Инвариант Пуанкаре

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . [c.293]

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения —все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dqj. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату <7 +i, а в качестве импульса, соответствующего зтой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком 1), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так [c.296]

В этом смысле контурный интеграл (86) является универсальным, не зависящим от того, каково потенциальное поле, в котором движется система ), и поэтому называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре ). [c.298]

Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Для интегральных инвариантов Пуанкаре и Пуанкаре — Картана верно обратное утверждение. [c.298]

Первое утверждение теоремы доказано — система (87) гамильтонова. Но тогда для нее имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана [c.299]

В силу этой теоремы интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (так же, как и принцип Гамильтона) может быть положен в основу механики. Действительно, если бы мы в качестве исходного постулата приняли существование интегрального инварианта Пуанкаре — Картана, то отсюда сразу следовало бы, что движение описывается уравнениями Гамильтона, а при условии [c.300]

В тех случаях, когда интегральный инвариант относится к какому-либо замкнутому контуру, он называется относительным. Интегральные инварианты Пуанкаре Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант фазовый объем таковым не является. [c.305]

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно, сохраняющиеся для всех динамических систем, движущихся в потенциальных нолях, называются универсальными. Инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем — универсальные, а инвариант Пуанкаре — Картана не относится к универсальным. [c.305]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид [c.305]

Доказательство. Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть преобразование (113) каноническое. Тогда оно преобразует старую гамильтонову систему в новую гамильтонову систему. Для преобразованной, новой системы имеет место универсальный интегральный инвариант Пуанкаре [c.313]

Для системы с гамильтонианом Я имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого контура и интеграл в левой части равенства [c.317]

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для новой гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция р, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана. [c.317]

Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии) далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения. [c.326]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Так как преобразование фазовых переменных не вырождено, мы можем в правой и левой части заменить р,-, д,- их выражениями через, т) . Поэтому в новых переменных справедлив интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Осталось воспользоваться теоремой 9.5.4. [c.681]

Следовательно, при изменении а будет справедлив интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Осталось воспользоваться теоремой 9.5.4, где роль времени играет параметр а. [c.687]

Какую форму при каноническом преобразовании приобретает интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. [c.702]

I называется инвариантом Пуанкаре.— Примеч. ред. [c.235]

Из инварианта Пуанкаре имеем [c.236]

Для каждого решения т], всегда существует другое решение Is ils с показателем х, для которого постоянная инварианта Пуанкаре будет отличной от нуля. Для такого решения формула (7.29) дает [c.237]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана)................113 [c.5]

Интегральный инвариант Пуанкаре Д ке меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С, состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл /, удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) 2п-мер-ном фазовом пространстве ( 1, /7],. .., q , /7 ). В этом пространстве контурам С и С (рис. 33) соответствуют контуры D и D, охватывающие трубку прямых траекторий (рис. 36) при этом [c.136]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Интеграл (85) назыаают интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана. [c.296]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Рассмотрим теперь интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (85), взяв в качестве контуров, охватывающих трубку прямых путей, только одновременные контуры, т. е. контуры, которые получаются сечением этой трубки гиперплоскостями / = onst (рис. VI 1.8). Чтобы отличить одновременные контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени dt равен нулю. В силу этого интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, рассматриваемый только на одновременных контурах, имеет вид [c.297]

Пуанкаре установил интегральный инвариант именно в такой универсальной форме, и лишь затем Картан, рассмотрев контуры, не расположенные в плоскости ( = oBst, добавил член, содержащий гамильтониан. Поэтому интегральный инвариант (85) и носит название инварианта Пуанкаре —Картана. [c.298]

Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна. Мы рассмотрели лишь три интегральных инварианта — инвариант Пуанкаре — Картана, унииерсальный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем рассматривать, а остановимся лишь на общей их классификации. [c.305]

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант фазовый объем является инвариантом 2и-го порядка, так как интегрирование производится по 2/ьмерной области — фазовому объему. [c.305]

Естестгенно возникает вопрос существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jj, отличные от инварианта Пуанкаре Л Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном. [c.305]

Равенство (116) верно при любом t. Поэтому его левая часть является универсальным интегральным инвариантом первого порядка. По теореме Ли Хуачжуна такой инвариант может отличаться от инварианта Пуанкаре лишь на постоянный множитель с. Следовательно, [c.313]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре,— ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости onst, а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей. [c.327]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Следствие 9.7.1. А аиокические преобразования не нарушают интегральный инвариант Пуанкаре. [c.681]

Импульс обобщенный 223 Импульсы, сопряженные с координатами Лагранжа 216 Имшенецкого подстановка 219, 280 Инвариант Пуанкаре 235 Интеграл живой силы 97 [c.364]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна [c.136]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.660 ]

Теоретическая механика (1987) -- [ c.235 ]

Курс теоретической механики для физиков Изд3 (1978) -- [ c.425 ]

Основы оптики Изд.2 (1973) -- [ c.132 , c.678 ]

Эргодические проблемы классической механики Регулярная и хаотическая динамика Том11 (1999) -- [ c.232 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...