Свойства уравнения Пуанкаре

Свойства уравнения Пуанкаре [c.190]

Перед тем как приступить к решению нашей задачи, необходимо установить некоторые свойства уравнения Пуанкаре. Они формулируются ниже в теоремах 1-1У. [c.190]

Отметим, что основная идея в доказательстве теоремы Пуанкаре заключается в использовании теоремы Лиувилля о сохранении меры при преобразовании с помощью оператора Tf Никакие другие свойства уравнений Гамильтона здесь не используются. [c.441]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Следствие. Из свойств инварианта Пуанкаре, следует что каноническими уравнениями Гамильтона невозможно записать необратимые процессы. [c.600]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Из общих теорем существования интегралов уравнений с частными производными следует, что для всякой системы дифференциальных уравнений (36) существует бесконечно много функций ji положения и времени, удовлетворяющих равенству (70), Такие функции называются множителями системы (36), потому что по отношению R этой системе они обладают свойствами, аналогичными тем, которые для одного обыкновенного дифференциального уравнения имеет интегрирующий множитель Эйлера. Понятие об этих множителях и название их принадлежит Якоби, который выявил их важность для интегрирования системы (36)jS мы не будем останавливаться здесь на этом и ограничимся лишь, следуя Пуанкаре i), замечанием, что функция под [c.293]

Этот интеграл называют интегральным инвариантом уравнений, описывающих движение системы, в данном случае уравнений Гамильтона. Сказанное справедливо только для интегралов, взятых по замкнутой кривой в этом смысле интегральный инвариант называют относительным. Речь идет об известном интегральном инварианте Пуанкаре. Существование этого интегрального инварианта выражает фундаментальное свойство гамильтоновых систем. В дальнейшем, при более детальном рассмотрении уравнений Гамильтона, мы дадим более подробный анализ этого, а также других интегральных инвариантов. [c.274]

В настоящей книге свойства поляризованного света рассматриваются с помощью таких алгебраических выражений, как уравнение (1.28). Этот метод прост, быстро приводит к цели и позволяет непосредственно и легко отобразить физическую картину явления. Его недостаток заключается в необходимости производить длительные, иногда громоздкие алгебраические преобразования. Свойства поляризованного света можно изучать также с использованием сферического отображения, предложенного Пуанкаре [3] и недавно использованного авторами работ [4, 5] ). Их можно изучать также по методу /-круга , который особенно полезен при анализе объемных задач [6]. [c.34]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Кроме того по доказанной Фридрихсом теореме, спектр уравнения Шредингера с потенциальной энергией, равномерно стремящейся к бесконечности при стремлении точки конфигурационного пространства к бесконечности, дискретен (отметим, что это условие эквивалентно условию конечности объема фазового пространства в возвратной теореме Пуанкаре). По этим двум причинам, какова бы ни была желаемая точность, можно указать такой промежуток времени, по истечении которого Т( г, t) каждый раз будет с желаемой точностью (в смысле среднего квадратичного) возвращаться к исходному состоянию. Для определения этого промежутка времени следует отбросить остаточный член ряда Y x, t), обладающий достаточно малой нормой, и рассматривать свойства периодичности п первых членов ряда. По истечении этого времени с желаемой точностью будут возвращаться к исходному состоянию и законы распределения в конфигурационном и импульсном пространстве, и, следовательно, величина [л , определенная выше, сможет превзойти 1 — при любом . [c.166]

Пуанкаре, подводя итоги своих научных трудов, указывал, что канонические уравнения обладают замечательными интегральными инвариантами, и существование этих инвариантов проливает яркий свет на их свойства [2]. Это обстоятельство сразу привлекло внимание ученых к новой теории. [c.61]

Я Вам уже писала о превосходной работе Фукса о дифференциальных уравнениях, обладающих такими же свойствами, как дифференциальные линейные уравнения. Фукс обещал мне послать Вам один экземпляр не знаю, сделал ли он это. Но вот что чрезвычайно странно. Не прошло и двух недель, как Фукс представил эту работу в Академию, а Пуанкаре уже успел воспользоваться ею, чтобы положить ее в основу новой работы, которую он только что доложил в Парижской Академии. Теперь после того, как Фукс сообщил идею, лежащую в основе его исследований, она кажется настолько простой и естественной, что трудно понять, как она не пришла в голову раньше. [c.22]

Вначале задача интегрирования трактовалась лишь аналитически найти явные формулы для интегралов и решений уравнений движения. Однако после работ Пуанкаре стало ясно, что свойство интегрируемости тесно связано с особенностями поведения траекторий в целом. При глобальном изучении динамических систем существенную роль играют топологические рассмотрения. Сравнительно недавно обнаружено, что сложная топология кон- [c.6]

Начиная с Пуанкаре, математики много занимались изучением так называемой задачи о бильярде. В этой математической задаче часть плоскости ограничивается выпуклой кривой, которая рассматривается как абсолютно упругая стенка. Задача состоит в изучении свойств траекторий движения частицы, которая внутри части плоскости, ограниченной кривой, движется равномерно и прямолинейно, а при выходе на границу отражается по закону абсолютно упругого удара модуль скорости не изменяется, а направление скорости определяется из условия равенства углов падения и отражения (рис. 54). Этой модельной задаче присущи многие особенности движений механических систем, но при ее анализе нет надобности в интегрировании дифференциальных уравнений. [c.165]

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког- [c.255]

Гиперболические динамические системы с особенностями возникают во многих важных физических проблемах. Кроме того, при переходе к отображению Пуанкаре потоков, отвечающих гладким, даже аналитическим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, часто теряется гладкость (см. далее). Переход же к отображению Пуанкаре и представление исходного потока в виде специального потока (см. гл. 1, 4) являются в настоящее время наиболее эффективными методами исследования эргодических свойств динамических систем с непрерывным временем. [c.173]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Качественные методы исследования дифференциальных уравнений, указанные Ляпуновым и Пуанкаре и в дальнейшем развитые в многочисленных трудах других ученых, позволяют при надлежащем выборе параметров, ха-рактеризуюпщх движение системы, установить ряд свойств движения на основании анализа соответствующих дифференциальных уравнений и их из-108 вестных интегралов. [c.108]

Скажем еш,е несколько слов о так называемом качественном исследовании движения. Очень часто нас не так интересует точный или приближенный закон движения точки, как некоторые обилие свойства этого движения — будет ли оно колебательным или нет если будет колебательным, то будут ли размахи возрастать с течением времени или убывать будет ли движение устойчивым или нет и т. п. Так называемая качественная теория дифференциальных уравнений, созданная А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяет не интегрируя дифференицальных уравнений движения указать его качественную характеристику ) — а именно это и важно в очень многих случаях. Например, если маятник отклонить из положения равновесия и сообщить ему некоторую начальную скорость, то, не интегрируя уравнения его движения, мы можем сказать, будет ли он колебаться или будет двигаться, совершая полные обороты и т. п. Знаменитые диаграммы И. А. Вышнеградского в теории автоматического регулирования позволяют исследовать качественный характер изменения угловой скорости регулятора ). [c.40]

До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве [10, 11] был получен ряд результатов отрицательного характера, касающихся существования новых алгебраических интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изящные отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике [12, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраическими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариантной природе уравнений динамики. [c.36]

Основы топологической динамики были заложены Пуанкаре, когда он предложил качественное описание решений дифференциальных уравнений, которые не могут быть решены аналитически. Одним из его ранних достижений была классификация отображений окружности (теорема 11.2.7). М. Морс и Дж. Д. Биркгоф внесли большой вклад в топологическую динамику, пытаясь понять поведение более классических систем (геодезических потоков и гамильтоновых систем). Позднее подход, основанный в большей степени на внутренних свойствах топологической динамики, разрабатывался Г. Хедлундом, Дж. Окстоби и другими. Важная область топологической динамики — теория дистальных расширений X. Фюрстенберга, которая в дальнейшем разрабатывалась Р. Эллисом. [c.21]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

После того как былн выяснены особенности свойства сходимости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообш е получающиеся в теории возмущений ряды действительный математический смысл Если бы для достижения этого захотели бы ограничить средние движения, а значит, также и V, такими значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее приближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное множество. Но в действительности на этом пути мы только переместили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши— Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть аналитические функции постоянных интегрирования, и едва ли можно объяснить, как можно использовать решение дифференциальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для определения постоянных интегрирования из наблюдений. [c.504]

В формальном отношении очень гибким при отыскании решения оказывается уравнение Гамильтона —Якоби. Наиболее плодотворно оно используется Пуанкаре в его исследованиях на эту тему во втором томе его Methodes nouvelles . Большое преимущество уравнений в частных производных лежит в почти исчерпывающей возможности, которую они представляют для введения избыточных постоянных интегрирования. Используя это свойство и исходя из метода Пуанкаре, мы показали [88], как. можно различными способами прийти к тригонометрическим выражениям для элементов. Проведем здесь эти исследования более обстоятельно. При этом мы ограничимся астероидной задачей трех тел, ибо в этом случае рассуждения будут более короткими. С другой стороны, это связано с тем обстоятельством, что сейчас не существует каких-либо практических методов, чтобы выразить численно координаты в тригонометрической форме в общей задаче трех тел. Теоретическую возможность такого представления мы показали в предыдущем параграфе. [c.603]

Нашей конечной целью является построение семейства решений уравнения (1), исследование которого можно проводить методами символической динамики. Поскольку, однако, в предыдущей части речь шла лишь об отображениях, первым нашим шагом должно быть построение секущей поверхности в смысле Пуанкаре и соответствующего отображения (функции последования) 5. При этом используются лишь самые общие свойства функции Я, сформулированные ниже как основные предположения . При выполнении еще и дополнительных предположений для отображения 5 удается построить инвариантное множество достаточно сложной структуры, на котором действие 3 изоморфно топологической марковской цепи . Переходя обратно от отображения 3 [c.73]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Уравнения (1.11) будем называть уравнениями Эйлера—Пуанкаре. В качестве комментария рассмотрим частный случай, когда С есть группа 50(3). Свойство левоинвариантности кинетической энергии вращающегося волчка очевидно. Используя коммутационные соотношения (1.10), уравнения (1.11) легко привести к форме [c.154]

Первые общие теоремы касаются движения центра массы н были даны Ньютоном в Началах . Десять интегралов н теоремы, к которым онн приводят, были известны Эйлеру. Следующим общим резуль ятом было доказательство существования и рассмотрение свойств неизменной плоскости Лапласом в 1784 г. В зимнем семестре 1842 4i г. Якоби прочел курс лекций по дишмнке в Кенигсбергском университете. В этом курсе он привел результаты некоторых очень важных исследований интегрирования диференциальных уравнений механики. Во всех случаях, когда силы завися г от одних координат и когда существует потенциальная функция (условия, выполненные в задаче я тел), он доказал, что если все интегралы, кроме двух, найдены, то последние два могут быть всегда найдены. Он также показал, развивая некоторые исследования В. Гамильтона, что задача может быть приведена к решению диференциального уравнения с частными производными, порядок которого в два ряза меньше порядка первоначальной системы. Лекции Якоби опубликованы в дополнительном томе к собранию его сочинени.1. Они очень важны сами по себе, а также абсолютно необходимы как вступление к чтению составивших эпоху мемуаров Пуанкаре и должны быть доступны для каждого изучающего небесную механику. [c.246]

Пуанкаре (Н. Poin are) [ ], [ ] (см. также [ ], [ ]). Канонические преобразования можно эффективно анализировать с помощью производящих функций. Как было показано в [ ], [ ], уравнения для производящих функций, которые подлежат определению в плоских и осесимметричных задачах теории пластичности, обладают важными свойствами инвариантности относительно преобразований Лежандра п Ампера. [c.47]

Канонические отображения в четномерных пространствах исследовались Пуанкаре в связи с интегрированием уравнений Гамильтона и теорией интегральных инвариантов [ ]. Особые свойства плоских канонических отображений были отмечены в [ Изложение теории канонических отображений читатель может найти в классической монографии [ [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...