Топологическая марковская цепь

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

Динамическая система (2 , сг) называется односторонней топологической марковской цепью. —Прим. перев. [c.19]

Это определение корректно, так как, 5,я(5) ==п а(5)) (именно такие отождествления мы делаем при построении пространства Л (а, /)). Мы хотим, чтобы символический поток был гиперболическим. Вообще говоря, это не так, поскольку (Л, а) не является топологической марковской цепью. Чтобы добиться этого, следует выбрать семейство специальным образом. [c.115]

Определение. Топологической марковской цепью с матрицей переходов А называется символическая динамическая система (Ел.а), где [c.205]

Теорема 4.1 (о спектральном разложении ТМЦ). Пусть (Ел, 0) — топологическая марковская цепь, k= 1,. .., s,— ее классы эквивалентных возвратных состояний, — матрица переходов, отвечающая классу Тогда [c.206]

Допустим, что мы отмечаем не только сам факт изменения текущего состояния квазислучайного процесса — скажем, было а,-, стало aj, — но что этот переход из Ot в а, может происходить как бы несколькими способами, которые мы различаем. Такая ситуация описывается с помощью матрицы 8= bij), в которой bij равно числу различных способов перехода из а< в а ее (ситуацию и матрицу) можно отобразить также с помощью ориентированного (мульти) графа с вершинами Оь. .,, Оп, в котором из ai в aj ведет Ьц ребер. Состоянию ДС (которая по-прежнему называется топологической марковской цепью) по-прежнему соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ориентированным ребрам отличие от предыдущего случая состоит в том, что теперь этот путь не определяется заданием одних только вершин х , проходимых при движении по этому пути, а надо указывать также и проходимые ребра. Чисто символическая формализация сказанного очевидна. [c.161]

По существу, здесь никакого обобщения нет. Действительно, от топологической марковской цепи в этом смысле можно [c.161]

Каждая рхр-матрица П = из нулей и единиц определяет замкнутое инвариантное подмножество С условием [а ] = ш П 7Га а +1 = 1 ДЛЯ всех п. Ограничение Г П называется топологической марковской цепью (т. м. ц.) с р состояниями и матрицей переходов П. [c.147]

Основное достоинство марковского разбиения состоит в том, что образ 1 )(Л) оказывается топологической марковской цепью (ТМЦ) (2А, а) с матрицей переходов Л = (а у), где [c.145]

Доказательство. По следствию 1.9.12 и предложению 3.2.5 этот результат будет верен, если вместо /1д подставить некоторую топологически транзитивную цепь Маркова. Чтобы получить это утверждение для / д, заметим, что, поскольку / д —топологически перемешивающее преобразование, топологическая цепь Маркова, соответствующая его марковскому [c.621]

Постройте марковское разбиение и опишите соответствующую топологическую цепь Маркова для автоморфизма, где 2 1 ) [c.99]

Более общий класс инвариантных мер для ЛГ-сдвига и топологических цепей Маркова — марковские меры. Пусть П = 7Г ( у о —такая [c.167]

Другое непосредственное применение теоремы о семействах е-траекто-рий — конструкция марковской аппроксимации, согласно которой компактное локально максимальное гиперболическое множество является фактором топологической цепи Маркова. [c.573]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Следствие 20.1.5. Топологически транзитивная топологическая цепь Маркова обладает единственной мерой максимальной энтропии. Для транзитивных (т. е. топологически перемешивающих) топологических цепей Маркова мера Перри см. (4.2.13), (4.4.5) и (4.4.6)) — единственная мера максимальной энтропии. В частности, в этом случае мера максимальной энтропии является марковской мерой. [c.621]

Автор никак не называет динамическую систему (2д, а). Мы будем иногда использовать ее название, принятое з советской математической литературе,— топологическая марковская цепь (сокращеано ТМЩ —Прим. перев. [c.16]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Для диффеоморфизмов все соответствующие гипотезы справедливы. Моделью в этом случае служит топологическая марковская цепь, которая устроена проще, чем гиперболический символический поток поэтому программа примеиеиня методов символической динамики осуществлена в большей степени для диффеоморфизмов (см. [3]. [4], [12] 2)), чем для потоков. [c.108]

Особый ннтерес для исследования динамических систем, обладаюш.их свойством гиперболичиостн, представляет специальный класс символических систем— топологические марковские цепи (сокращенно ТМЦ). С одной стороны, топологические и эргодические свойства ТМЦ легко выражаются в алгебраических терминах, что делает их удобным инструментом исследования, а с другой, многие понятия и явления, характерные для общих гиперболических систем, проявляются в ТМЦ в очень прозрачной форме, облегчающей понимание сути дела. [c.204]

Большая часть успехов символической динамики связана с тем, что а диаграмме (7.3) удается заменить (2 , а) топологической марковской цепью, а отображение я сделать гомеоморфизмом нли по крайней мере почти гомеоморфизмом (обратимым иа дополнении к тощему множеству первой категории). В этом случае различные свойства, описанные в п. 4, которыми обладает ТМ.Ц, переносятся иа систему (X,f), и тем самым мы получаем богатую информацию о ее топологических и эргодическнх свойствах. [c.217]

Заметим, что после сведения к топологически перемешивающему случаю мы использовали только свойство спецификации. Таким образом, мы показали, что для разделяющих отображений со свойством спецификации (определение 18.3.8) топологическая энтропия равна скорости роста числа периодических орбит. Полезно отметить, что, хотя локально максимальные гиперболические множества диффеоморфизмов представляют собой основной пример разделяющих отображений со свойством спецификации, существуют и другие важные классы таких преобразований. Отметим в этой связи транзитивные топологические марковские цепи, а также более общие классы символических систем типа софических систем (см. упражнение 20.1.2). [c.585]

Для N, meN постройте такую топологическую марковскую цепь <г из trjf, что р(<г) = = log N/m. С помощью этих чисел аппроксимируйте t и затем с помощью счетных объединений и компактификации получите нужную систему. [c.740]

Пусть некоторые пары символов из А объявлены допустимыми . Всевоеможные последовательности для которых при всех t пары (xuxa+i) допустимы, образуют некоторое замкнутое подмножество i2 rQ , которое а-инвариантно, т. е. aQ = i. (Оно может оказаться пустым при неудачном выборе множества допустимых пар подразумевается, что последнее выбрано удачно , т. е. й ф0.) Это — важнейший пример замкнутого ст-инвариантного подмножества I2n. Динамическая система в 2, порожденная сдвигом a il, называется топологической марковской цепью. Множество допустимых пар можно задать с помощью матрицы В= Ьц), где Ьц=1, если пара (0 , aj) допустима, и Ьц=0 в противном случае. (Тогда можно писать Qg вместо 2. ) Можно также задать его с помощью ориентированного графа с п вершинами — обозначим их тоже через ai.....а , — в котором тогда и только тогда имеется ориентированное ребро (притом единственное), идущее из Ot в Oj, когда пара аи aj) допустима. Вершины графа отвечают состояниям квазислучайного процесса (приставка квази связана с тем, что в топологическом варианте у нас нет понятия вероятности) состоянию xj ДС соответствует бесконечный путь в графе, идущий по ребрам в положительном направлении— из Xi в Xi+i. [c.161]

По аналогии с теорией вероятностей гомеоморфизм Г называется топологической марковской цепью (ТМЦ), а матрица П = (TTij) — матрицей допустимых переходов этой цепи. [c.58]

Нашей конечной целью является построение семейства решений уравнения (1), исследование которого можно проводить методами символической динамики. Поскольку, однако, в предыдущей части речь шла лишь об отображениях, первым нашим шагом должно быть построение секущей поверхности в смысле Пуанкаре и соответствующего отображения (функции последования) 5. При этом используются лишь самые общие свойства функции Я, сформулированные ниже как основные предположения . При выполнении еще и дополнительных предположений для отображения 5 удается построить инвариантное множество достаточно сложной структуры, на котором действие 3 изоморфно топологической марковской цепи . Переходя обратно от отображения 3 [c.73]

Топологические марковские цепи ( символическая динамика ). Почти во всех известных мне примерах квазислучайность динамической системы связана с существованием инвариантных марковских подмножеств. [c.147]

Теория систем Аносова, сохраняющих меру Лиувилля, изложена в монографии [4], представляющей собой первое систематическое и фундаментальное исследование в гиперболической теории. Общие результаты теории систем Аносова имеются также в книге [8] и обзорной статье [6]. Теория гиперболических множеств (топологические свойства, различные примеры) и связанные с ией пробл1емы (Л-оисгемьг и др.) освещены в иниге [86] (см. также [21], где приведено полное доказательство теоремы о семействах е-траек-торий). Символическая динамика для систем Аносова (марковские разбиения, равновесные состояния, меры с максимальной энтропией) построена к-[41] (см. также [40], [43]) обобщение на случай гиперболических множества осуществлено в серии работ Боуэна (см. [13]) некоторые дальнейшие обобщения имеются в [3] (там же дан краткий обзор по топологическим марковским цепям). Основы теории РЧГ-систем развиты в [14]. НПГ-снстемы введены в [31], где исследованы их локальные свойства и эргодические свойствас по отношению к мере Лиувилля (ом. также [70]). Обобщение на меры Синая дано в [75]. [c.227]

П = 0 при всех n Z. Поэтому если для двух марковских разбиений ITi иа iaj н 2 на fig совпадают матрицы переходов соответствующих марковских цепей и матрицы ин-цидеиций соответствующих прямоугольников, то динамические системы (Qbfi) н (Q2./2) топологически сопряжены, [c.227]

Докажите, что не существует гомеоморфизма, удовлетворяющего (1.9.6), т. е. отображение 2 не является С°-эквивалентным или топологически сопряженным (см. определения 2.1.1 и 2.3.1 из следующей главы) какой бы то ни бьио марковской цепи. [c.69]

Естественно было бы назвать разбиение (Х ,..Х ), обеспечивающее полусопряжение топологической цепи Маркова с отображением /, взаимно однозначное на большом множестве, и определенное так, что отображение может быть описано некоторым марковским способом, марковским разбиением. Мы отложим детальное обсуждение и строгие определения до 15.1 и 18.7. Сейчас же опишем несколько конкретных ситуаций отличных от случая растягивающих отображений окружности, где марковское разбиение появляется вполне недвусмысленным образом. [c.93]

Покажите, что образ меры Лебега относительно полусопряжения гиперболического автоморфизма тора Р с топологической цепью Маркова Сд, задаваемой марковским разбиением из п. 2.5 г. — мера Цц. [c.188]

Так как имеется лишь счетное множество О — 1-матриц, топологическая энтропия топологических цепей Маркова может принимать только счетное множество значений, в то время как для тентообразного отображения согласно (15.2.6) может достигаться любое значение топологической энтропии. Таким образом, мы немедленно видим, что цепи Маркова не достаточны в качестве моделей для всевозможных отображений отрезка. Мы вернемся к этой теме в 15.5, но сначала покажем, что марковские модели достаточны для понимания того, как у отображений отрезка появляются периодические точки различных периодов. [c.502]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Инвариантная мера для топологических цепей Маркова, заданная уравнениями (4.4.5) и (4.4.6), была введена Перри в [244]. Она использовалась Адлером и Венссом при доказательстве того факта, что автоморфизмы двумерного тора с равной энтропией ме-гоически изоморфны. Доказательство опирается на марковское разбиение, описанное в 2.5. Хотя этот факт теперь может быть доказан с помощью теории изоморфизмов Орнстейна, он предшествовал работе Орнстейна об изоморфизмах сдвигов Бернулли и был одним из ранних нетривиальных примеров метрического изоморфизма в динамике. [c.726]

Пусть Л — ЛМГМ диффеоморфизма 5, причем 5]Л — топологически транзитивно. Пусть также (2л, о) — символическое представление Л, построенное посредством марковского разбиения . Рассмотрим стационарную цепь Маркова с вероятностями переходов Pij = aijZilX A)Zi, где Я(Л)—максимальное положительное собственное значение матрицы А и Z= zi —соответствующий собственный вектор (см. [3]). Пусть далее (Хо — марковская мера на этой цепи Маркова и fxo — прообраз меры (Хо под действием отображения г з. Как показано в [3], (хо — мера с максимальной энтропией для S на Л (определение см. ниже п. 3.5). Сейчас будут указаны и некоторые другие важные свойства меры хо- [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...