осесимметричной задаче равновесия сплошного цилиндра конечной длины, в которых решение задачи сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б. Л. Абрамян, 1954 Г. М. Валов, 1962 В. А. Лихачев, 1965). Сжатие круглого цилиндра исследовалось Г. М. Валовым (1961) и Е. П. Мирошниченко (1957) равновесие вращающегося цилиндра рассмотрел В. Т. Гринченко (1964) им же дан очень обстоятельный анализ всех аспектов точного выполнения граничных условий в осесимметричной задаче для полубесконечного цилиндра (1965). Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины, сделанного из трансверсально-изотропного материала, изучалась А. А. Баблояном (1961). [c.20]

Уравнения (14.49) и (14.51) — это обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие однородный периодический волновой пакет, но с той разницей, что параметры V, А и Л теперь являются функциями от X и Т . Зависимость от 0 в точности та же, что и для периодического волнового пакета зависимость параметров v,feи 4oтXи Т обеспечивает модуляцию. Явное отделение переменной 0 от X и Г автоматически позволяет интегрировать по 0 при фиксированных к ж А теперь ясно, что интегрирования в (14.25) и (14.26) проводятся именно в таком смысле. [c.477]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...