Неинтегрируемая система

Это утверждение доказывается в п. 2. Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Н. В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Относительно расходимости преобразования Биркгофа справедлива более сильная [c.310]

Для натуральных систем с Н = Н2 + теорема вытекает из результатов Катка [19]. При тех же условиях, Козлов [20] доказал неинтегрируемость системы. В случае двух степеней свободы, положительность топологической энтропии влечет неинтегрируемость. [c.149]

Один из подходов к неинтегрируемым системам — изучение систем, близких к интегрируемым. Например, задача о движении планет вокруг Солнца близка к интегрируемой задаче о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного центра упомянем еще задачу о движении слегка несимметричного тяжелого волчка и задачу о нелинейных колебаниях вблизи положения равновесия (близкая интегрируемая задача — линейная). При исследовании этих и подобных задач чрезвычайно плодотворен следующий метод. [c.256]

Такие системы будут называться неинтегрируемыми системами общего типа . Мы ограничиваемся этими системами не столько вследствие того, что рассмотрение более общих систем представляло бы какое-нибудь существенное математическое затруднение, сколько во избежание усложнения рассуждений. Интегрируемые системы будут рассмотрены отдельно в 13, тогда как для промежуточных случаев будут даны некоторые указания о характере результатов. [c.219]

Неинтегрируемость системы (6.22), как в общем случае, так и в осесимметричном и плоском случаях показана в работе [96]. [c.71]

Гиперболические тючки. Рассмотрим поведение отображения в окрестности гиперболической точки. Мы уже знаем, что осциллятор с одной степенью свободы, как, например, маятник, имеет сепаратрису, которая соединяет гиперболические точки, приближаясь к одной из них и удаляясь от другой. У маятника есть лишь одна гиперболическая точка, но в общем случае имеется цепочка из кз гиперболических точек. В интегрируемом случае они соединяются между собой гладкой сепаратрисой. В случае же неинтегрируемой системы с несколькими степенями свободы или соответствующего отображения вида (3.1.13) ситуация оказывается значительно более сложной. Следуя Берри [26 ], мы качественно опишем картину [c.197]

И в интегрируемых, и в неинтегрируемых системах возможно существование частных решений, соответствующих так называемым когерентным образованиям, или пространственным структурам. Пример — солитоны, стационарные ударные волны и др. [c.16]

Глава 6 НЕИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ [c.226]

Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Ж В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Пусть [c.254]

Глава 6. Неинтегрируемые системы..........226 [c.303]

Консервативная динамическая системы с га = 2 степенями свободы не является вообще интегрируемой . Кроме того, лишь немногие из этих неинтегрируемых систем подвергались детальному исследованию. Наконец, вполне возможно, что эти анализировавшиеся неинтегрируемые системы частного вида не отражают тех характерных трудностей, которые могут возникать в общем случае ге = 2. [c.200]

В то же самое время эта схема привлекла внимание Пуанкаре, и центральное место в его работах по динамике занимала именно эта задача. Пуанкаре рассматривал систему с функцией Лагранжа (3i) как прототип тех динамических систем, которые имеют две степени свободы и, в отличие от систем с одной степенью свободы, не приводятся к квадратурам. В некотором отношении необратимая система, определяемая функцией (3j), является более сложной, чем простейшая неинтегрируемая система (обратимая и имеющая две степени свободы). Конечно, некоторые данные свидетельствуют о том, что топология ограниченной задачи трех [c.427]

Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи —класс неголономных связей. Соответственно системы, содержащие лишь конечные или дифференциальные интегрируемые связи, относятся к классу голономных систем., а системы, содержащие дифференциальные неинтегрируемые связи, — к классу неголономных систем. Далее мы не будем заниматься неголономными связями, и поэтому опускаем их классификацию (рис. IV.7). Что же касается голономных связей, то их можно подразделить далее в зависимости от того, содержат ли равенства, выражающие эти связи, в явной форме время. В тех случаях, когда эти равенства не содержат время явно, механическая связь называется стационарной или склерономной. В тех случаях, когда время явно входит в эти равенства, связь называется нестационарной или реономной. Обычно стационарные связи имеют место в тех случаях, когда поверхности или кривые, на которых должны находиться материальные точки, либо расстояния между этими точками не меняются со временем. Наоборот, в тех случаях, когда материальные точки должны находиться на кривых или поверхностях, которые сами меняются со временем, связи оказываются реономными. [c.148]

Неголономными (неинтегрируемыми) называются связи, которые накладывают ограничения на скорости точек системы. Они выражают зависимость между координатами и скоростями точек системы. Независимо от дифференциальных уравнений движения системы уравнения этих связей не могут быть проинтегрированы. [c.337]

Пусть положение системы описьшается (и + к) обобщенными координатами <7i..q , q + Qn + k и на нее наложены неинтегрируемые [c.25]

Аналогичный пример неголономной системы дает катящийся по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости диск, плоскость которого может произвольно наклоняться к горизонту. Движение такого диска было изучено в кинематике ( 65). Не-голономная связь в этом случае выражается неинтегрируемым векторным уравнением или соответственно его проекциями на оси координат. [c.305]

Неголономные связи необходимо выражаются дифференциальными неинтегрируемыми соотношениями между координатами точек системы. [c.304]

Система материальных точек называется голономной, если на точки этой системы не наложены дифференциальные неинтегрируемые связи. Таким образом, голономной является всякая свободная система материальных точек, а также несвободная система с конечными или дифференциальными, но интегрируемыми связями. У голономной системы все связи могут быть записаны в конечном виде. [c.13]

При наличии дифференциальных неинтегрируемых связей система называется неголономной ). [c.13]

Эта система неголономная, так как последнее из уравнений (10) определяет дифференциальную неинтегрируемую связь. [c.14]

Таким образом, показано, что и при существовании связей (голономных) уравнения движения можно записать в форме Лагранжа. Дальнейшее обобщение возможно только применительно к таким неголономным системам, для которых связи выражаются как неинтегрируемые дифференциальные соотношения. Рассмотрение этого случая мы отложим до изучения вариационных принципов в гл. VI. Тогда можно будет изложить и способ (метод неопределенных множителей) для определения величин реакций связей. [c.34]

Следовательно, число степеней свободы голономной системы совпадает с числом ее обобщенных координат, а число степеней свободы неголономной системы меньше числа т обобщенных координат на количество S дифференциальных неинтегрируемых связей . [c.45]

Пусть на систему наложено г геометрических и s кинематических неинтегрируемых связей. Пусть 25 5 Qm — обобщенные координаты системы. Их число т равно 37V — г. Тогда радиусы-векторы Yjj точек Ру относительно начала инерциальной системы координат записываются в виде функций аргументов i, 25 Qm t [c.267]

Уравнения Воронца. Система уравнений (1), (6) помимо функций qj (j = 1,2,..., т) содержит еще s дополнительных неизвестных — множителей связей Л/з (/9 = 1, 2,. .., s). Число уравнений в системе (1), (6) равно m + 5 = п + 2s, т. е. превышает число степеней свободы на удвоенное количество неинтегрируемых связей. [c.298]

Перефразируя Льва Толстого, можно сказать, что все интегрируемые гамильтоновы системы похожи друг на друга, а каждая неинтегрируемая система неинтегрируема по-своему. [c.14]

К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности п одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью метода Ковалевской в [177] доказано, что при п = 3 и 71 = 4 для почти всех начальных условий переменные у и ехр(гж,) не будут мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс — Невё алгебраически неинтегрируема. Подчеркнем, что алгебраически неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми (см. 9 гл. П). [c.202]

Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > О имеют бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих решений по е неограниченно уменьшается при к —> оо. Поэтому при каждом фиксированном е > О мы можем гарантировать существование большого, но конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при малых фиксированных значениях е > 0. Однако можно доказать отсутствие аналитического по е семейства первых интегралов и нетривиальных групп симметрий. [c.232]

Основываясь на теореме 1, С, Л, Зиглин доказал неинтегрируемость системы Хенона — Хейлеса (см. 8 гл. I), функция Гамильтона которой имеет вид Я = у + у2+х + Х2)/2 + х /Ъ-Х1х. Соот-ветствущие уравнения Гамильтона имеют однопараметрическое семейство эллиптических решений [c.369]

Неблуждающая точка 196 Нсблуждающис дпижспия 196 Неинтегрируемая система 258 Некинетическая частица 34 Неравенство Сундмана 263, 272 Неспециальные движения 248 Неустойчивость пфаффовых систем 114 Неустойчивые движения 133 Нормализация 89 [c.406]

Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но термализации не обнаружилось — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов — интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтег-рируемые. Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров оказалась близкой к интегрируемой. [c.15]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Заметим, что хотя приведенное доказательство аналогично доказательству Зиглина [9], однако неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей на сфере не является тривиальным результатом, поскольку из неинтегрируемости системы уравнений для плоского случая непосредственно не следует неинтегрируемость уравнений движения вихрей на сфере. Отметим здесь так же следующий результат можно написать уравнения, подобные уравнениям (2.1), которые описывают движение точечных вихрей в пространстве Лобачевского, имеющем отрицательную кривизну тогда аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что и в этом случае движение четырех вихрей будет неинтегрируемым . [c.383]

Ответ Четыре обобщенных координаты х, у, pi, 0, которые связаны одним неинтегрируемым соотношением i os 0-f-sin 0 — t—r pi — /0 = 0. Система имеет три степени свободы. [c.384]

Неголономными называют связи, выражающиеся неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, т. е. уравнениями, содержащими не только координаты точек системы, но и их производные по времени. Дифференциальные уравнения неголоном-ных связей не интегрируются ни по отдельности каждое, ни в целом. [c.321]

Неинтегрируемость состоит в том, что такое дифференциальное уравнение нельзя привести к уравнению, в левой части которого находился бы полный дис ]ференциал некоторой функции только от координат точек системы, т. е. к виду df х , г/, 2, t) = 0, после интегрирования которого получилось бы уравнение голономной связи f Ч, У к, г, о = onst. [c.321]

Если уравнение связи можно записать в виде /(г , t) = 0, не содержащем проекщ1И скоростей точек системы, то связь называется геометрической конечной, голономной). В примерах 1, 2 связи геометрические. Если же в уравнение связи /(iv, Vv, t)=0 входят проекции скоростей Vv, то связь называется дифференциальной (ки-нелшгаческой). Дифференциальную связь /(г,, Vv, i)=0 называют интегрируемой, если ее можно представить в виде зависимоспи между координатами точек системы и временем (как в случае геометрической связи). Неинтегрируемую дифференциальную связь называют еще неголономной связью. [c.24]

Если на систему материальных точек пе наложены дифференциальные неинтегрнруемые связи, то она называется голономной. Если же среди связей, наложенных на систему, есть дифференциальные неинтегрируемые связи, то система называется неголо-номной. [c.26]

Уравнения Аппеля. Аппель предложил уравнения движения, которые не содержат мнонштелей связей и применимы как к голономным, так и к пеголономным системам с неинтегрируемыми связями вида (1). Получим эти уравнения в псевдокоординатах [c.260]

Уравнения движения для ограниченного класса неголо-номных систем можно также получить из принципа Гамильтона, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Этот класс включает системы, для которых связи заданы в виде неинтегрируемых дифференциальных соотношений, содержащих пространственные и временную координаты. [c.77]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...