Скобка Пуассона квантовая

Скобка Пуассона квантовая 37 [c.293]

Классические динамические функции А (q, р) обобщенных координат и импульсов (фазовой точки) сопоставляются в квантовой теории эрмитовым операторам А с непрерывным или, чаще, с дискретным спектром Ai, которые действуют на волновую функцию l)i(q). Скобки Пуассона [А, В динамических функций [c.220]

В правых частях этих уравнений стоят квантовые скобки Пуассона, определяемые равенством (19.8). [c.124]

Теоремы Эренфеста. Вычислим квантовые скобки Пуассона [Я, х], [Я, р . Так как оператор координаты л коммутирует с оператором потенциальной энергии Е т), входящей в оператор Гамильтона, и, кроме того, он коммутирует со всеми составляющими оператора импульса, за исключением составляющей р , то [c.124]

Вычислим теперь квантовую скобку Пуассона [Д р . Так как оператор коммутирует с оператором кинетической энергии, то [c.125]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Заметим, что в квантовой механике скобкам Пуассона соответствует 2я [c.282]

Канонические преобразования классической механики играли всегда важную роль также и в квантовой механике. Это относится и к более старой квантовой теории, принадлежащей Борну, и к современной квантовой механике. Поэтому работы, посвященные той или другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной, из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Борна (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой Е лаве этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много интересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Дирака. [c.299]

В предисловии к своей книге, выпущенной в 1924 г., Борн указывал на недостатки существовавшей тогда квантовой теории и отмечал, что имеющиеся трудности, возможно, будут преодолены только после радикальной ревизии основных принципов квантовой механики. (Положение, подобное тому, которое сейчас имеется в теории ядерных сил.) Предсказание Борна вскоре сбылось, н в 1929 г. он совместно с Йорданом выпустил рекомендуемую здесь книгу. Как и в предыдущей работе, здесь некоторое место отводится классической механике, в частности рассматриваются скобки Пуассона, приводящие к весьма интересным результатам. Этот вопрос изложен в Приложении 111, где рассматривается также связь скобок Пуассона с кинетическим моментом. [c.299]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Скобки Пуассона не облегчают существенным образом решения уравнений движения системы, но, как будет видно, оказываются полезными при рассмотрении интегралов движения. Они приводят к математическому аппарату, который при некоторой несложной интерпретации является удобным путем для введения правил квантования в гейзенберговской формулировке квантовой механики. [c.106]

Скобки Пуассона играют важную роль как в классической механике, так и в квантовой механике. Познакомимся с их основными свойствами. Пусть и, V, W — функции от (q р t) класса Са, а с — некоторая постоянная. Скобки Пуассона обладают следующими очевидными свойствами [c.433]

Процесс перехода от классической к квантовой механике нельзя считать математически строго сформулированным, так как в каждом случае, когда классическая величина включает произведение двух величин, скобка Пуассона которых не равна нулю, возникает неоднозначность в определении последовательности, в которой эти сомножители войдут в соответственное квантовое выражение. Практически в простых примерах такой вопрос не возникает. В более же сложных выражениях бывает невозможно выбрать последовательность сомножителей так, чтобы не нарушалась совместность квантовых уравнений. В настоящее время методы квантования представляют собой набор практических рецептов, применение которых диктуется главным образом соображениями простоты. Существуют обстоятельства, на которые следует обращать внимание при переходе к квантовой механике, чтобы не нарушить совместность квантовых соотношений. В классической теории мы имеем ряд Ф-уравнений ( -уравнения также считаются за Ф-уравнения), используемых в квантовой теории в соответствии с принципом II). При [c.719]

В классической механике скобки Пуассона могут считаться определением канонических переменных, но они имеют смысл только тогда, когда и р, являются функциями других переменных д и р , о которых уже известно, что они канонические. Иначе дело обстоит в квантовой механике. [c.832]

Дирак определяет квантовые скобки Пуассона так, чтобы и они обладали известными свойствами классических скобок Пуассона (в первую очередь линейностью и инвариантностью при касательном преобразовании). Тогда нетрудно получить для любых переменных ё и г] [c.833]

Современный учебник подчеркнуты те вопросы, которые наиболее важны для квантовой механики. Используется векторный и матричный аппарат. Теория Гамильтона, скобки Пуассона и касательные преобразования. Введение в специальную теорию относительности. [c.439]

В рамках гамильтонова подхода к Ш. у. н. широкое распространение получил метод /--матрицы, первоначально возникший в теории квантового метода обратной задачи. В основе данного метода лежит возможность представить скобки Пуассона матричных элементов матрицы U(x, у) в виде [c.473]

Пуассона скобка. В квантовом случае в уравнении Лиувилля надо заменить / на неравновесный статистич. оператор р(/), а классич. скобку Пуассона — на квантовую. [c.617]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Рассмотрим другую ситуацию, в которой удается использовать теорию возмущений для построения неравновесного статистического распределения. Предположим, что гамильтониан системы можно представить в виде суммы Я = Я + Я, где Я — главная часть гамильтониана, а Я — малое возмущение ). Для определенности рассмотрим квантовый случай, когда оператор Лиувилля L выражается через квантовые скобки Пуассона, и запишем уравнение (2.3.13) для статистического оператора в виде [c.115]

Оператор Лиувилля zL, который определяется как квантовая скобка Пуассона с гамильтонианом Я, можно разделить на невозмущенную часть и возмущение [c.106]

Отметим, что здесь производные ф следует понимать как квантовые скобки Пуассона полевых операторов с эффективным гамильтонианом Ti. [c.206]

Отметим, что производные операторов по времени в правой части определяются квантовыми скобками Пуассона (8.4.93) с эффективным гамильтонианом (8.4.84). [c.214]

Поскольку уравнение (9.69) имеет явное сходство с соответствующим уравнением классической механики со скобками Пуассона, то коммутатор в правой части уравнений (9.68), (9.69) также называют квантовыми скобками Пуассона от Н и А. Напомним, что коммутатором двух операторов называется перестановочная форма вида [А, В] = АВ — В А. Отметим также, что из выражения (9.65) следует [c.293]

Это описание продолжается в П3.2, посвященном различным вопросам физической интерпретации операторов. Дается понятие оператора полной энергии системы (гамильтониана), вводятся квантовые скобки Пуассона и поясняется оператор дифференцирования по времени. Говорится также и о матричном представлении физических величин. Среди операторов физических величин рассматриваются базовые операторы радиуса-вектора, потенциальной и кинетической энергии, импульса, углового момента, инверсии. [c.458]

С помощью скобок Пуассона можно записать ряд соотношений, имеющих важные аналогии в квантовой механике. Например, фундаментальные скобки Пуассона, т. е. скобки от самих канонических переменных [c.396]

В квантовой механике динамические переменные представляются операторами, которые не подчиняются переместительным законам обычной алгебры. Для этих операторов нельзя определить скобки Пуассона, но универсальный характер и общая польза этих скобок в классической механике наводят на мысль, что могут существовать аналогичные величины, связанные и с операторами. [c.113]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Обычно скобки Пуассона обозначаются через (и, v), а скобки Лагранжа — через [и, t>] ср. Уиттекер [28], стр. 330, 332. Эти обозначения использует Т i е t z Н., Handbu h der Physik, т. II, стр. 194, 195. Но в приложениях классической динамики в квантовой теории оказывается более удобно обозначать скобки Пуассона через (и, v], скобки Лагранжа — через и, г ср. Дирак П., Принципы квантовой механики, Физматгиз, Москва, 1961, стр. 125. [c.301]

В квантовой механике такого равноправия нет. IIo TyjtaT канонического KeaiLmoeanuA, заменяющий скобки Пуассона /)/, 5у = б/у канонич. перестановочными соотношениями [р формулируется для [c.237]

Постулат К. к. состоит в замене переменных q, р на соответствующие операторы, действующие на волновую ф-цию состояния, иричем перестановочные соотношения для этих операторов и княнтовые ур-ння движения для них получаются из (3) и (4). по правилу соответствия классич. скобка Пуассона заменяется на квантовую скобку Пуассона [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...