Инварианты группы

Некоторая функция называется инвариантом группы, [c.612]

В частности, интеграл I является инвариантом группы, если имеет место соотношение [c.612]

Для выяснения места вариационных принципов в физической картине мира и их эвристической ценности необходимо было развитие корпускулярно-полевого синтеза и глубокое проникновение в теоретическую физику идеи фундаментального значения инвариантов групп преобразования. Это развитие исторически осуществлялось в теории относительности, квантовой механике (нерелятивистской и релятивистской) и квантовой теории полей. [c.857]

I. Если Р — абсолютный инвариант группы и (1а —к а)Еи(Р) =0, та [c.92]

По определению, инвариантом группы (3) является функция Ф(д, 1), не изменяющая своего значения при любом преобразовании группы, т.е. удовлетворяющая условию Ф(я, 1 = 1 Т-> г Необходимым и достаточным условием того, что т) — инвариант группы (3), является одновременное обращение в нуль К выражений Х Ф [c.72]

Определение. Функция G q) называется инвариантом группы, если она не изменяется группой [c.221]

Ряд Ли показывает, что для того чтобы аналитическая функция своих переменных была инвариантом группы, необходимо и достаточно, чтобы она была корнем оператора группы [c.221]

Т.е. инвариант группы играет роль константы для ее оператора. [c.221]

Р(Я. г) = G g. r)P(q), где G(g,r) — инвариант группы при любом фиксированном г [c.221]

Инвариантное семейство поверхностей. Если функция G[q) есть инвариант группы, то приравнивая ее произвольной постоянной G[q) = С, получаем семейство гиперповерхностей, каждая из которых преобразуется сама в себя. Иными словами любая такая гиперповерхность является инвариантной. [c.221]

Представляет интерес несколько другая ситуация. Пусть задано некоторое семейство гиперповерхностей ш д) = С. Причем и д) инвариантом группы не является. Таким образом, преобразование группы изменяет каждую конкретную гиперповерхность семейства. Нас будет интересовать случай, когда при таком изменении они переходят в другие гиперповерхности того же семейства. Такое семейство называется инвариантным. [c.222]

Рассматривая функцию, определяющую инвариантное семейство совместно с п-1 инвариантом группы в качестве новых переменных, мы приходим к простейшему виду оператора данной группы [c.226]

Инварианты продолженной группы называются дифференциальными инвариантами группы. [c.241]

Перейдем к вычислению инвариантов группы Лоренца. Роль инвариантов исключительно высока. Они представляют собой величины, зависящие от времени, координат, скоростей и ускорений, численное значение которых не зависит от того, в какой системе координат их вычислять. Следовательно, именно они и характеризуют физику явлений, а не выбор системы отсчета. Если требуется построить какую-нибудь теорию, инвариантную относительно преобразований Лоренца, она должна быть выражена через инварианты этих преобразований. [c.274]

Замечание. Из доказанного ранее следует, что интеграл [— Hdt- -pdq] является интегральным инвариантом группы, определяемой уравнениями [c.290]

Напряжение Тп, конечно, является инвариантом, так как главные напряжения Ог, аз — инварианты. Следовательно, его можно выразить через два первых инварианта группы (6.39) и записать в виде [c.103]

Инвариантом группы преобразований (25.18 ) называется функция Y х, у), если для любых (х, у) н К т области их изменения выполняется [c.301]

Функция у[х, у) является инвариантом группы преобразований (25.18 ) тогда и только тогда, когда [c.301]

Исследование этих полей приводит к своеобразной операции сворачивания инвариантов группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидово пространство). [c.455]

Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа Я4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации (эта связь уже указывалась в замечании 7 9 статьи Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.- С. 3-38). [c.464]

Определение 1. Не тождественно постоянная функция, 7((т) называется инвариантом группы Я преобразований вида (3), если для всех / 6 Я выполняется равенство [c.79]

Определение 2. Набор инвариантов. / = (Jl,. ... J,,) называется базисом инвариантов группы Я, если функции Л(ст) в совокупности функционально независимы и если любой инвариант АС(ст) группы Я является функцией от инвариантов, /],. ... 7, [c.79]

В этом случае дополнительные соотношения (8.16) для инвариантов группы Н, вводимых с целью построения Я-решений, задаются в виде [c.109]

Вычислить инварианты группы С с оператором (8.10). Найти представление решения, инвариантного относительно этой группы. [c.131]

Инварианты. Функция. /(г) называется инвариантом группы С , если для любой подгруппы С (/) с С выполнено равенство = [c.321]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Различают строгие и приближённые О. п. Квантовый переход наз. запрещённым, если нарушается хотя бы одно О. п. Строгие О. п, обусловлены симметрией системы и строгими законами сохранения и налагают абс. запреты на квантовые переходы. Приближённые О. п. характеризуют переходы между уровнями энергии, к-рые описываются приближёнными законами сохранения. Квантовое число полного угл. момента атома (/) или молекулы (F) является точным, т, к. полный угл. момент является инвариантом группы вращения, поэтому О. п. для J (или F) — строгие, В случае электрич. дипольных переходов возможны изменения квантовых чисел Д/ = J — / = 0, 1 и ЛМ = М — М = [c.486]

Во-первых, критерий представлен в тензорно-инварйантной форме, позволяющей записывать его в таком виде в любой системе координат для материала с любым характером анизотропии. Во-вторых, такой критерий является инвариантом группы симметрии, характеризующей анизотропные свойства материала в пре-деленом состоянии. Так, при плоском напряженном состоянии ортотропного тела в основной системе координат не равными нулю являются компоненты тензоров прочности, представленные фор- [c.156]

Теорема Э. Нёгер. Если действие по Гамильтону S (2) является инвариантом группы Ли (3) с операторами (5), то система уравнений Лагранжа (1) допускает R интегралов движения [c.73]

J =у/ -хШ(Си6г.Сг), те. интегральный инвариант группы Лоренца имеет вид [c.275]

Теорема. Для того чтобы интеграл f[—7 dt- -pdq] был интегральным инвариантом группы dt/dт = тг, dqfdт = тгМ, dp/dт = тгЛ/ с произвольной функцией тг(<, д, р), необходимо и достаточно [c.291]

Задача о полиномиальных инвариантах групп симплектических преобразований изучалась С, Л. Зиглиным в работе [64]. Ниже излагаются его основные результаты. [c.364]

Инвариантные решения. Предполагается, что базис инвариантов группы Я состоит из скалярных инвариантов двух видов. Первый составляют инварианты-функции только от независисмых переменных. Число к таких (функционально независимых) инвариантов может быть не более четырех пусть это будут [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...