Регулярные особые точки

При M — N = Ji = 0 уравнение (2.13) вырождается в урав-ление у" (fi) = О, которое имеет только одну регулярную особую точку при (1,= оо. Соответствуюп ее решение было рассмотрено выше. [c.122]

В теории плоского установившегося движения грунтовых вод приходится иметь дело с такой задачей найти две функции Z ж F комплексного переменного t, регулярные в верхней полуплоскости и имеющие конечное число регулярных особых точек на вещественной оси плоскости t, причем на каждом из отрезков, разделяемых особыми точками, имеют место два уравнения вида [c.145]

Отдельно рассмотрим случай, когда точка х = О для уравнения (35) является регулярной особой точкой, т.е. [c.25]

Отличительной особенностью работ отмеченных авторов является исследование окрестностей векторных полей систем именно около регулярной особой точки, т.е. там, где правые части систем имеют достаточное количество непрерывных производных. [c.136]

Решение гипергеометрического уравнения (4.5.27) голоморфно на всей плоскости z, за исключением, быть может, точек Z = О, Z = 1, Z = оо, которые являются регулярными особыми точками. Если ни одно из чисел у, а — р, у — — р не является нулем или целым числом, то в окрестности каждой из особых точек существуют два линейно независимых регулярных решения. [c.367]

I по причине, полностью аналогичной той, по которой условие (12.15) для / к, г) зависит от к. Когда О, г — О является регулярной особой точкой дифференциального уравнения второго порядка (12.131), причем член наивысшей сингулярности содержит множителем I (I + 1). Именно это обстоятельство определяет зависимость ф от I. К этому вопросу мы вернемся в гл. 13. До тех пор пока I фиксировано (и / > — V2), его значение не влияет на общий характер зависимости ф от к. [c.346]

Рис. 8. Особые точки уравнений, не разрешенных относнтельно производной, а) регулярная особая точка, б) сложенное седло, в) сложенный узел, г) сложенный

Примеры. 1. При л—1 регулярность особой точки О системы (4) равносильна простоте полюса А в нуле. [c.123]

Теорема ([37]). Из формальной - или -эквивалентности ростков систем с регулярной особой точкой следует их голоморфная (соответственно, мероморфная) эквивалентность, причем сопрягающий формальный ряд сходится. [c.124]

Одно только понятие монодромии позволяет описать решения системы (4) с регулярной особой точкой. [c.124]

Теорема. Система (4) с регулярной особой точкой мероморфно эквивалентна системе 2=(С//)г, где 2я С — произвольное значение логарифма преобразования монодромии системы (4). [c.124]

Две последние теоремы позволяют искать решения линейных -дифференциальных уравнений и систем в окрестности регулярной особой точки в виде формальных рядов по степеням 1 и nt, не заботясь об их сходимости [37]. [c.125]

Для уравнений (5) отыскание формальных решений начинается с решения определяющего уравнения. А именно, уравнение (5) с регулярной особой точкой О можно записать в виде [c.125]

В резонансном случае выражение для фундаментальной матрицы решений сложнее, но формальная нормальная форма, линейной системы с регулярной особой точкой всегда интегрируется. На этом основан метод Фробениуса, позволяющий интегрировать уравнение (5) с регулярной особой точкой с помощью рядов [37], независимо от наличия резонансов. [c.126]

Б. Системы к=А Цг с регулярными особыми точками. [c.135]

Этим завершается решение проблемы Б матрица А искомого уравнения равна ХХ , имеет простые полюса в точках а, и необязательно простой полюс оо, являющийся, впрочем, регулярной особой точкой для уравнения г=А t)z. [c.138]

Уравнение (1.15) имеет две регулярные особые точки — нуль и бесконечность. Поэтому решение дифференциального уравнения (р), представленное в виде степенного ряда относительно особой точки в начале координат, сходится для всех 1 р < оо. Пусть [c.26]

Это уравнение имеет регулярную особую точку л = 0, что наводит на мысль искать решение у в виде степенного ряда, используя метод Фробениуса (например, Айне [1926, раздел 16.1]). Полагаем, таким образом, [c.13]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Точка лгц называется обыкновенной точкой, если а О и Р О, в противном случае она называется особой точкой. Особая точка называется регулярной особой точкой, если —1 и —2 в противном случае она называется иррегулярной особой точкой. [c.331]

Для того чтобы бесконечно удаленная точка была регулярной особой точкой (7.1.2), начало координат должно быть регулярной особой точкой преобразованного уравнения т. е. [c.331]

При д — 1 точка л = оо является регулярной особой точкой системы (7.2.1), при —I — иррегулярной особой точкой. Поведение решения в окрестности иррегулярной особенности зависит от того, будут ли все собственные значения матрицы А различными или нет. В этом пункте будем рассматривать случай различных собственных значений. [c.348]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Найти решение уравнения q-i--- q = Q, для которого t = 0 является регулярной особой (или правильной) точкой [109]. [c.294]

Кривизны поверхности видоизмененные краевые условия будут иметь разрыв в производных, что по-прежнему будет приводить к неограниченности напряжений ) (разумеется, меньшего порядка, чем в случае сосредоточенной силы). Конечно, определение этих напряжений численными методами затруднительно, но это и не всегда требуется для практических расчетов, поскольку в исходной задаче уже осуществлен переход к сосредоточенной силе (а это и делает излишним точный анализ напряженного состояния в окрестности особой точки). Если же суперпозиция осуществляется за счет решения для сосредоточенной силы, приложенной к криволинейной поверхности (с теми же радиусами кривизны), то получается регулярное решение. [c.303]

Осуществим порознь дискретизацию каждой из поверхностей. Таким образом, никакая элементарная область не будет располагаться на нескольких поверхностях, а регулярные точки будут принадлежать двум (или более) поверхностям. При такой дискретизации все центральные точки будут точками регулярности поверхности и нет нужды поэтому перестраивать расчетные формулы. Аналогичным образом следует поступить и в случае изолированных особых точек (конические точки) каждая из этих точек должна быть вершиной нескольких элементарных областей. [c.581]

Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности нагружения с угловой точкой предложено Койтером ) в 1953 г. В настоящее время эта теория является основой для всех работ, посвященных исследованию пластичности с поверхностями нагружения, имеющими угловые точки. Основные положения теории Койтера согласуются с принципом минимума работы истинных напряжений на пластических деформациях, выраженным неравенством (3.9). Рассмотрим особые точки 2р как точки пересечения некоторого количества регулярных поверхностей с уравнениями вида [c.437]

Если ю принимает несколько значений из совокупности индексов к, то во время бесконечно малого элемента пути нагружения компоненты тензора напряжений продолжают соответствовать особым точкам поверхности нагружения. Если со = /, где у — единственный фиксированный индекс, то во время бесконечно малого пути нагружения происходит переход из особой точки в регулярную точку поверхности 2р. Если индексы О принимают все значения из совокупности индексов к, то такой процесс нагружения называется полным. [c.438]

Пусть корни этого уравнения будут X и. Так как по физическому смыслу наших функций Z ъ F (см. дальше примеры движения грунтовых вод) мы должны считать их имеющими лишь регулярные особые точки (см. по этому поводу Б. Девисон [2]), то Z и F вблизи особой точки, например точки < == О, должны выражаться линейно через функции и вида [c.99]

Регулярные особые точки—наиб, простой и хорошо и-аученный тип ОТ. Точка zq является регулярной ОТ ур-ния (4) тогда и только тогда, когда [c.77]

I. Юшссические методы нахождения замкнутых траекторий систем обыкновенных дифференциальных уравнений около (регулярных) особых точек восходят к работам А. Пуанкаре (1892 г.) (см., например, 3). Позже исследования по данному вопросу были продолжены в работах А. А. Андронова, Хопфа, и других авторов (например, известная бифуркация рождения цикла из слабого фокуса в многомерном пространстве). [c.136]

Регулярные особые точки. Особая точка уравнения общего положения регулярна, если криминанта в ней не касается контактной плоскости. [c.38]

Теорема Чибрарио ((М. СШгаг1о), доказательство см. в [8, 4ж]). В окрестности регулярной особой точки уравнение эквивалентно уравнению /7 ==х. Эта эквивалентность гладкая для гладких уравнений, аналитическая для аналитических. [c.38]

Этот параграф посвящен теории линейных уравнений и систем с регулярными особыми точками на СР и ее приложениям к теории абелевых интегралов и клейновых групп. [c.129]

Все основные обыкновенные дифференциальные уравнения, встречающиеся в математической физике, получаются нз следующего уравнения с пятью регулярными особыми точками (1<г<4) x + Lxi2(t — ar)+x(A+Bi) l )l a.(i — a,)= 0 (теорема Клейна и Бохера (F. Klein, М. Bo her) [1, с. 667]). [c.134]

Проблема Римана—Гильберта для круга. Если в предыдущих проблемах сферу заменить на круг, то они решаются следующим образом. Строится матричная функция на универсальной накрывающей над кругом с выколотыми особыми точками, имеющая заданную группу монодромии и регулярные особые точки. Затем проверяется, что она удовлетворяет фуксовой системе уравнений. [c.135]

В дифференциальной геометрии по казывается, что множество касатель ных г, проведенных к поверхности Ф в некоторой ее точке А, принадлежит плоскости Т, если точка А является ее регулярной (обыкновенной) точкой. Если же точка А является особой точ кой поверхности Ф, то множество каса- [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...