Изоморфизм пространства

Тем самым установлен изоморфизм пространств унитарных матриц и кватернионов. [c.110]

Другими словами, рассматриваемое преобразование сохраняет норму. Учитывая изоморфизм пространств Но и Е , получаем, что такое преобразование эквивалентно вращению трехмерного пространства. [c.112]

Замечание 1, Оператор рсА осуществляет изоморфизм пространств [c.132]

Изоморфизм пространства 308 Лагранжиан 258 [c.474]

За доказательством этой теоремы мы отсылаем читателя к теореме С из раздела 41 [111]. Каждая мера канонически продолжается до полной меры на пополнении 5. Например, отметим, что 7--алгебра измеримых по Лебегу множеств представляет собой пополнение относительно меры Лебега сг-алгебры борелевских множеств. Пусть (Х,5,ц) и (Y,T,v) — пространства с мерами. Тогда отображение f X - У (определенное п. в) называется изоморфизмом пространств с мерами X и У, если / индуцирует изоморфизм S - Т пополнений S и Т. Пространства с мерами могут быть, таким образом, классифицированы с точностью до изоморфизма, и они изоморфны тогда и только тогда, когда их измеримые сг-алгебры изоморфны. [c.715]

В эргодической теории тоже имеются понятия, играющие роль морфизмов (т. 2). Основное из них—метрический изоморфизм ДС с инвариантными мерами. От топологического изоморфизма он отличается тем, что является не гомеоморфизмом, а изоморфизмом пространств с мерой. [c.165]

Применение постулата пластичности к аналогичному замкнутому по деформациям процессу в пространстве напряжений приводит к изоморфизму уже полученного следствия [c.257]

Доказательство. Каноническая структура на устанавливает изоморфизм между пространствами векторных полей и дифференциальных форм на М ". Векторному полю а ставится в соответствие 1-форма 2 , определяемая соотношением [c.246]

В Э. т. важную роль играет понятие изоморфизма ДС. Системы r J и Т г изоморфны, если между их фазовыми пространствами (из к-рых, быть может, предварительно выброшено по множеству нулевой меры) можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохра- [c.626]

Рассмотрим естественное отображение ТМ Т М, порожденное римановой метрикой д,д) —> д,р), где р — дТ/дд. Очевидно, что р — линейная форма на ТдМ. Квадратичная форма Т положительно определена, поэтому линейное отображение д р — изоморфизм линейных пространств ТдМ н Т Ы. [c.23]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177]

Пусть е ,. . ., е Г СГ К" — образующие стационарной группы Г (см. лемму 3). Отобразим линейное пространство К = = (ф, у) на пространство К" = так, чтобы векторы /г перешли в е,-. Пусть А К"К" — такой изоморфизм. [c.244]

Попросту говоря, мы переносим форму р из касательного пространства в точке х в касательное пространство в точке / (х) при помощи диффеоморфизма / (производная которого в точке х устанавливает изоморфизм между этими двумя касательными пространствами). [c.326]

В этой ситуации невырожденное отображение периодов индуцирует на базе пуассонову структуру. Действительно, построенный выше изоморфизм кокасательного пространства базы с группой гомологий (снабженной кососимметрической формой пересечений) определяет билинейную кососимметрическую форму пары кокасательных векторов. Скобка Пуассона двух функций в точке определяется как значение этой формы на дифференциалах функций. [c.433]

Определение 5.5.1. Пусть Е — линейное пространство. 2-тензор а Е X Е Ш называется невырожденным, если а v>-+ а(v, ) — изоморфизм Е на двойственное пространство Е. Этот тензор называется антисимметричным, если a v, w) = —a w, v). Невырожденная антисимметричная 2-форма называется симплектической формой. Линейное пространство с фиксированной симплектической формой называется симплектическим векторным пространством. Если (Е, а) и (F, ) — симплектические векторные пространства, то линейное отображение Т Е F называется симплектическим, если Т /3 = а [c.226]

Пространство, двойственное к конечномерному пространству, изоморфно ему, В случае гильбертова пространства имеется естественный изоморфизм каждый непрерывный линейный функционал представляется в виде (у, ) для некоторого вектора . Иногда такое явление наблюдается н для других линейных пространств, но вообще оно не очень распространено. Рассмотрим, например, пространства измеримых функций, р-норма которых [c.700]

Как показывает следующая теорема, с точностью до изоморфизма эта конструкция не дает новых интересных пространств. [c.715]

Эта формула означает в точности такое же преобразование, какое получается с помощью параметров Эйлера в теореме 2.(3.1. Чтобы убедится в этом, достаточно воспользоваться изоморфизмом пространства косоэрмитовых матриц и пространства ДЗ.О [c.108]

З станавливает изоморфизм пространств hiG) и L f Th), После преобразования Фурье [c.242]

Производная любого отображения периодов определяет линейное отображение касательного пространства базы в слой когомологического расслоения. Невырожденное отображение периодов определяет изоморфизм пространства касательного расслоения базы с когомологическим расслоением. [c.96]

Формулы (7.4) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между векторами г из и из Ф°. Поскольку соотношения (7.4) линейны, то при этом соответствии сохраняются линейные операции. Отсюда следует, что пространства и Ф° изоморфны. Итак, пространство Ф° решений однородной системы 5 уравнений равновесия (7.1) с р неизвестными и с рангом Со=5< изоморфно пространству Фр .5. Изоморфизм пространств Фр г и Ф позволяет заключить, что размерность пространства Ф° равна р—5. Любая система—5 линейно-незавпси-мых решений (7.1) является базисом в пространстве Ф° и называется фундаментальной системой решений. На основании изоморфизма пространств и Ф любой базис пространства Фр г переходит в соответствующий базис [c.149]

Этот изоморфизм интересен потому, что он объединяет вместе противоположные подходы к гамильтоновой динамике. С одной стороны, динамика в пространстве QTPH имеет столь большую общность, какую только можно пожелать в настоящее время, причем как время t, так и гамильтониан Н входят в уравнения математически равноправно с q, р), так что теория вполне пригодна для применения в релятивистском случае. С другой стороны, динамика консервативной системы в QP охватывает те проблемы, которые являются наиболее известными в ньютоновой динамике и возникают из рассмотрения движения систем частиц и твердых тел. [c.335]

Динамика многомерных Т. с. Топологич. анализ дефектов даёт лишь качественные ответы и необходимые критерии существования стабильных Т. с. типа наличия изоморфизмов = Z для пространств вырождения параметров порядка. При этом в роли параметров порядка могут фигурировать скалярные, комплексные, векторные и в общем случае тензорные поля. Количественное описание Т. с, основывается на построении, как правило, нелинейных дикамич, моделей, обладающих след, свойствами (а) ур-ния Эйлера — Лагранжа модели допускают регулярные локализованные решения с конечными динамич. характеристиками (энергией, импульсом, моментом импульса и т. д.) (б) состояния наделены нетривиальными топологич. характеристиками Q (зарядами, индексами и т. д.) (в) функционал энергии модели оценивается снизу через топологич. инвариант Q < > /(Q), = onst, что обеспечивает динамич. устойчивость Т. с. [c.138]

В общей Э, т. можно выделить ряд направлений, занимающихся изучением тех или иных свойств ДС. Так, спектральная теория ДС применяет методы функционального анализа для изучения семейства линейных операторов [/ , порождённого ДС, Эти операторы действуют по ф-ле (U f)(x)=f T x) в гильбертовом пространстве L — L (X, s/, ц), состоящем из комплекснозначных ф-ций fix), х Х, с интегрируемым по мере и квадратом модуля. Другое направление—энтропийная теория ДС — основано па тесной связи Э, т. с теорией вероятностей и на применении теоретико-вероятностных и теорсти-ко-информац. идей. В прикладной Э. т. существуют разделы, в к-рых по преимуществу изучаются ДС, возникающие в теории вероятностей, дифферекц. геометрии, теории чи ел, статистич. физике и др. областях математики и фи зики (впрочем, мн. системы имеют смешанное происхождение, а вследствие изоморфизма само представление [c.626]

Кроме энтропии в Э.т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о топологич. энтропии— числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру ц, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h , зависящую, вообще говоря, от ц. Ехли фазовое пространство X компактно, то supA по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией А, р. Отсюда следует, что А, р является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера ц, для к-рой h =htop, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для авто орфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э.т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич, давлением (см. ниже). [c.631]

В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос. Сейчас достаточно заметить, что все соображения, высказанные выше относительно изоморфизма, основаны на рассмотрении только одной конфигурации тела в пространстве, и нет ничего удивительного, что при рассмотрении более чем одной конфигурации возникают усложнения. Механика сплошных сред является как раз той областью, в которой используется более чем одна конфигурация и которая нуждается в концепции телесных полей. Если необходимость в рассмотрении более чем одной конфигу рации отсутствует, то нет никакого смысла делать раз личие между телесными и пространственными полями В самом деле, в силу изоморфности обоих типов полей они в математическом смысле не различимы до тех пор пока рассматривается только одна конфигурация. [c.395]

При обычных предположениях коэрцитивности на Лар в и aapva отображение А является изоморфизмом V на его дуальное пространство V В — линейный компактный оператор из [c.211]

В теории у пру го пластических процессов используется совмещение пространств Э5 и 2s, в частности, при задании образа процесса нагружения тела, который определяется как совокупность траектории деформаций, значений скаляров Т (температура), р, v = dsjdt и др. в каждой ее точке и построенных в каждой точке физических векторов (например, сг). Скаляр р рассматривается при этом как один из параметров процесса не только потому, что он не может быть учтен в траектории деформаций, но и потому, что в реальных экспериментах гидростатическим давлением действительно можно управлять как независимым параметром (такие установки описаны, например, в [5, 6] ). Относительно образа процесса A.A. Ильюшиным сформулирована следующая гипотеза-постулат изотропии [1, 2] ...образ процесса нагружения полностью определяется только внутренней геометрией траектории деформаций (т.е. величинами Kj s)) и скалярными параметрами Т, р, V и др., т.е. образ процесса инвариантен относительно преобразований вращения и отражения всего образа в Э5 . Согласно теореме изоморфизма [1] постулат изотропии справедлив и в пространстве напряжений. На основании постулата изотропии связь а — э в общем случае представляется в виде а=Л/рр / = 1,..., 5 (р - векторы сопровождающего естественного пятигранника Френе, построенного на траектории деформаций) или в виде [c.41]

Имеется еще один распространенный вариант определения симплектической структуры и гамильтоновой системы. Исходным пунктом здесь является замкнутая невырожденная 2-форма П на четномерном многообразии М. Форма П позволяет построить естественный изоморфизм касательного Т М и кокасательного Т М пространств вектору Т М ставится в соответствие ковектор [c.22]

Тем самым любое арифметическое пространство с заданным на нем кососкалярным произведением является симплек-тическим пространством и его можно рассматривать, как координатное пространство некоторого абстрактного симплектического пространства относительно симплектического базиса Е2т- Путем фиксирования симплектического базиса в абстрактном векторном пространстве устанавливается изоморфизм этого пространства с симплектическим арифметическим пространством [c.308]

Согласно теореме изоморфизма образов процессов [165, 169 J за основное может быть принято как пространство вектора деформаций, так и пространство вектора напряжений. В настоящих исследованиях процесс нагружения задавали траекториями нагружения (траекториями напряжений) в плоскости двухмерного вектора S = -f Sapa (pi, p2 — единичные векторы), составляю- [c.340]

Задача 5. Доказать, что отображения А - - и Аь- устанавливают изоморфизмы линейного пространств . К векторов А с линейными пространствами 1-форм в и 2-форм в Если в К выбрана ортонорми-рованная, ориентированная система координат (х , х , х ), то [c.151]

Задача. Доказать, что5 соответствие м- ю есть изоморфизм линейных 2п-мерных пространств векторов и 1-форм. [c.177]

Отождествление алгебры Ли 9 с дуальным к ней пространством 9 имеет более глубокое основание. Дело в том, что на группе вращений существует (и единственна с точностью до множителя) двусторонне инвариантная риманова метрика. Эта метрика задает раз и навсегда выделенный изоморфизм линейных пробтранств 9 и 9 (а также TGg и T Gg). Она позволяет, следовательно, считать векторы угловой скорости и момента лежащими в одном евклидовом пространстве. В результате отождествления операция , превращается в коммутатор алгебры, взятый со знаком минус. [c.290]

Определение 4.1.20. Пусть Т XX и S Y Y — сохраняющие меру преобразования лебеговских пространств (X, fi) и Y, и) соответственно. Отображения Т и S называются метрически изоморфными, если существует изоморфизм R (X, fi)- Y, и), т. е. такое инъективное (mod 0) преобразование, что R,fi = и а [c.154]

Определение П2.1. Топологическгм векторным пространством называется линейное пространство, снабженное хаусдорфовой топологией, которая инвариантна относительно сдвигов и умножений на скаляры (т. е. сдвиги и умножения на отличные от нуля скаляры являются гомеоморфизмами). Изоморфизмом топологических векторных пространств называют любой линейный гомеоморфизм. [c.698]

На конечномерном нормированном линейном пространстве все нормы эквивалентны. Таким образом, все конечномерные нормированные линейные пространства изоморфны евклидову пространству, и этот изоморфизм является билипшицевым. [c.699]

Еслн 6 V, то отображение V / ->/( ), яаляется ограниченным линейным функционалом на V (с у = ), а отображение Ф V V , V >- о , представляет собой изометрический гомоморфизм (по теореме Хана — Банаха). Если этот гомоморфизм является изоморфизмом, то пространство V называется рефлексивным. (Это более сильное требование, чем наличие изометрического изоморфизма между V и V . ) [c.700]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...