Евклидова геометрия

Н. Ф. Четверухина (1891 —1974) по аксиоматике евклидовой геометрии и геометрическим построениям естественным образом связаны с его многочисленными работами в области начертательной геометрии. Фундаментальные результаты получены Н. Ф. Четверухиным по основной теореме аксонометрии, методам параметрического исследования изображений и теории позиционной и метрической полноты изображений, многомерной начертательной геометрии. Учебники [1, 2, 4, 7], написанные под редакцией Н. Ф. Четверухина и при его активном авторском участии, сыграли важную роль в совершенствовании преподавания начертательной геометрии во втузах. [c.171]

Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство и все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается один метр. [c.154]

До недавнего времени развитие науки базировалось на евклидовой геометрии и законах классической термодинамики, установленных для изолированных систем, т.е. для таких систем, которые не допускают переноса энергии и вещества через свои границы. В дальнейшем была показана возможность использования этих законов и для закрытых систем, допускающих перенос энергии через свои границы. Однако, в природе, как правило, системы являются открытыми, т.е. обмениваются энергией и веществом с окружающей средой. [c.3]

Пространство, имеющее три измерения, подчиняется евклидовой геометрии. [c.172]

Положение точки, в которой происходит событие, может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась вполне реальными приемами сравнения измеряемых величин с образцовыми эталонами. [c.179]

Однако эти обитатели всегда могут сказать, что законы геометрии на плоскости точно описывают их двумерный мир, а причина указанного несоответствия связана со свойствами линеек, применяемых для измерения кратчайшего расстояния и определения прямой линии. Они могут сказать, что метровые линейки не имеют постоянной длины, а растягиваются и сжимаются, когда их переносят в различные места поверхности. Только в результате непрерывных измерений, выполненных различными способами и давших одинаковый результат, становится очевидно, что наиболее простое объяснение нарушения евклидовой геометрии заключается в том, что поверхность имеет кривизну. [c.26]

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью наше положение определяется положением Земли, и мы еш,е не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве [c.27]

Можно возразить, что сам этот метод измерения расстояний основан на предположении, что применима евклидова геометрия. Однако имеются другие методы определения расстояний, которые излагаются в современных книгах по астрономии. [c.29]

До сих пор ничего не говорилось о применимости евклидовой геометрии для описания очень маленьких конфигураций, сравнимых по величине с размерами атома (10 см) или атомного ядра (10 см). Вопрос о том, справедлива ли здесь евклидова геометрия, надо сформулировать следующим образом можем ли мы получить правильное представление о внутриатомном мире и создать эффективную теорию, описывающую этот мир, сохраняя предположение о выполнимости аксиом евклидовой геометрии Если можем, то нет оснований подвергать сомнению применимость евклидовой геометрии в качестве достаточно хорошего приближения. Мы увидим в т. IV, что теория атомных и внутриатомных явлений, по-видимому, не приводит к парадоксам, препятствующим нашему пониманию этих явлений. Многие факты еще остаются непонятными, но среди них нет таких, которые приводили бы к противоречиям из-за геометрических [c.31]

Мы можем сформулировать некоторые следствия экспериментально доказанного утверждения о том, что евклидова геометрия применима к физическим явлениям. [c.32]

Преобразование Лоренца соответствует поворотам системы координат в пространстве — времени. В специальной теории относительности доказывается инвариантность физических законов только относительно этого типа преобразований. Обычная векторная алгебра дает нам систему обозначений, не зависящую от какой-либо конкретной системы координат в обычном трехмерном пространстве. Значение открытия Эйнштейна состоит в обобщении собственно преобразования Лоренца и простой геометрии четырехмерного пространства — времени.. В общей теории относительности Эйнштейн доказал возможность выразить физические законы в форме, независимой от любых преобразований я пространстве — времени, а не только преобразований перехода от одной неускоренной системы отсчета к другой. При этом четырехмерное пространство — время уже не является пространством с евклидовой геометрией — наоборот, оно может обладать кривизной. [c.371]

Если некоторая материальная точка покоится относительно этой системы координат, то ее положение относительно последней может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. [c.373]

Пространства. В классической механике такой геометрией, единой для всех систем отсчета, служит евклидова геометрия. В механике космических объектов геометрические свойства пространства связываются с особенностями распределения в нем материи. Законы геометрии такого пространства отличны от геометрии Евклида. [c.11]

Евклидова геометрия 11 Евклидово пространство 142 [c.347]

Предполагается, что абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство. Наблюдения показывают, что для небольших по размерам областей реального физического пространства евклидова геометрия справедлива. [c.13]

Предположим теперь, что мы ничего не знаем ни о каких постулатах, и примем (1.5.1) без доказательства как определение линейного элемента. Зная, кроме того, что переменные X, у, Z изменяются в пределах от —оо до + оо, мы можем отсюда вывести все положения евклидовой геометрии, включая и интерпретацию х, у, z как прямоугольных координат. Аналогично, если квадрат линейного элемента задать в виде [c.40]

В пространстве конфигураций имело смысл введение определенного вида геометрии, приче.м эта геометрия оказалась римановой. В фазовом пространстве ситуация иная оно не имеет определенной метрики, и мы для удобства будем считать, что qi и р,- являются прямоугольными координатами 2п-мерного евклидова пространства. Поскольку нет особых оснований для введения метрики в фазовом пространстве, евклидова геометрия столь же хороша, как и всякая другая. [c.202]

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия— не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является выпрямление пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой ds определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом. [c.320]

ТОЛЬКО евклидовой геометрии. Это инвариантное свойство присуще метрической геометрии любого вида. [c.326]

Следовательно, в окружающем пространстве действует евклидова геометрия во всем ее богатстве (включая векторную алгебру). [c.8]

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евклидово проетранство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1 м. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых [c.95]

Это, кратко говоря, связано с тем, что количественное отклонение реальных законов механических движений от законов классической механики проявляется либо при больших скоростях, приближающихся к скорости света в пустоте, либо вблизи колоссальных скоплений вещества, таких, какие, например, существуют в Солнце. Р1збирая некоторую систему координат как условно неподвижную систему, мы вносим, конечно, ошибку, но чаще всего эта ошибка количественно невелика, и мы практически получаем возможность пользоваться подвижной системой как условно неподвижной. Об этом будет подробнее сказано в той части этой книги, в которой рассматриваются основные положения динамики. Для кинематики существенным является отнесение геометрии физического пространства к евклидовой геометрии. Выбор неподвижной системы координат в кинематике зависит от условий конкретной задачи и не связан с физическими предположениями, о которых шла речь выше. [c.68]

На основании результатов астрономических измерений мы сделали вывод, что евклидова геометрия дает нам исключительно хорошее описание измерений длин, площадей и углов по меньшей мере до тех пор, пока мы не остигнем огромных длин, порядка 10 см и выше. [c.31]

Возвращаясь к вопросу о системах отсчета, можем сказать, что инерциальные системы характеризуются (исевдо) евклидовой геометрией (66). [c.477]

На средней поверхности пологой оболочки вследствие малок гауссовой кривизны (k = kik2) геометрию поверхности заменяют евклидовой геометрией на плоскости ее проекции, а уравнение Гаусса (7.21) —приближенным уравнением [c.250]

Использование в пространстве Минковского прямоугольных координат обусловлено тем, что в спещ1альыой теории относительности рассматривались только инерниальные системы, т. е. системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. На такие системы по первому закону Ньютона не действуют внешние силы. Однако гакое нлоское четырехмерное пространство является физической абстракцией, так как хорошо известно, что существует одна сила, которая действует везде и всегда,— это сила тяготения. От нее нельзя заслониться никакими экранами, как, например, это можно сделать в случае электромагнитного взаимодействия. Под действием силы тяготения все тела и системы отсчета движутся с ускорением. Напрашивается важный для понимания сущности гравитации вывод инер-циальные системы принципиально непригодны дпя описания тяготения. Для описания действия гравитационных сил надо отказаться от столь привычной вам евклидовой геометрии. Тяготение требует использования нового математического аппарата. Такой аппарат был уже создан. Громадный вклад в разработку 140 [c.140]

В последние годы для анализа сложной поверхности статического и усталостного разрушения, наряду с обычной фрактографией, все шире используются методы фрактальной и мультифрактальной параметризации. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эги повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные фюрмы имтцнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта называется [c.66]

Всякое движение тел совершается в пространстве и во времени. Движение тел в пространстве рассматривается относительно произвольно выбранной системы координат, которая, в свою очередь, связана, с каким-либо телом, называемь1м телом отсчета. Тело отсчета и связанная с ним система координат называются системой отсчета. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается одни метр. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда. Время является скалярной непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики его принимают за независимое переменное. Все другие величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как функции времени. В дальнейшем при изучении кинематики и динамики часто используются понятия момент времени / и промежуток времени А/ . Под моментом времени I будем понимать число единиц из.мерения времени 1 (напри.мер, секунд), прошедших от некоторого начального момента (начала отсчета времени), например, от начала движения. Про.нгжутком времени будем называть число единиц времени At = — П, отделяющих два каких-нибудь [c.89]

Как уже упоминалось, термодинамика является наукой феноменологической. Основу термодинамического метода составляют постулаты и три закона (или начала) термодинамики. Оказывается возможным, исходя из небольшого числа общих законов, получить в термодинамике весьма глу(юкие результаты. В этом смысле изложение термодинамики мэжно построить таким же образом, как это делается, скажем, в евклидовой геометрии. Перейдем к изложению основных понятий и определений термодинамики. [c.30]

Евклида. Для поверхностей неразвертывающихся с ненулевой гауссовой кривизной евклидова геометрия уже не имеет места (например, для сферической поверхности). [c.235]

Теперь, чтобы довести до конца рассмотрение вопроса о допустимых системах отсчета, хотя бы в виде кратких указаний, мы перейдем от специальной теории относительностщ которую мы рассматривали до сих пор, к общей теории относительности (Эйнштейн, 1915 г.). В специальной теории относительности имеются правомерные системы отсчета, преобразующиеся друг в друга путем преобразований Лоренца, и неправомерные системы отсчета, например, системы, движущиеся ускоренно относительно правомерных. В общей же теории относительности допускаются всевозможные системы отсчета преобразования между ними не должны, подобно (2.10), быть линейными или ортогональными, а могут быть заданы произвольными функциями = fk xiy Х2у жз, Х4). Таким образом, речь идет о системах отсчета, произвольно движущихся и произвольно деформированных по отношению друг к другу. При этом пространство и время утрачивают последние черты той абсолютности, которой они обладали в основоположениях Ньютона. При подобных рассмотрениях даже евклидова геометрия оказывается недостаточной для этой цели и должна быть заменена значительно более общей геометрией, основание которой было заложено Риманом. При этом возникает задача придать физическим законам такую форму, которая делала бы их справедливыми для всех рассматриваемых систем отсчета, другими словами, придать им форму, инвариантную по отношению к любым точечным преобразованиям x j = //г(ж1,. .., Х4) четырехмерного пространства. В разрешении этой задачи и заключается положительное содержание общей теории относительности. Очень сложная в математическом отношении форма. [c.28]

Для бесконечно малых областей справч длпва евклидова геометрия, хотя она не справедлива для больших областей. [c.43]

Эта теорема стала теперь гораздо более обш,ей. Раньше ортогональность траекторий и волновых поверхностей рассматривалась лишь в обычной евклидовой геометрии. На самом же деле эта теорема справедлива для той неевклидовой и даже неримановой геометрии, которая внутренним образом связана с данной механической задачей. Поэтому наши прежние рассуждения были справедливы благодаря тому в какой-то мере случайному обстоятельству, что линейный элемент внутренней геометрии был пропорционален евклидову линейному элементу [см. (8.9.1)]. [c.328]

В евклидовой геометрии существуют координаты, в к-рых коварпантная производная f F дР< flx сводится к обычной (а Кристоф- [c.491]

Области пространства-времени, где справедлива частная О. т., характеризуются тем, что в них могут быть введены локально инерциальные системы отснёта (и. с. о.), в к-рых свободные от внеш. воздействий точечные тела и импульсы света движутся прямолинейно и равномерно. В реальной Вселенной гравитац. ноля глобально не устранимы и присутствуют всюду. При наличии таких полей условия, требуемые для введения и. с. о., не выполняются, в частности ни точечные тела, ни импульсы света не движутся прямолинейно. Однако в тех областях, где эти поля однородны, можно, в силу эквивалентности принципа, ввести падающие свободно и без вращения системы отсчёта, в к-рых эти поля исчезают. Такие системы отсчёта и являются инерциальны.ми. Любая система отсчёта, движущаяся равномерно и без вращения относительно данной и. с. о., также является инерциальной. В и. с. о. справедлива евклидова геометрия для пространства. Утверждение о равномерности движения предполагает определённый выбор синхронизации часов в разных точках и. с. о. (см. ниже). [c.494]

Обычно под частной О. т. подразумевают описание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимо задать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. систе-ма.х в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определения координат событий можно пользоваться декартовыми координатами j , х , х , или х, у, Z, где X, у, Z измеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональной декартовой системе -координат. Три координаты х, у, z объединяются в трёхмерный вектор г (или л ). Время t в данной точке г измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодов и есть время г. Предполагается, что часы во всех точках пространства и во всех и. с. о. одинаковы. В совр, метрологии оси. единицы для измерения длины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волн стандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома для заданных переходов). [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...